Gymiprüfung 2016 Mathematik Kurzgymnasium

Zerlege jeden Bruch in einfache Teile:

• $\frac{4a+8}{4}=a+2$
• $\frac{2a}{6}=\frac{a}{3}$
• $\frac{a-3}{3}=\frac{a}{3}-1$

Zusammen: $a+2+\frac{a}{3}-\frac{a}{3}+1=a+3$.

Achtung beim Minus vor dem Bruch: $-\frac{a-3}{3}=-\frac{a}{3}+1$.

Vergleichsgrösse (100 %) ist hier der neue Preis CHF 32 500, denn gefragt ist, um wie viel der alte Preis teurer war.

• $\frac{38025}{32500}=1.17$
• $1.17=117\%$, also war das Auto $17\%$ teurer.

Erhöhen um 32 % heisst mal $1.32$, reduzieren um 32 % heisst mal $0.68$.

• $x\cdot 1.32\cdot 0.68=24684$
• Rückwärts: $24684:0.68=36300$ (Preis nach der Erhöhung)
• $36300:1.32=27500$

Der ursprüngliche Preis war CHF 27 500. (Die beiden 32 % heben sich nicht auf, weil sie sich auf verschiedene Grundwerte beziehen.)

Der Quader hat die Kanten $a$, $3a$ und $4a$.

• Oberfläche: $S=2\cdot (a\cdot 3a+3a\cdot 4a+a\cdot 4a)=2\cdot 19a^2=38a^2$
• $38a^2=152$, also $a^2=4$ und $a=2\text{cm}$
• Volumen: $V=4a\cdot 3a\cdot a=8\cdot 6\cdot 2=96{\text{cm}}^3$

Länge, Breite und Höhe werden je verdoppelt: $2\cdot 2\cdot 2=8$.

Kontrolle: Mit $a=4$ statt $2$ ist $V=16\cdot 12\cdot 4=768{\text{cm}}^3=8\cdot 96{\text{cm}}^3$.

• Spiegeln an der $y$-Achse: Die $x$-Koordinate wechselt das Vorzeichen, $y$ bleibt. Du erhältst $P_1(-x/y)$.
• Drei Einheiten nach unten: Von der $y$-Koordinate 3 abziehen. Du erhältst $P^{\prime }(-x/y-3)$.

Probe mit einem Punkt, z. B. $P(2/5)$: gespiegelt $(-2/5)$, verschoben $(-2/2)$.

Schneller Weg: $x\mapsto 3x+1$ streckt jede Länge in $x$-Richtung mit Faktor 3 (das $+1$ verschiebt nur). $y\mapsto 2y$ streckt in $y$-Richtung mit Faktor 2. Die Fläche wird also $3\cdot 2=6$-mal so gross.

Nachrechnen:

• Original: Eckpunkte $(0/-3)$, $(3/-3)$, $(2/4)$. Grundseite 3, Höhe 7: $A=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 7=10.5$
• Bild: $(1/-6)$, $(10/-6)$, $(7/8)$. Grundseite 9, Höhe 14: $A=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 14=63$
• $63:10.5=6$

Lies die Abstände im Diagramm in Häuschen ab: Schulhaus → Hallenbad sind 6 Häuschen, Fussballplatz → Hallenbad sind 8 Häuschen.

• Tempo von Hannah: In a) schafft sie 6 Häuschen in 15 min, also 2 Häuschen pro 5 min.
• b) Waagrechte Strecke beim Hallenbad von 16:15 bis 16:20.
• c) Gleich steil wie a), aber abwärts: 8 Häuschen bis zum Fussballplatz dauern 20 min. Also von 16:20 (Hallenbad) bis 16:40 (Fussballplatz).
• d) Elias ist doppelt so schnell: 4 Häuschen pro 5 min, die Gerade ist doppelt so steil. Er überholt Hannah beim Dorfbrunnen. Dort ist Hannah laut a) um 16:10. Vom Fussballplatz zum Dorfbrunnen sind es 6 Häuschen, dafür braucht Elias 7.5 min. Er startet also um 16:02:30 beim Fussballplatz. Die restlichen 2 Häuschen bis zum Hallenbad braucht er 2.5 min, er kommt um 16:12:30 an.

Zeichne d) als Gerade vom Fussballplatz (16:02:30) durch den Punkt Dorfbrunnen/16:10 bis zum Hallenbad (16:12:30).

Setze $x$ = Gewicht eines Legoteilchens (in g). Dann wiegt eine leere Tüte $x+13.45$.

• Eine volle Tüte: $x+13.45+500x=501x+13.45$
• Sieben volle Tüten: $7\cdot (501x+13.45)=2023$
• Durch 7 teilen: $501x+13.45=289$
• $501x=275.55$, also $x=0.55$

Ein Legoteilchen wiegt 0.55 g, eine leere Tüte $0.55+13.45=14$ g.

Probe: $14+500\cdot 0.55=289$ und $7\cdot 289=2023$.

Idee: $MC$ ist ein Radius des Kreises. Im rechtwinkligen Dreieck $H_{c}MC$ findest du ihn mit Pythagoras.

