BMS-Aufnahmeprüfung 2015 Mathematik BM1

• Klammer auflösen (Minus vor der Klammer kehrt beide Vorzeichen): $\frac{5a}{12}-\frac{7a}{8}-\frac{a}{4}$
• Gemeinsamer Nenner 24: $\frac{10a-21a-6a}{24}$
• Zusammenfassen: $\frac{-17a}{24}=-\frac{17a}{24}$

• Unter den Wurzeln zusammenfassen: $(13a{)}^2-25a^2=169a^2-25a^2=144a^2$ und $10a^2-a^2=9a^2$
• Wurzeln ziehen: $\sqrt{144a^2}=12a$, $\sqrt{9a^2}=3a$
• Durch einen Bruch dividieren heisst mit dem Kehrwert multiplizieren: $\frac{12a}{6ab}\cdot \frac{2b}{3a}=\frac{12a\cdot 2b}{6ab\cdot 3a}$
• Kürzen: $\frac{24ab}{18a^{2}b}=\frac{4}{3a}$

• Mit dem Hauptnenner 20 multiplizieren: $300-4(x-15)=5(3x-4)$
• Klammern auflösen (Vorzeichen beachten!): $300-4x+60=15x-20$, also $360-4x=15x-20$
• Ordnen: $380=19x$
• $x=20$

• Variable: $x$ = Anzahl Mineralwasserflaschen am Anfang, Colaflaschen: $x-21$
• Nach dem Verkauf: Mineralwasser $x-5$, Cola $x-21-8=x-29$
• Gleichung: $x-5=3(x-29)$
• $x-5=3x-87\Rightarrow 82=2x\Rightarrow x=41$
• Probe: Cola $20$; nach dem Verkauf $36$ Mineralwasser und $12$ Cola, $36=3\cdot 12$ ✓

• Unterer Teil (zylindrisch, schmal): Der Querschnitt bleibt gleich, die Höhe steigt gleichmässig und schnell. Der Graph ist eine steile Gerade bis zur Höhe des Übergangs.
• Oberer Teil (trichterförmig): Das Gefäss wird nach oben immer breiter. Dieselbe Wassermenge pro Zeit lässt die Höhe immer langsamer steigen. Der Graph ist eine Kurve, die immer flacher wird (nach unten gekrümmt), bis zum Rand des Gefässes.
• Der Übergang zwischen Gerade und Kurve ist ohne Knick zu zeichnen: Direkt nach dem Übergang ist das Gefäss noch gleich breit wie unten.

Diagonale im Quadrat: $d=\sqrt{2}\cdot s=\sqrt{2}\cdot 5\text{ cm}\approx 7.1\text{ cm}$

• Die Figur besteht aus dem Quadrat ABDE und dem gleichseitigen Dreieck BCD (alle Seiten $s$).
• Höhe im gleichseitigen Dreieck: $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot s=\sqrt{3}\cdot 2.5\text{ cm}$
• $A=s^2+\frac{s\cdot h}{2}=25{\text{ cm}}^2+\frac{5\cdot 2.5\cdot \sqrt{3}}{2}{\text{ cm}}^2\approx 25+10.83\approx 35.8{\text{ cm}}^2$

• Pythagoras: $\overline{AC}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$ m
• Das Dreieck DBC ist ähnlich zum Dreieck ABC (beide rechtwinklig, Winkel bei C gemeinsam). Darum gilt mit $x=\overline{DC}$: $\frac{x}{5}=\frac{5}{13}$
• $x=\frac{25}{13}\approx 1.92$, also $\overline{DC}\approx 1.9$ m

• Jeder Wurf ist eine Stufe mit zwei Ästen: Treffer ($0.6$) und kein Treffer ($0.4$).
• Drei Würfe ergeben drei Stufen mit $2\cdot 2\cdot 2=8$ Pfaden.
• An jeden Ast schreiben Sie $0.6$ bzw. $0.4$. Alternativ dürfen Sie bei den Knoten die Pfadwahrscheinlichkeiten eintragen: nach 2 Würfen $0.36$, $0.24$, $0.24$, $0.16$; nach 3 Würfen $0.216$, $0.144$, $0.144$, $0.096$, $0.144$, $0.096$, $0.096$, $0.064$.

Pfadregel (multiplizieren): $0.6\cdot 0.6\cdot 0.6=0.216=21.6\%$

• Ein Pfad mit genau einem Treffer, z. B. Treffer–kein–kein: $0.6\cdot 0.4\cdot 0.4=0.096$
• Der Treffer kann beim 1., 2. oder 3. Wurf sein: 3 solche Pfade.
• Summenregel: $3\cdot 0.096=0.288=28.8\%$

Zehnmal hintereinander kein Treffer (je $0.4$): $0.4^{10}\approx 0.000105\approx 0.0105\%$

• Variable: $x$ = Anzahl aller Lernenden im Jahrgang
• Gleichung: $\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}x+30=x$
• Mal 15: $10x+3x+450=15x\Rightarrow 450=2x\Rightarrow x=225$
• Chemie: $\frac{2}{3}\cdot 225=150$
• Achtung: Gefragt ist nicht $x$, sondern die Anzahl in «Chemie».

Steigungszahl = Höhe : Horizontale. Die Horizontale ist $\overline{AB}=4$ m, also $\overline{BP}=0.56\cdot 4\text{ m}=2.24\text{ m}\approx 2.2$ m.

• Horizontale von AG ist die Diagonale der Grundfläche: $\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ m
• Höhe: $2.5$ m
• Steigungszahl: $\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}=50.0\%$

• Ansatz $y=3x+b$, Punkt $A(1/6)$ einsetzen: $6=3\cdot 1+b$
• $b=3$, also $g:y=3x+3$

• Bei der Spiegelung an der y-Achse wird $x$ durch $-x$ ersetzt: $y=-2\cdot (-x)-3$
• Die Steigung wechselt das Vorzeichen, der y-Achsenabschnitt $-3$ bleibt: $h_2:y=2x-3$

• Zinstage (jeder Monat 30 Tage, Jahr 360 Tage): April $20$ + Mai bis August $4\cdot 30$ + September $15$ $=155$ Tage
• Zins: $z=\frac{152000\cdot 0.015\cdot 155}{360}\approx 981.67$ Franken
• $K=K_0+z=152000+981.67=152981.67$, also CHF 152'981.67

• Trapezfläche (Grundfläche): $A=\frac{33+57}{2}\cdot 15{\text{ cm}}^2=675{\text{ cm}}^2$
• Volumen = Grundfläche · Höhe des Prismas, die Höhe ist hier die Seitenkante $c$: $c=\frac{V}{A}=\frac{14512.5}{675}\text{ cm}=21.5$ cm

• Q ist Mittelpunkt des grossen Bogens: $\overline{QP}=\overline{QR}$ (R = rechte Ecke). Das Dreieck QRP ist gleichschenklig, der Winkel bei P ist auch $\beta =20°$.
• Aussenwinkel bei Q im Dreieck QRP: $\gamma =2\beta =40°$
• P ist Mittelpunkt des kleinen Bogens: Das linke Dreieck mit Spitze P ist gleichschenklig, also hat es bei beiden oberen Ecken den Winkel $\gamma =40°$.
• Winkelsumme: $\alpha =180°-2\cdot 40°=100°$

• Breite von A1: $x-3$, Höhe von A1: $x-4$
• $A_1=(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$

• A2 ist $x-3$ breit und $4$ hoch: $4\cdot (x-3)=30$
• $4x-12=30\Rightarrow 4x=42\Rightarrow x=10.5$
• Die Quadratseite misst $10.5$ cm.