BMS-Aufnahmeprüfung 2020 Mathematik BM1

• Unter der Wurzel zuerst zusammenfassen: $(7x{)}^2=49x^2$, also $x^2+49x^2-25x^2=25x^2$
• Wurzel ziehen: $\sqrt{25x^2}=5x$

Achtung: Die Wurzel aus einer Summe darf man nicht summandenweise ziehen. Erst ausrechnen, dann die Wurzel ziehen.

• Zuerst die beiden Klammern ausmultiplizieren: $(x+1)(x+2)=x^2+2x+x+2=x^2+3x+2$
• Dann mit 5 multiplizieren: $5(x^2+3x+2)=5x^2+15x+10$

Achtung: Der Faktor 5 wird nur einmal angewendet, nicht auf beide Klammern.

• Binomische Formel: $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$
• Gleichung: $x^2+4x+4=x^2+9$
• $x^2$ fällt auf beiden Seiten weg: $4x+4=9$, also $4x=5$
• Lösung: $x=\frac{5}{4}=1.25$

Achtung: $(x+2{)}^2$ ist nicht $x^2+4$.

Punkt vor Strich: zuerst die Division rechnen.

• Durch einen Bruch teilen heisst mit dem Kehrbruch multiplizieren: $\frac{2b^2}{4a}:\frac{b^2}{6a^2}=\frac{2b^2}{4a}\cdot \frac{6a^2}{b^2}=\frac{12a^2{b}^2}{4a{b}^2}=3a$
• Subtrahieren: $\frac{17a}{3}-3a=\frac{17a}{3}-\frac{9a}{3}=\frac{8a}{3}$

• Gemeinsamer Nenner ist 18: den ersten Bruch mit 3, den zweiten mit 2 erweitern.
• $\frac{15(x-1)}{18}-\frac{2(x+3)}{18}=\frac{15x-15-2x-6}{18}$
• Zusammenfassen: $\frac{13x-21}{18}$, oder aufgeteilt $\frac{13x}{18}-\frac{7}{6}$

Achtung: Das Minus vor dem zweiten Bruch gilt für den ganzen Zähler $2x+6$.

Zuerst alle Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen, dann kürzen.

• $x^2-3x=x(x-3)$
• $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$ (1. binomische Formel)
• $x^2-1=(x-1)(x+1)$ (3. binomische Formel)
• $\frac{x(x-3)}{(x+1{)}^2}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x-3}$: kürzen mit $(x-3)$ und mit $(x+1)$
• Ergebnis: $\frac{x(x-1)}{x+1}=\frac{x^2-x}{x+1}$

Alles in dieselbe Einheit umrechnen, hier cm². Bei Flächen ist der Umrechnungsfaktor zwischen benachbarten Einheiten 100.

• A: $0.43{\text{m}}^2=4^{\prime }300{\text{cm}}^2$
• B: $4.3{\text{dm}}^2=430{\text{cm}}^2$
• C: $43^{\prime }000{\text{cm}}^2$
• D: $4^{\prime }300^{\prime }000{\text{mm}}^2=43^{\prime }000{\text{cm}}^2$
• E: $4^{\prime }300{\text{cm}}^2$

Paare: A und E, C und D. Allein bleibt B.

Alles in Liter umrechnen. Merke: $1\text{l}=1{\text{dm}}^3=1^{\prime }000{\text{cm}}^3=1^{\prime }000\text{ml}$, bei Volumen ist der Faktor zwischen benachbarten Längeneinheiten 1'000.

• A: $5^{\prime }400{\text{cm}}^3=5.4\text{l}$
• B: $0.54\text{l}$
• C: $5^{\prime }400\text{ml}=5.4\text{l}$
• D: $540\text{dl}=54\text{l}$
• E: $540^{\prime }000{\text{mm}}^3=540{\text{cm}}^3=0.54\text{l}$

Paare: A und C, B und E. Allein bleibt D.

Steigung = Höhenunterschied : horizontale Distanz, beides in derselben Einheit.

• $3.4\text{km}=3^{\prime }400\text{m}$
• $\frac{800\text{m}}{3^{\prime }400\text{m}}\approx 0.2353\approx 23.5\%$

60 % Steigung heisst: pro Meter horizontal steigt es 0.6 m.

• $y=0.6\cdot 1^{\prime }500\text{m}=900\text{m}=0.9\text{km}$

• $x$: Anzahl 4er-Tische, dann ist $14-x$ die Anzahl 8er-Tische.
• Gleichung für die Plätze: $4x+8(14-x)=72$
• Auflösen: $4x+112-8x=72$, also $-4x=-40$
• Lösung: $x=10$

Kontrolle: $10\cdot 4+4\cdot 8=40+32=72$ Plätze.

Der Zinssatz gilt pro Jahr. Für einen Teil des Jahres rechnet man mit dem Anteil der Monate.

• Januar bis April (4 Monate): $9^{\prime }000\cdot \frac{0.2}{100}\cdot \frac{4}{12}=6$
• Mai bis Dezember (8 Monate): $9^{\prime }000\cdot \frac{0.15}{100}\cdot \frac{8}{12}=9$
• Kapital Ende Dezember: $9^{\prime }000+6+9=9^{\prime }015$, also CHF 9'015

79 % höher heisst: $100\%+79\%=179\%$ der Säntishöhe.