• $r=\overline{MC}=\sqrt{16^2+30^2}=\sqrt{256+900}=\sqrt{1156}=34\text{cm}$
• $\overline{AB}$ ist ein Durchmesser: $\overline{AB}=2\cdot 34=68\text{cm}$
• $\overline{A{H}_c}=r-\overline{H_{c}M}=34-16=18\text{cm}$
• $\overline{AC}=\sqrt{18^2+30^2}=\sqrt{324+900}=\sqrt{1224}\approx 34.986\text{cm}$
• $\overline{H_{c}B}=16+34=50\text{cm}$
• $\overline{BC}=\sqrt{50^2+30^2}=\sqrt{2500+900}=\sqrt{3400}\approx 58.310\text{cm}$

Kontrolle mit dem rechten Winkel bei $C$ (Thaleskreis): ${\overline{AC}}^2+{\overline{BC}}^2=1224+3400=4624=68^2$.

Das Quadrat hat die Seitenlänge 12 cm. Alle grauen Flächen sind Dreiecke mit der gemeinsamen Spitze oben (9 cm vom linken Rand, 3 cm vom rechten Rand). Nimm jeweils die graue Strecke am Rand als Grundseite.

• Linker Rand: 3 Dreiecke mit Grundseite 3 cm, Höhe 9 cm (Abstand der Spitze zum linken Rand): je $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 9=13.5{\text{cm}}^2$
• Unterer Rand: 2 Dreiecke mit Grundseite 2 cm, Höhe 12 cm: je $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 12=12{\text{cm}}^2$
• Rechter Rand: 1 Dreieck mit Grundseite 6 cm, Höhe 3 cm: $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3=9{\text{cm}}^2$

Summe: $3\cdot 13.5+2\cdot 12+9=40.5+24+9=73.5{\text{cm}}^2$

Bei einer Spiegelung wird die Gerade, auf der $h_c$ liegt, auf die Gerade $g$ abgebildet. Eine Achse, die eine Gerade auf eine andere spiegelt, ist eine Winkelhalbierende der beiden Geraden.

1. Verlängere die Höhe $h_c$ zur Geraden $h=g(C,F)$.
2. Schneide $h$ mit $g$: Schnittpunkt $S$.
3. Konstruiere die beiden Winkelhalbierenden $a_1$ und $a_2$ der Winkel zwischen $g$ und $h$. Das sind die beiden möglichen Spiegelachsen (sie stehen senkrecht aufeinander).
4. Spiegle $A$, $B$ und $C$ an einer der Achsen, z. B. an $a_1$, und erhalte $A_1^{\prime }{B}_1^{\prime }{C}_1^{\prime }$. Die neue Höhe $h_{c,1}^{\prime }$ liegt dann auf $g$.

Die Grundfläche der Pyramide ist ein halbes Würfelquadrat, die Höhe ist eine ganze Würfelkante.

• $V_{\text{Wu¨rfel}}=9^3=729{\text{cm}}^3$
• $V_{\text{Pyramide}}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 9^2\cdot 9=\frac{1}{6}\cdot 9^3=121.5{\text{cm}}^3$

Die Pyramide macht $\frac{1}{6}$ des Würfelvolumens aus.

Für jede Pyramide gilt $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$. Bei Kantenlänge $s$ hat die Pyramide aus a) das Volumen $\frac{1}{6}{s}^3$, also $G\cdot h=\frac{1}{2}{s}^3$. Prüfe bei jeder Pyramide, ob Grundfläche mal Höhe gleich $\frac{1}{2}{s}^3$ ist.

• Würfel 1, 3, 6, 8: Grundfläche und Höhe ergeben ebenfalls $G\cdot h=\frac{1}{2}{s}^3$, z. B. wie in a) ein halbes Würfelquadrat als Grundfläche ($\frac{1}{2}{s}^2$) mit Höhe $s$. → ja
• Würfel 2: Grundfläche die ganze Bodenfläche ($s^2$), Spitze im Würfelmittelpunkt, Höhe $\frac{1}{2}s$. → ja
• Würfel 5: Grundfläche das Quadrat aus den Kantenmitten $M_1$ bis $M_4$ einer Seitenfläche (halbe Fläche, $\frac{1}{2}{s}^2$), Spitze in der Mitte der gegenüberliegenden Fläche, Höhe $s$. → ja
• Würfel 7: Grundfläche das Rechteck bis zu den Kantenmitten $M_1$, $M_2$ (halbe Seitenfläche), Höhe $s$. → ja
• Würfel 4 und 9: Die Grundfläche ist eine ganze Seitenfläche ($s^2$) und die Höhe eine ganze Kante $s$. Das Volumen ist $\frac{1}{3}{s}^3$, also doppelt so gross. → nein

Die vier Linien von der ersten Ecke zerlegen das Dreieck in 5 Streifen. Jede der vier Linien von der zweiten Ecke schneidet jeden dieser Streifen, also wird jeder Streifen in 5 Stücke geteilt.

Teilflächen.

Linien teilen jede Dreiecksseite in $n+1$ Teilstrecken. Die Anzahl Teilflächen ist das Quadrat davon: