BMS-Aufnahmeprüfung 2015 Mathematik BM2

• Gemeinsamer Nenner 9: $\frac{4c+3e}{9}-\frac{3(c+e)}{9}$
• Zähler zusammenfassen (Minus vor dem ganzen Bruch!): $\frac{4c+3e-3c-3e}{9}$
• Ergebnis: $\frac{c}{9}$

• Unter den Wurzeln zusammenfassen: $(8x{)}^2+3x\cdot 12x=64x^2+36x^2=100x^2$ und $15x^2+x^2=16x^2$
• Wurzeln ziehen: $\sqrt{100x^2}=10x$, $\sqrt{16x^2}=4x$
• Also $\frac{10x}{4}-\frac{4x}{3}=\frac{15x}{6}-\frac{8x}{6}=\frac{7x}{6}$

• Mit 15 multiplizieren: $5(4x+3)-75=-3(2x+7)$
• Klammern auflösen: $20x+15-75=-6x-21$
• Ordnen: $26x=39$
• $x=\frac{39}{26}=\frac{3}{2}$

• Am Morgen: Snowboarder $x$, Skifahrer $x+3500$
• Am Nachmittag: Skifahrer $x+3500-400=x+3100$, Snowboarder $x-1000$
• Gleichung: $x+3100=2(x-1000)$
• $x+3100=2x-2000\Rightarrow x=5100$
• Snowboarder 5100, Skifahrer 8600, zusammen $5100+8600=13700$ Personen.

• Unterer Teil (senkrechte Wände): Der Querschnitt bleibt gleich, die Höhe wächst gleichmässig. Graph: eine steigende Gerade ab dem Ursprung bis zur Höhe, wo sich das Gefäss verengt.
• Oberer Teil (Wände laufen nach innen zusammen): Der Querschnitt wird nach oben immer kleiner, die Höhe steigt also immer schneller. Graph: eine Kurve, die nach oben gekrümmt ist und immer steiler wird, bis zum oberen Rand.
• Am Übergang gibt es keinen Knick: Die Kurve schliesst mit derselben Steigung an die Gerade an und wird erst danach steiler.

• Fläche des Rechtecks: $A=7\cdot 14{\text{ cm}}^2=98{\text{ cm}}^2$
• Das Dreieck hat die gleiche Fläche und die Basis $DC=14$ cm: $\frac{14\cdot h}{2}=98$
• $h=\frac{2\cdot 98}{14}\text{ cm}=14\text{ cm}$

• Die Höhe $h$ halbiert die Basis DC: Die Schenkel sind Hypotenusen eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten 7 cm und 14 cm, also gleich lang wie $d$: $\overline{DE}=\overline{CE}=\sqrt{245}\text{ cm}\approx 15.65$ cm.
• Umfang: $u=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CE}+\overline{ED}+\overline{DA}=14+7+2\cdot 15.65+7$
• $u=2\cdot 15.65\text{ cm}+4\cdot 7\text{ cm}\approx 59.3\text{ cm}$

• Fehlende Kathete mit Pythagoras: $\overline{AB}=\sqrt{130^2-78^2}\text{ cm}=\sqrt{10816}\text{ cm}=104$ cm
• Die Dreiecke ABD und ACB sind ähnlich (gemeinsamer Winkel bei A, je ein rechter Winkel). Also gilt $\frac{h}{\overline{AB}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$: $\frac{h}{104}=\frac{78}{130}$
• $h=\frac{78\cdot 104}{130}\text{ cm}=62.4$ cm

• Das Rad hat 10 gleich grosse Sektoren, einer davon ist weiss: Werbegeschenk mit $0.1$, kein Werbegeschenk mit $0.9$.
• Jede Person ist eine Stufe mit zwei Ästen ($0.1$ und $0.9$). Drei Personen ergeben drei Stufen mit $2\cdot 2\cdot 2=8$ Pfaden.
• Alternativ dürfen Sie bei den Knoten die Pfadwahrscheinlichkeiten eintragen: nach 2 Personen $0.01$, $0.09$, $0.09$, $0.81$; nach 3 Personen $0.001$, $0.009$, $0.009$, $0.081$, $0.009$, $0.081$, $0.081$, $0.729$.

