BMS-Aufnahmeprüfung 2021 Mathematik BM1

• Zähler: $\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
• Nenner: $(10x{)}^2+21x^2=100x^2+21x^2=121x^2$, also $\sqrt{121x^2}=11x$
• Ergebnis: $\frac{3}{11x}$

Achtung: Die Wurzel aus einer Summe darf man nicht summandenweise ziehen. Erst ausrechnen, dann die Wurzel ziehen.

Klammern von innen nach aussen auflösen. Ein Minus vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen in der Klammer um.

• Innere Klammer: $3a+b-(-2a+b)=3a+b+2a-b$
• Äussere Klammer: $5a+2b-(3a+b+2a-b)=5a+2b-3a-b-2a+b$
• Zusammenfassen: $(5a-3a-2a)+(2b-b+b)=2b$

Mit dem Hauptnenner 8 alle Brüche gleichnamig machen:

• $\frac{42x}{8}-\frac{72-18x}{8}=\frac{48x}{8}$
• Mit 8 multiplizieren. Achtung, das Minus vor dem Bruch wirkt auf den ganzen Zähler: $42x-72+18x=48x$
• $60x-72=48x$, also $12x=72$
• $x=6$

Typischer Fehler: $42x-72-18x$ (Vorzeichen nicht umgekehrt) führt auf das falsche Ergebnis $x=-3$.

Punkt vor Strich: zuerst beide Produkte bzw. Quotienten ausrechnen.

• $9b\cdot \frac{a^2}{3}=3a^{2}b$
• Durch einen Bruch dividieren heisst mit dem Kehrwert multiplizieren: $8a^2:\frac{2}{b}=8a^2\cdot \frac{b}{2}=4a^{2}b$
• Addieren: $3a^{2}b+4a^{2}b=7a^{2}b$

Die Durchschnittsgeschwindigkeit über die ganze Strecke legt die Gesamtzeit fest.

• Gesamtzeit: $t=\frac{36}{24}\text{h}=1.5\text{h}=90\text{min}$
• Zeit für den zweiten Teil: $90\text{min}-48\text{min}=42\text{min}=0.7\text{h}$
• Geschwindigkeit für den zweiten Teil: $v=\frac{14}{0.7}\text{km/h}=20\text{km/h}$

Alles in Liter umrechnen, denn $1\text{l}=1{\text{dm}}^3$.

• $1^{\prime }000\cdot 5\text{dl}=5^{\prime }000\text{dl}=500\text{l}$
• $400\cdot 150\text{ml}=60^{\prime }000\text{ml}=60\text{l}$
• $600\cdot 10\text{cl}=6^{\prime }000\text{cl}=60\text{l}$
• Total: $500+60+60=620\text{l}=620{\text{dm}}^3$

Ein Verlust von 25 % heisst: Es bleiben 75 %, also Faktor 0.75. Die Prozente beziehen sich jedes Jahr auf den aktuellen Wert, deshalb werden die Faktoren multipliziert (nicht die Prozente addiert).

• Restwert nach 5 Jahren: $0.75\cdot 0.8\cdot 0.85^3\approx 0.368$, also rund 36.8 % des Neupreises
• Wertverlust: $1-0.75\cdot 0.8\cdot 0.85^3\approx 0.632=63.2\%$

Der Neupreis von CHF 35'000 wird dafür nicht gebraucht.

Zins für jeden Zeitabschnitt einzeln berechnen (Marchzins: Jahreszins mal Anteil des Jahres).

• 3 Monate mit CHF 18'000: $\frac{3}{12}\cdot 18^{\prime }000\cdot \frac{0.2}{100}=9$
• 9 Monate mit CHF 10'000: $\frac{9}{12}\cdot 10^{\prime }000\cdot \frac{0.2}{100}=15$
• Kontostand Ende 2020: $9+15+10^{\prime }000=\text{CHF }10^{\prime }024$

Die Gesamthöhe der Treppe bleibt in beiden Fällen gleich.

• $x$ = Höhe einer Treppenstufe in cm
• Gleichung: $22x=20(x+1.6)$
• $22x=20x+32$, also $2x=32$
• $x=16$

Die Höhe einer Treppenstufe beträgt 16 cm.

Alle Produkte in einer Tabelle aufschreiben (Würfel 1 / Würfel 2):

• Es gibt $4\cdot 4=16$ gleich wahrscheinliche Ergebnisse.
• Grösser als 7 sind: 8, 8, 9, 12, 12, 16, also 6 Ergebnisse.
• $P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=0.375=37.5\%$

• Gerade B einzeichnen: Start bei 54 Litern, pro 100 km 9 Liter weniger, also z. B. durch $(0|54)$ und $(600|0)$.
• Gerade C einzeichnen: Start bei 35 Litern, pro 100 km 5 Liter weniger, also durch $(0|35)$ und $(700|0)$.
• Schnittpunkt der beiden Geraden ablesen: bei etwa 475 km (Tankinhalt dort rund 11 Liter).

Kontrolle mit Rechnung: $54-0.09x=35-0.05x$ ergibt $19=0.04x$, also $x=475$.

Steigung = Höhenunterschied : horizontale Distanz.

• Höhenunterschied von A nach B ($x$): $\frac{x}{900}=0.18$, also $x=162\text{m}$
• Horizontale Distanz von B nach C ($y$): $\frac{700}{y}=0.25$, also $y=2^{\prime }800\text{m}$
• Steigung von A nach C: $\frac{x+700}{900+y}=\frac{862}{3^{\prime }700}\approx 0.233=23.3\%$

Die beiden Prozentwerte darf man nicht einfach mitteln, weil die Abschnitte verschieden lang sind.

Der Körper hat 6 Dreiecksflächen. Ordnen Sie die Flächen über gemeinsame Kanten zu: Zwei Dreiecke, die im oberen Netz eine Kante teilen, müssen auch im neuen Netz an derselben Körperkante liegen. Gehen Sie vom vorgegebenen Strich aus und achten Sie bei den Strichen auch auf die Richtung relativ zu den Dreiecksseiten.

Lösung (siehe Grafik): im obersten Dreieck die drei Kreise; in der mittleren Reihe nach dem vorgegebenen Strich links der zweite Strich, dann der Kreis, dann das Dreieck; im untersten Dreieck der Stern.