Aufgabe 1: Bruchterme dividieren
2 Punkte
Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich.
Lösung
Ergebnis:
- Durch einen Bruch dividieren heisst mit dem Kehrwert multiplizieren:
- Kürzen: und , also ; ; .
- Das Minus bleibt vor dem Bruch:
BMS-Aufnahmeprüfung 2016 Mathematik BM1
Die Original-Prüfung Mathematik der Zentralen Aufnahmeprüfung 2016 für die Berufsmaturitätsschule BM1 (während der Lehre) im Kanton Zürich, zum Lösen am Bildschirm abgeschrieben, mit Lösungsweg zu jeder Aufgabe.
Bruchterme und Wurzeln vereinfachen, Einheiten umrechnen, Gleichungen und Textgleichungen, Raumbild aus drei Ansichten, Kreis und Rechteck, Strahlensatz, Steigung auf der Karte, Wahrscheinlichkeit, Prozentrechnen, lineare Funktionen (Taxitarife), Pyramide und Zylinder, Winkel im Halbkreis.
Quelle: Kanton Zürich, Mittelschul- und Berufsbildungsamt. Original: Aufgaben (PDF), Lösungen (PDF). Abschrift und Lösungswege: Fokus Nachhilfe.
Lieber mit einer Lehrperson vorbereiten? Zuhause oder online: Kostenloses Beratungsgespräch →
Antwort eintippen und prüfen, den Lösungsweg bei jeder Teilaufgabe aufklappen. Kommst du nicht weiter, frag Fox, unseren Lern-Assistenten: Er gibt dir Tipps, statt die Lösung zu verraten.
Kanton Zürich · Zentrale Aufnahmeprüfung 2016BM1 · während der Lehre
Mathematik
90 Minuten · 16 Aufgaben · 40 Punkte
- 90 Minuten
- Taschenrechner (übliche Sekundarschulrechner)
- Zeichenutensilien erlaubt
- Keine Formelsammlung
- Lösungsweg muss vollständig ersichtlich sein
Aufgabe 2: Wurzelterme vereinfachen
3 Punkte
Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich.
Lösung
Ergebnis:
- Zuerst unter den Wurzeln zusammenfassen: und .
- Wurzel ziehen: , .
- Gemeinsamer Nenner :
Aufgabe 3: Volumenverhältnis berechnen
2 Punkte
Berechnen Sie und geben Sie das Resultat auf 1 Dezimale genau an. (Der Term stellt ein Verhältnis von zwei Volumen dar)
Lösung
Ergebnis: (ohne Einheit)
- Zähler und Nenner in dieselbe Einheit bringen, z. B. dm³: und .
- Die Einheiten kürzen sich weg: Ein Verhältnis hat keine Einheit.
Aufgabe 4: Gleichung mit Brüchen
3 Punkte
Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung.
Lösung
Ergebnis:
- Linke Seite auf den gemeinsamen Nenner 15 bringen:
- Mit 15 multiplizieren und Klammern auflösen (Achtung: ):
- Zusammenfassen: , also .
Aufgabe 5: Fussballbildchen verschenken
3 Punkte
Anina und Sandro sammeln Fussballbildchen. Sandro hat 440 Bildchen mehr als Anina. Er schenkt ihr 60 seiner Bildchen. Jetzt hat Sandro noch immer 3-mal so viele Bildchen wie Anina. Berechnen Sie die Anzahl Bildchen, die Sandro vor dem Schenken hatte. Für die volle Punktzahl wird eine Gleichung verlangt.
Bildchen
Lösung
Ergebnis: Sandro hatte zu Beginn 540 Bildchen.
- Sandro hat am Anfang Bildchen, Anina .
- Nach dem Schenken: Sandro , Anina .
- Sandro hat jetzt 3-mal so viele wie Anina:
- Sandro hatte zu Beginn 540 Bildchen.
- (Andere Wahl: Anina hat , dann gilt , also und Sandro .)
Aufgabe 6: Würfelkörper aus drei Ansichten
3 Punkte
Von einem Würfelkörper aus 7 gleich grossen Würfeln sind die drei Ansichten unten gegeben.
Zeichnen Sie das Raumbild des Würfelkörpers ins Punktepapier rechts. Zeichnen Sie nur sichtbare Kanten ein.
Das Punktepapier links können Sie für Ihre Skizzen verwenden.
Lösung
Ergebnis: Raumbild siehe Lösungsgrafik.
- Aus den Ansichten den Körper Schicht für Schicht aufbauen.