Pfadregel (multiplizieren): $0.1^3=0.001=0.1\%$

• Ein Pfad mit genau zwei Werbegeschenken, z. B. ja–ja–nein: $0.1\cdot 0.1\cdot 0.9=0.009$
• Die Person ohne Geschenk kann die 1., 2. oder 3. sein: 3 solche Pfade.
• Summenregel: $3\cdot 0.009=0.027=2.7\%$

Fünfmal hintereinander kein Werbegeschenk (je $0.9$): $0.9^5\approx 0.590\approx 59\%$

• Anzahl Stimmberechtigte: $x$
• Gleichung: $\frac{4}{9}x+\frac{2}{5}x+217=x|\cdot 45$
• $20x+18x+45\cdot 217=45x\Rightarrow 45\cdot 217=7x\Rightarrow x=1395$
• «Ja»-Stimmen: $\frac{4}{9}\cdot 1395=620$

• Gefälle 77 % heisst: Höhe = 77 % der horizontalen Strecke: $\overline{AC}=0.77\cdot 210\text{ m}=161.7$ m
• Strecke CB mit Pythagoras: $s=\sqrt{161.7^2+210^2}\text{ m}\approx 265.04$ m
• Geschwindigkeit: $v=\frac{s}{t}=\frac{265.04\text{ m}}{12.5\text{ s}}\approx 21.2\frac{\text{m}}{\text{s}}$

• Der y-Achsenabschnitt ist 5.
• Von $(-3|0)$ nach $(0|5)$: 3 nach rechts, 5 nach oben, also Steigung $\frac{5}{3}$.
• $g:y=\frac{5}{3}x+5$

• Zinstage (Bankjahr: jeder Monat 30 Tage, Jahr 360 Tage): Rest März $20$ Tage, dazu April bis Dezember $9\cdot 30$ Tage: $t=20+270=290$ Tage
• Zins: $z=\frac{25000\cdot 0.017\cdot 290}{360}\text{ CHF}\approx 342.36$ CHF
• Betrag am Jahresende: $25000+342.36=25342.36$ CHF

• Grundfläche ist die Trapezfläche vorne (Breite 8 m, Seiten $a$ und 3 m), die Prismenhöhe ist 12 m.
• Trapezfläche: $A=\frac{520}{12}{\text{ m}}^2\approx 43.33{\text{ m}}^2$
• Mittlere Höhe des Trapezes: $m=\frac{43.33}{8}\text{ m}\approx 5.417$ m
• Die mittlere Höhe liegt genau zwischen $a$ und 3 m: $a=m+(m-3)=5.417\text{ m}+2.417\text{ m}\approx 7.8$ m
• Kontrolle: $\frac{7.83+3}{2}\cdot 8\cdot 12\approx 520$

• Linkes Dreieck: Die beiden Seiten ab A sind Radien des kleinen Bogens, also gleichschenklig mit Spitze $\alpha =44°$. Basiswinkel: $\frac{180°-44°}{2}=68°$, also auch bei C.
• Nebenwinkel bei C: $\gamma =180°-68°=112°$
• Rechtes Dreieck: Die Seiten ab C (zu A und zur rechten Ecke) sind Radien des grossen Bogens, also gleichschenklig mit Spitze $\gamma =112°$.
• $\beta =\frac{180°-112°}{2}=\frac{68°}{2}=34°$

• Breite der grauen Fläche: $x-2$, Höhe: $x-5$
• Fläche: $(x-2)(x-5)=x^2-5x-2x+10=x^2-7x+10$

• Gleichung: $x^2-7x+10=180$
• $x^2-7x-170=0$
• Faktorisieren: $(x-17)(x+10)=0$, also $x=17$ oder $x=-10$
• Eine Länge ist positiv: $x=17$ cm. Kontrolle: $(17-2)(17-5)=15\cdot 12=180$