FMS-Aufnahmeprüfung 2016 Mathematik

• Gleichung aufstellen (Zahl $=x$): $\frac{x}{3}+\frac{x}{5}-7.5=\frac{x}{2}$.
• Mit 30 multiplizieren: $10x+6x-225=15x$.
• Auflösen: $x=225$.

Ohne Gleichung: $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2}=\frac{1}{30}$. Dieser Dreissigstel der Zahl entspricht 7.5, also ist die Zahl $30\cdot 7.5=225$.

Tabelle mit Guidos heutigem Alter $x$:

• Renato heute ist doppelt so alt wie Guido vor 21 Jahren: $x+10=2(x-21)$.
• $x+10=2x-42$, also $x=52$.
• Guido ist heute 52 Jahre alt (Renato 62).

• Ursprünglicher Preis $x$. Nach 10% Reduktion: $0.9x$; nach weiteren 30%: $0.7\cdot 0.9x=0.63x$.
• $0.63x=157.50$, also $x=250$.

Oder rückwärts: vor der 2. Reduktion $\frac{157.5}{70}\cdot 100=225$, ursprünglich $\frac{225}{90}\cdot 100=250$ CHF.

• Aktionspreis: 90% von 640 = 576 CHF.
• Ziel: 50% von 640 = 320 CHF. Man muss also noch $576-320=256$ CHF senken.
• In Prozent des Aktionspreises: $\frac{256}{576}\cdot 100\%\approx 44.44\%$.

Oder mit Gleichung: $640\cdot 0.9\cdot x=320$, $x=\frac{5}{9}\approx 0.556$, also rund 44.4% Reduktion.

Die Fläche in zwei Trapeze zerlegen (oberes Trapez: Seiten 12 und 5, Höhe 5; unteres Trapez: Seiten 10 und 5, Höhe 3):

Oder: Rechteck plus Dreiecke: $8\cdot 5+\frac{5\cdot 3}{2}+\frac{3\cdot 3}{2}+\frac{5\cdot 4}{2}+\frac{3\cdot 2}{2}=40+7.5+4.5+10+3=65$.

Drei Dreiecke mit derselben Höhe 8 cm (Spitze oben) und den Grundseiten 2, 3 und 2 cm auf der unteren Linie:

Vom umgebenden Rechteck ($8\cdot 12$) die drei weissen rechtwinkligen Dreiecke abziehen:

• Ablesen: BMW 3.6 Liter auf 56 km, Volvo 2.4 Liter für 36 km.
• Volvo: $\frac{36\text{ km}}{2.4\text{ Liter}}=15$ km pro Liter.
• Mit 3.6 Litern: $3.6\cdot 15=54$ km.

Oder mit Dreisatz: mit 1.2 Litern 18 km, mit 3.6 Litern 54 km. Man kann auch die Gerade durch den Nullpunkt und den Volvo-Punkt verlängern und bei 3.6 Litern ablesen.

• Bianca würfelt eine 4 mit $\frac{2}{6}$, Adele mit $\frac{1}{6}$.
• Beides zusammen: $\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.

In einer $6\times 6$-Tabelle aller Kombinationen sind das 2 von 36 Feldern.

Fallunterscheidung nach Biancas Wurf:

• Bianca 1 (Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{6}$): Adele gewinnt mit 2 bis 6, also $\frac{5}{6}$.
• Bianca 4 ($\frac{2}{6}$): Adele gewinnt mit 5 oder 6, also $\frac{2}{6}$.
• Bianca 6 ($\frac{2}{6}$): Adele kann nicht gewinnen.

In der $6\times 6$-Tabelle sind das 14 von 36 Feldern.

Die Schichten von oben nach unten enthalten 1, 3, 6 und 10 Würfel (Dreieckszahlen: jede Schicht hat eine Reihe mehr als die darüber).