- Mittlere Schicht (5 Würfel): Die Ansicht von oben zeigt die Form: eine Reihe aus 3 Würfeln von links nach rechts, dazu vorne links und hinten rechts je ein Würfel. Von vorne und von rechts ist diese Schicht als volle Reihe aus 3 Würfeln zu sehen.
- Oben (1 Würfel): auf dem mittleren Würfel der Reihe (von vorne und von rechts jeweils in der Mitte oben).
- Unten (1 Würfel): unter dem rechten Würfel der mittleren Reihe (von vorne unten rechts, von rechts unten in der Mitte).
- Zusammen Würfel. Diesen Körper ins Punktepapier zeichnen, nur die sichtbaren Kanten.
Aufgabe 7: Rechteck im Kreis
2 Punkte
Einem Kreis ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 36 cm und b = 15 cm einbeschrieben. Geben Sie den Flächeninhalt des Rechtecks in Prozent der Kreisfläche an.
Genauigkeit: 1 Dezimale
%
Lösung
Ergebnis:
- Die Diagonale des Rechtecks ist der Kreisdurchmesser (Pythagoras):
- Kreisfläche:
- Rechteckfläche:
- Anteil:
Aufgabe 8: Strahlensatz: x und y
2 Punkte
Berechnen Sie x und y auf eine Dezimale genau.
Lösung
Ergebnis: ,
- Die Strecken x, 8 und 12 sind parallel (Strahlensatz). Vom Scheitel aus misst man auf der unteren Geraden 4, dann , dann .
- x:
- y:
Aufgabe 9: Stimmzettel einer Abstimmung
3 Punkte
Bei einer Abstimmung haben aller Teilnehmenden ein «Ja» und ein «Nein» in die Urne gelegt. Die restlichen 24 Stimmzettel wurden leer eingeworfen. Berechnen Sie die Anzahl der Teilnehmenden an der Abstimmung. Für die volle Punktzahl wird eine Gleichung verlangt.
Personen
Lösung
Ergebnis: Es haben 360 Personen teilgenommen.
- Anzahl Teilnehmende = .
- Ja + Nein + leer = alle:
- , also bleibt .
Aufgabe 10: Steigung am Piz Mitgel
2 Punkte
Die Karte ist nicht massstäblich abgedruckt. Es gelten die in der Karte eingetragenen Angaben.
a)1 Punkt
Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung der direkten Strecke von Savognin (1207 m. ü. M.) bis zum Piz Mitgel (3159 m. ü. M.). Geben Sie Ihr Resultat auf 1% genau an. (Die Höhenangaben beziehen sich auf die in der Karte eingekreisten Kreuzchen.)
%
Lösung
Ergebnis:
- Horizontale Distanz aus der Karte: 8.4 cm, und 2 cm entsprechen 1 km, also .
- Höhenunterschied: .
- Steigung = Höhenunterschied : horizontale Distanz:
b)1 Punkt
Die durchschnittliche Steigung der direkten Strecke vom Piz Mitgel bis Chur (595 m. ü. M.) beträgt ca. 9.35%. Berechnen Sie die horizontale Distanz von Chur bis zum Piz Mitgel. Geben Sie Ihr Resultat auf 100 m genau an.
km
Lösung
Ergebnis: (27 400 m)
- Höhenunterschied: .
- Steigung = Höhenunterschied : horizontale Distanz, also horizontale Distanz = Höhenunterschied : Steigung:
- Hinweis: Das offizielle Lösungsblatt nennt hier 28.4 km. Mit demselben Rechenweg ergibt sich aber , also 27.4 km; die 28.4 km sind ein Rechenfehler.
Aufgabe 11: Kugeln aus einer Urne
3 Punkte
In einer Urne befinden sich 3 rote, 5 schwarze und 2 blaue Kugeln. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit in Prozent für das jeweilige zufällige Ereignis.
a)1 Punkt
Es wird einmal gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel blau ist?
%
Lösung
Ergebnis:
- Insgesamt Kugeln, davon 2 blau.
b)1 Punkt
Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel blau ist und die zweite schwarz?
%
Lösung
Ergebnis:
- Mit Zurücklegen sind beim zweiten Zug wieder alle 10 Kugeln in der Urne, 5 davon schwarz.
- Die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren:
c)1 Punkt
Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot ist und die zweite schwarz?
Genauigkeit: 1 Dezimale
%
Lösung
Ergebnis:
- Erster Zug: 3 rote von 10 Kugeln.
- Ohne Zurücklegen sind danach nur noch 9 Kugeln in der Urne, davon 5 schwarz.
