BMS-Aufnahmeprüfung 2017 Mathematik BM1

Zähler und Nenner mit den binomischen Formeln in Faktoren zerlegen, dann kürzen.

• Zähler (3. binomische Formel): $x^2-25=(x-5)(x+5)$
• Nenner (1. binomische Formel): $x^2+10x+25=(x+5{)}^2$
• $\frac{(x-5)(x+5)}{(x+5{)}^2}=\frac{x-5}{x+5}$

Erst unter den Wurzeln ausrechnen, dann Punkt vor Strich.

• $289x^2-(15x{)}^2=289x^2-225x^2=64x^2$, also $\sqrt{64x^2}=8x$ und $\frac{8x}{3x}=\frac{8}{3}$
• $\sqrt{9x^2}=3x$, also $\frac{2x^2}{3x}:\frac{x}{5}=\frac{2x^2}{3x}\cdot \frac{5}{x}=\frac{10}{3}$
• $\frac{8}{3}+\frac{10}{3}=\frac{18}{3}=6$

Alle vier Summanden in cm³ umrechnen ($1\text{ l}=1{\text{ dm}}^3=1000{\text{ cm}}^3$, $1{\text{ cm}}^3=1000{\text{ mm}}^3$):

• $5\text{ l}=5000{\text{ cm}}^3$
• $7\text{ dl}=0.7\text{ l}=700{\text{ cm}}^3$
• $3000{\text{ mm}}^3=3{\text{ cm}}^3$
• $0.04{\text{ dm}}^3=40{\text{ cm}}^3$
• Summe: $5000+700+3+40=5743{\text{ cm}}^3$

Stefans Anfangsbetrag $=x$.

• Andri hat nachher dreimal so viel wie Stefan: $3(x-15)=x+33$
• $3x-45=x+33$, also $2x=78$
• $x=39$: Stefan hatte zu Beginn CHF 39.–.

Kontrolle: Andri hatte 84 Fr., nachher 72 Fr.; Stefan nachher 24 Fr.; $3\cdot 24=72$.

Steigung $=\frac{\text{Ho¨henunterschied}}{\text{horizontale Distanz}}$. Die 1300 m sind die schräge Strecke, die horizontale Distanz liefert Pythagoras.

• Höhenunterschied: $1604-1414=190$ m
• Horizontale Distanz: $\sqrt{1300^2-190^2}\text{ m}\approx 1286.04$ m
• Steigung: $\frac{190}{1286.04}\approx 0.148=14.8\%$

Alle $4\cdot 6=24$ Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Tabelle der Summen (Zeilen: Tetraeder W1, Spalten: Würfel W2):

• Summe kleiner als 5 (fett): 6 Fälle
• $P(\text{Summe kleiner als 5})=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}=0.25=25\%$

Jeder Graph ist eine Gerade; zwei Punkte genügen.

• Gesamtkosten: 200 Fr. Fixkosten plus 3 Fr. pro Datei. Punkte $(0|200)$ und $(300|200+3\cdot 300)=(300|1100)$
• Einnahmen: 4 Fr. pro Datei. Punkte $(0|0)$ und $(300|1200)$
• Die beiden Geraden schneiden sich bei $(200|800)$.

Am Schnittpunkt der beiden Geraden ablesen oder die Gleichung lösen:

• Kosten $=$ Einnahmen: $3x+200=4x$
• $x=200$
• Es müssen 200 Musikdateien heruntergeladen werden.

Der Körper besteht aus 6 Würfeln. Drehen Sie jeden abgebildeten Körper im Kopf und vergleichen Sie, wie die Würfel aneinander hängen: Zuerst Anzahl der Würfel prüfen, dann, auf welcher Seite und in welche Richtung die Würfel an den Enden abstehen. Ein spiegelbildlicher Körper ist nicht gleich.

• Gleich: obere Reihe links und rechts, mittlere Reihe links, untere Reihe links und rechts.
• Nicht gleich: obere Reihe Mitte, mittlere Reihe Mitte und rechts, untere Reihe Mitte.

Der Körper besteht aus 6 gleichen Würfeln.

• Volumen eines Würfels: $\frac{10368}{6}{\text{ cm}}^3=1728{\text{ cm}}^3$
• Kantenlänge: $s=\sqrt[3]{1728}\text{ cm}=12\text{ cm}$

Graue Fläche $=$ Halbkreis minus Dreieck ABC. C liegt auf dem Halbkreis über AB, also hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel (Satz des Thales).

• $\overline{AB}=2\cdot 13=26$ cm
• $\overline{BC}=\sqrt{26^2-10^2}\text{ cm}=24$ cm
• $A_{ABC}=\frac{\overline{AC}\cdot \overline{BC}}{2}=\frac{10\cdot 24}{2}=120{\text{ cm}}^2$
• $A_{\text{Halbkreis}}=\frac{\pi \cdot 13^2}{2}\approx 265.46{\text{ cm}}^2$
• $A_{\text{graue Fla¨che}}\approx 265.46-120\approx 145.5{\text{ cm}}^2$

Raumdiagonale eines Quaders: $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Zählen Sie die Würfelkanten in den drei Richtungen ab: 1 und 6 Einheiten auf dem Boden, 3 Einheiten in die Höhe (B liegt oben auf dem Turm aus 3 Würfeln).

• $\overline{AB}=\sqrt{1^2+3^2+6^2}\text{ cm}=\sqrt{46}\text{ cm}\approx 6.8$ cm

Wieder die Unterschiede in den drei Richtungen abzählen: 1 und 3 Einheiten waagrecht, 1 Einheit in die Höhe (B liegt auf Höhe 3, C auf Höhe 4).

• $\overline{BC}=\sqrt{1^2+1^2+3^2}\text{ cm}=\sqrt{11}\text{ cm}\approx 3.3$ cm

Das Dreieck CDE hat bei C einen rechten Winkel, die Katheten sind $\overline{CD}$ und $\overline{CE}$.

• $\overline{CD}=2$ cm (zwei Würfelkanten)
• $\overline{CE}=\sqrt{4^2+4^2}\text{ cm}=\sqrt{32}\text{ cm}$ (4 nach unten, 4 nach vorne)
• $A_{CDE}=\frac{2\cdot \sqrt{4^2+4^2}}{2}{\text{ cm}}^2\approx 5.7{\text{ cm}}^2$

ist ein Rechteck.

• Breite: Die ganze Figur ist $x$ breit; links liegt ein Streifen der Breite 5 (Radius des Viertelkreises), rechts der Streifen $A_2$ der Breite 5. Breite von $A_1$: $x-10$
• Höhe: Die Seite $x$ plus der Radius 5 oben. Höhe von $A_1$: $x+5$
• $A_1=(x-10)(x+5)=x^2-5x-50$

besteht aus einem Rechteck und einem Viertelkreis darüber.

• Rechteck: Breite 5, Höhe $x$, also $5x$
• Viertelkreis mit Radius 5: $\frac{5^2\cdot \pi }{4}=\frac{25\pi }{4}$
• $A_2=5x+\frac{25\pi }{4}$