Gymiprüfung 2017 Mathematik Kurzgymnasium

• Klammer auflösen: $6\cdot \frac{5}{9}=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$, also $4x-\frac{2}{3}=6x+\frac{10}{3}$
• $x$-Terme nach rechts, Brüche nach links: $-\frac{2}{3}-\frac{10}{3}=2x$, also $2x=-4$
• $x=-2$

Alternative: Zuerst beide Seiten mit 9 multiplizieren: $36x-6=54x+30$, also $18x=-36$ und $x=-2$.

Löse die Klammern von innen nach aussen auf.

• $b\cdot (c:d)=b\cdot c:d$. Durch dieses Produkt teilen heisst: durch $b$ teilen, durch $c$ teilen und mit $d$ multiplizieren (Teilen durch $\frac{c}{d}$ = Mal $\frac{d}{c}$). Also $a:(b\cdot c:d)=a:b:c\cdot d$.
• $e-(f+g)+h=e-f-g+h$
• Ein Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen um: $-(e-f-g+h)=-e+f+g-h$
• Zusammen: $a:b:c\cdot d-e+f+g-h$

Die zwei Rabatte werden nacheinander abgezogen, nicht addiert.

• Nach 10 % Rabatt bleiben 90 %: $650\cdot 0.9=585$
• Nach weiteren 6 % bleiben 94 %: $585\cdot 0.94=549.90$

Kurz: $650\cdot 0.9\cdot 0.94=549.90$ CHF

Rechne rückwärts: Statt mit dem Faktor zu multiplizieren, teilst du durch ihn.

• CHF 621 sind 92 % des Rechnungsbetrags: $621:0.92=675$
• CHF 675 sind 90 % des angeschriebenen Preises: $675:0.9=750$

Kurz: $621:0.92:0.9=750$ CHF

Wähle die Anzahl Kinder als $x$, weil sich die anderen Gruppen darauf beziehen.

• Gleichung: $12x+16\cdot 2x+44\cdot (x+28)=5896$
• $12x+32x+44x+1232=5896$
• $88x=4664$
• $x=53$

Es sind 53 Kinder, $2\cdot 53=106$ Jugendliche und $53+28=81$ Erwachsene.

Probe: $53\cdot 12+106\cdot 16+81\cdot 44=636+1696+3564=5896$ ✓

• Wahrscheinlichkeit, dass die Schülerin aus A Mathematik mag: $\frac{3}{5}$. Aus B: $\frac{2}{3}$.
• Beide Ereignisse müssen eintreten, also multiplizieren: $\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

In der Tabelle sieht man es auch: Von $5\cdot 3=15$ gleich wahrscheinlichen Paaren sind $3\cdot 2=6$ günstig.

Es gibt zwei Fälle, die du addierst:

• A mag Mathematik, B nicht: $\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{15}$
• A mag Mathematik nicht, B schon: $\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{15}$
• Zusammen: $\frac{3}{15}+\frac{4}{15}=\frac{7}{15}$

• Vorher mögen $\frac{3}{5}$ der Klasse Mathematik, nachher $\frac{1}{2}$.
• Der Unterschied: $\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{6}{10}-\frac{5}{10}=\frac{1}{10}$
• Dieser Zehntel entspricht den 2 Schülerinnen, die ihre Meinung geändert haben.
• Also hat die Klasse $10\cdot 2=20$ Schülerinnen.

Mit Gleichung ($x$ = Anzahl Schülerinnen): $\frac{3x}{5}-2=\frac{x}{2}$, also $\frac{x}{10}=2$ und $x=20$.

Geschickt: Teile das Quadrat in $3\times 3=9$ gleich grosse kleine Quadrate.

• Jedes weisse Dreieck ist ein halbes kleines Quadrat. Die vier weissen Dreiecke ergeben zusammen 2 kleine Quadrate.
• Die graue Fläche besteht also aus $9-2=7$ kleinen Quadraten.
• $7$ kleine Quadrate $=28$ cm², also ein kleines Quadrat $=4$ cm². Seitenlänge: 2 cm.
• $\overline{AB}$ ist 3 kleine Quadrate lang: $3\cdot 2=6$ cm.

• Nenne die ersten zwei Zahlen $a$ und $b$. Dann ist die 3. Zahl $a+b$ und die 4. Zahl $b+(a+b)=a+2b$.
• Also muss gelten: $a+2b=9$, mit $a,b\ge 0$ ganzzahlig.
• Probiere alle $b$ durch: $b=0,1,2,3,4$ (für $b=5$ wäre $a$ negativ).

Es gibt genau 5 Möglichkeiten.

liegt in der linken Seitenfläche des Würfels und ist dort die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 12 cm (ganze Kante) und 6 cm (halbe Kante bis zum Mittelpunkt $M_1$).

Die Mittellinie ist der Durchschnitt der beiden parallelen Seiten.

• $\overline{AC}$ ist eine Flächendiagonale der Bodenfläche: $\overline{AC}=\sqrt{12^2+12^2}=12\sqrt{2}=\sqrt{288}\approx 16.971$ cm
• $\overline{M_1{M}_2}$ verbindet zwei Kantenmittelpunkte der Deckfläche: $\overline{M_1{M}_2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}=\sqrt{72}\approx 8.485$ cm
• $m=\frac{\overline{AC}+\overline{M_1{M}_2}}{2}\approx \frac{16.971+8.485}{2}=\frac{25.456}{2}=12.728$ cm

Du brauchst die Höhe $h$ des Trapezes. Fälle von $M_1$ aus das Lot auf $AC$.

• Weil das Trapez gleichschenklig ist, steht auf jeder Seite das gleiche Stück $x$ über: $x=(\sqrt{288}-\sqrt{72}):2=\sqrt{18}\approx 4.243$ cm
• Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse $A{M}_1$: $h=\sqrt{{\overline{A{M}_1}}^2-x^2}=\sqrt{180-18}=\sqrt{162}\approx 12.728$ cm
• Fläche: $A=m\cdot h=\sqrt{162}\cdot \sqrt{162}=162$ cm²