Aufgabe 12: Lohnerhöhung und Pensumsreduktion
2 Punkte
Wegen guter Leistung erhält ein Angestellter eine Lohnerhöhung von 2.4%. Im darauf folgenden Jahr reduziert er sein Arbeitspensum um 20%. Nun erhält er monatlich einen Lohn von 4505.60 Franken. Berechnen Sie den ursprünglichen Monatslohn, den der Angestellte vor seiner Lohnerhöhung und der Pensumsreduktion erhalten hat.
Fr.
Lösung
Ergebnis: 5500 Franken
- Rückwärts rechnen. Pensum um 20% reduziert heisst: Er arbeitet noch 80%, der Lohn ist das 0.8-Fache.
- Lohn mit Erhöhung bei 100%: Fr.
- Erhöhung um 2.4% heisst Faktor 1.024. Lohn vor der Erhöhung:
- Kontrolle: Fr.
Aufgabe 13: Taxitarife vergleichen
4 Punkte
Jeannine vergleicht die Tarife von zwei Taxiunternehmen:
| Grundtarif in CHF | Kilometertarif in CHF | |
|---|---|---|
| Taxi A | 5 | 4 |
| Taxi B | 7 | 3 |
a)1 Punkt
Stellen Sie die Tarife im vorgegebenen Diagramm grafisch dar.
Lösung
Ergebnis: Zwei Geraden, siehe Lösungsgrafik.
- Taxi A: Gerade durch , pro km steigt sie um 4 CHF, z. B. durch und .
- Taxi B: Gerade durch , pro km steigt sie um 3 CHF, z. B. durch und .
b)1 Punkt
Bestimmen Sie grafisch, ab welcher Distanz Taxi B günstiger ist als Taxi A.
km
Lösung
Ergebnis: Ab 2 km ist Taxi B günstiger.
- Die beiden Geraden schneiden sich bei : Bei 2 km kosten beide 13 CHF.
- Rechts davon liegt die Gerade von Taxi B unter der von Taxi A. Also ist Taxi B ab 2 km günstiger.
c)1 Punkt
Stellen Sie eine Funktionsgleichung für den Tarif von Taxi A auf. Stellen Sie diese in der Form y = ..... dar.
Lösung
Ergebnis:
- Der Kilometertarif ist die Steigung (4), der Grundtarif der y-Achsenabschnitt (5).
d)1 Punkt
Taxiunternehmen C verlangt keinen Grundtarif und der Kilometertarif beträgt 6 Franken. Bestimmen Sie mit einer Gleichung, bei welcher Distanz bei Taxi A und Taxi C gleich viel bezahlt werden muss.
km
Lösung
Ergebnis: Bei 2.5 km sind beide Taxis gleich teuer.
- Taxi C: .
- Gleich teuer, wenn beide Terme gleich sind:
- Bei einer Fahrstrecke von 2.5 km sind beide Taxis gleich teuer.
Aufgabe 14: Pyramide und Zylinder
2 Punkte
Von der abgebildeten Pyramide ABCDS ist Folgendes gegeben:
- Die Grundfläche ist quadratisch.
- Die Grundkante AB misst 15 cm.
- Die Höhe misst 18 cm.
Berechnen Sie die Höhe eines Kreis-Zylinders, dessen Durchmesser d = 10 cm misst und der das gleiche Volumen wie die Pyramide besitzt.
Genauigkeit: 1 Dezimale
cm
Lösung
Ergebnis:
- Volumen der Pyramide: Grundfläche mal Höhe durch 3:
- Volumen des Zylinders: . Nach auflösen:
Aufgabe 15: Winkel im Halbkreis
2 Punkte
Bestimmen Sie α und β.
°
°
Lösung
Ergebnis: ,
- M ist der Mittelpunkt des Halbkreises, also (beides Radien). Das Dreieck MBQ ist gleichschenklig, darum hat es bei Q und bei B je den Winkel α.
- Der Winkel bei M im Dreieck MBQ ist (Aussenwinkel des kleinen Dreiecks mit dem 15°-Winkel bei A). Winkelsumme:
- P liegt auf dem Halbkreis über AB, also ist der Winkel bei P im Dreieck ABP (Thales). Bei B liegen dort :
Aufgabe 16: Quadrat vergrössern
2 Punkte
Die Seiten eines Quadrates werden um je 8 cm verlängert, wodurch ein neues Quadrat entsteht, dessen Flächeninhalt um 240 cm² grösser ist. Berechnen Sie die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrates. Für die volle Punktzahl wird eine Gleichung verlangt.
cm
Lösung
Ergebnis: Die Seitenlänge misst 11 cm.
- Seitenlänge des ursprünglichen Quadrates = cm.
- Neue Fläche = alte Fläche + 240:
- Binomische Formel:
- fällt weg: , also .