• $2^{\prime }501.9\text{m}\cdot 1.79=4^{\prime }478.4\text{m}\approx 4^{\prime }478\text{m}$

Die Säntishöhe ist der Grundwert (100 %).

• $\frac{694}{2^{\prime }501.9}\approx 0.2774=27.74\%\approx 28\%$

• Steigung: $m=\frac{5-(-4)}{3-(-6)}=\frac{9}{9}=1$
• y-Achsenabschnitt: Punkt A einsetzen: $5=1\cdot 3+q$, also $q=2$
• Funktionsgleichung: $y=x+2$

Im Koordinatensystem sehen Sie dasselbe: Die Gerade durch A und B schneidet die y-Achse bei 2 und steigt pro Einheit nach rechts um 1.

Auf der x-Achse ist $y=0$.

• $0=2x-7$
• $2x=7$
• $x=\frac{7}{2}=3.5$

Ziehen ohne Zurücklegen: Nach der ersten Person ist eine Person weniger in der Gruppe.

• 1. Person erwachsen: $\frac{4}{10}$
• 2. Person erwachsen (noch 3 Erwachsene unter 9 Personen): $\frac{3}{9}$
• Pfad im Baumdiagramm multiplizieren: $p=\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}\approx 13.3\%$

Das Quadrat hat die Seite $4a=20\text{cm}$, der Halbkreis den Durchmesser 20 cm, also den Radius 10 cm. Die Seite zwischen Quadrat und Halbkreis gehört nicht zum Umfang.

• Drei Quadratseiten: $3\cdot 20\text{cm}=60\text{cm}$
• Halbkreisbogen: $\frac{2\cdot \pi \cdot 10}{2}\text{cm}\approx 31.4\text{cm}$
• $u=3\cdot 4\cdot 5+\frac{2\cdot \pi \cdot 10}{2}\approx 91.4\text{cm}$

• Quadrat mit Seite $4a$: $(4a{)}^2=16a^2$
• Halbkreis mit Durchmesser $4a$, also Radius $2a$: $\frac{(2a{)}^2\cdot \pi }{2}=2a^2\pi$
• $A=16a^2+\frac{(2a{)}^2\cdot \pi }{2}$, vereinfacht $16a^2+2a^2\pi =2a^2(8+\pi )$

Auch andere gleichwertige Terme sind richtig. Kontrolle mit $a=5$: $2\cdot 25\cdot (8+\pi )\approx 557.1$, wie in b.

Die Punkte auf der Grundlinie heissen hier P (links), Q (beim 64°-Winkel) und R (rechts).

• $\alpha$: P und Q liegen auf dem Kreis um N, also ist $NP=NQ$ und das Dreieck PQN gleichschenklig. Beide Basiswinkel sind $64^{\circ }$, also $\alpha =180^{\circ }-2\cdot 64^{\circ }=52^{\circ }$.
• $\beta$: PR ist der Durchmesser des Halbkreises um M und N liegt auf diesem Halbkreis. Nach dem Satz des Thales ist der Winkel bei N im Dreieck PRN $90^{\circ }$. Mit dem Winkel $64^{\circ }$ bei P folgt $\beta =180^{\circ }-90^{\circ }-64^{\circ }=26^{\circ }$.

• $V=\frac{G\cdot h}{3}=\frac{6^2\cdot 4}{3}{\text{cm}}^3=\frac{144}{3}{\text{cm}}^3=48{\text{cm}}^3$

Achtung: Bei der Pyramide wird durch 3 geteilt.

Die Oberfläche besteht aus dem Grundquadrat und vier gleichen Dreiecken. Für die Dreiecke braucht es deren Höhe $h_{\text{Seite}}$.

• $h_{\text{Seite}}$ mit Pythagoras im Dreieck aus Pyramidenhöhe (4 cm) und halber Grundkante (3 cm): $h_{\text{Seite}}=\sqrt{3^2+4^2}\text{cm}=5\text{cm}$
• Ein Seitendreieck: $A_{\text{Seite}}=\frac{6\cdot 5}{2}{\text{cm}}^2=15{\text{cm}}^2$
• $S=G+4\cdot A_{\text{Seite}}=(6^2+4\cdot 15){\text{cm}}^2=(36+60){\text{cm}}^2=96{\text{cm}}^2$

Der Streckenzug ist ein geschlossenes Sechseck durch sechs Kantenmittelpunkte. Auf jeder der sechs Quaderflächen liegt genau eine Strecke. Bestimmen Sie zuerst im Netz, welche Fläche welche ist: Das Rechteck mit den Ecken A, B, C, D ist die Grundfläche.

• Grundfläche ABCD: von der Mitte von BC zur Mitte von CD
• Hintere Fläche (an CD): von der Mitte von CD zur Mitte der senkrechten Kante über D
• Linke Fläche: von der Mitte der senkrechten Kante über D zur Mitte der oberen linken Kante
• Deckfläche: von der Mitte der oberen linken Kante zur Mitte der oberen vorderen Kante
• Vordere Fläche (an AB): von der Mitte der oberen vorderen Kante zur Mitte der senkrechten Kante über B
• Rechte Fläche: von der Mitte der senkrechten Kante über B zur Mitte von BC

Kontrolle: Wo zwei Flächen im Netz eine gemeinsame Kante haben, muss der Streckenzug an derselben Stelle (Kantenmitte) weitergehen.