Gymiprüfung 2023 Mathematik Kurzgymnasium

Die Original-Prüfung Mathematik der Zentralen Aufnahmeprüfung (ZAP) 2023 fürs Kurzgymnasium im Kanton Zürich, zum Lösen am Bildschirm abgeschrieben, mit Lösungsweg zu jeder Aufgabe.

Termumformungen, Gleichungen, Bruchterme und Wurzeln, Rechenmauer, Gleichungen aus Texten, Prozentrechnen, Füll- und Leerungsgraphen, Wahrscheinlichkeit mit Glücksrädern sowie Pythagoras im Koordinatensystem und im Würfelkörper.

Die Handelsmittelschule (HMS) Zürich verwendet dieselbe Prüfung: Das ist auch eine alte HMS-Aufnahmeprüfung.

Quelle: Kanton Zürich, Bildungsdirektion. Original: Aufgaben (PDF), Lösungen (PDF). Abschrift und Lösungswege: Fokus Nachhilfe.

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Jetzt übenDiese Themen kommen in der Prüfung vor. Eine kurze Runde mit Fox, ohne Anmeldung:

Terme mit Variablen vereinfachen Ausmultiplizieren und Ausklammern Lineare Gleichungen lösen

PDF mit Lösungen

Antwort eintippen und prüfen, den Lösungsweg bei jeder Teilaufgabe aufklappen. Kommst du nicht weiter, frag Fox, unseren Lern-Assistenten: Er gibt dir Tipps, statt die Lösung zu verraten.

Kanton Zürich · Zentrale Aufnahmeprüfung 2023Kurzgymnasium · 2./3. Sek

Mathematik

90 Minuten · 10 Aufgaben · 44 Punkte

90 Minuten
Taschenrechner erlaubt: TI-30 ECO RS, TI-30X IIS, CASIO FX-82 Solar II oder SHARP EL-501 T
Kein zusätzliches Notizpapier
Lösungswege müssen klar ersichtlich sein
Aufgaben in beliebiger Reihenfolge lösbar

Aufgabe 1: Gemischte Grundaufgaben

10 Punkte

Multipliziere aus und vereinfache so weit wie möglich.

2 y \cdot (x y + 3 y^{2})

Term

Vereinfache den Term so weit wie möglich.

(6 a \cdot 8 b - 8 b \cdot 2 a) : 2

Term

Berechne den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) von 54 und 252.

ggT

Schreibe die Zahl mit Hilfe einer Zehnerpotenz, sodass vor dem Dezimalpunkt nur eine Ziffer $\neq = 0$ steht.

Beispiel: $7.8 \cdot 1 0^{5}$ (aber nicht $0.78 \cdot 1 0^{6}$ )

0.0215 Milliarden =

Zahl

Klammere so viel wie möglich aus.

15 a^{2} b + 35 a b^{2}

Term

Löse den Term nach $h$ auf.

A = \frac{g \cdot h}{2}

h =

Ein Liter Benzin kostet $x$ Franken. Der Preis wird um ein Viertel des erhöht. Gib einen Term für den neuen Preis an und vereinfache ihn so weit wie möglich.

Neuer Preis

Wandle in $mm^{3}$ um.

12.4 Liter

Volumenmm³

M_{1}

und $M_{2}$ sind die Mittelpunkte der beiden gestrichelt eingezeichneten Halbkreise. Die Abbildung ist nicht massstabsgetreu.

Berechne den Winkel $α$ .

α°

Ein Quader hat wie abgebildet die Kantenlängen 6 cm und 15 cm. Die Länge der Raumdiagonalen $P Q$ beträgt 45 cm.

Berechne die Länge der Kante $h$ .

hcm

Aufgabe 2: Lineare Gleichungen lösen

4 Punkte

Löse die Gleichungen nach $x$ auf.

6 - (14 - 4 x) = 2 x - 7 (2 x + 8)

\frac{4 x}{5} - \frac{7 + 2 x}{3} = \frac{x}{4}

Aufgabe 3: Bruchterme und Wurzeln vereinfachen

4 Punkte

Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

\frac{x z}{2} - \frac{4 x ^{2} y}{9 z} : \frac{8 x y}{3 z ^{2}}

Term

\frac{17 x ^{2} - x ^{2}}{8 x} \cdot \frac{32 x}{x ^{2}}

Term

Aufgabe 4: Rechenmauer mit Bruchtermen

3 Punkte

In den folgenden Rechenmauern steht in einem Kästchen immer das Produkt der beiden darunterliegenden Kästchen (siehe Beispiel).

Vervollständige die Rechenmauer. Die Resultate müssen vollständig vereinfacht sein.

oben

unten links

unten rechts

Aufgabe 5: Gleichungen aus Texten aufstellen

3 Punkte

Im Folgenden werden zwei verschiedene Situationen beschrieben. Stelle jeweils eine Gleichung mit der Unbekannten $x$ auf, welche die Situation des Textes beschreibt. Ausser $x$ darf keine weitere Unbekannte in der Gleichung vorkommen.

Die Gleichungen sollen nicht gelöst und auch nicht vereinfacht werden!

Wird eine um 3 verkleinerte Zahl vervierfacht, erhält man 1 weniger, als wenn man das 11-fache der ursprünglichen Zahl um 8 vergrössert. Gesucht ist die ursprüngliche Zahl.

x

: ursprüngliche Zahl

Die Gleichung lautet:

Simon besitzt 200 Franken mehr als Nerea. Simon schenkt Nerea 60 Franken. Nun hat Nerea $\frac{5}{9}$ so viele Franken wie Simon. Gesucht ist, wie viele Franken Nerea vor der Schenkung hatte.

x

: Nereas Geldbetrag in Franken vor der Schenkung

Die Gleichung lautet:

Aufgabe 6: Vermögen auf zwei Banken

4 Punkte

Cristina hat 40 % ihres Vermögens bei der Bank A und den Rest ihres Vermögens bei der Bank B angelegt.

70 % des Geldes bei der Bank B liegen auf einem Privatkonto und die restlichen CHF 9000 auf einem Sparkonto.

Berechne, wie viel Vermögen Cristina bei der Bank A angelegt hat.

Bank ACHF

Timur hat 78 % seines Vermögens, nämlich CHF 40 404, bei der Bank A angelegt. Den Rest seines Vermögens hat er bei der Bank B angelegt.

Timur möchte so viel Geld von der Bank A zur Bank B verschieben, dass anschliessend 52 % seines Vermögens bei der Bank B angelegt sind.

Berechne, wie viel Geld Timur dazu von der Bank A zur Bank B verschieben muss.

BetragCHF

Aufgabe 7: Becken füllen und leeren

4 Punkte

Ein Becken hat zwei Zuleitungen und zwei Abflüsse. Die beiden unten abgebildeten Graphen zeigen, wie sich das leere Becken füllt, wenn jeweils nur eine der beiden Zuleitungen geöffnet ist und die Abflüsse geschlossen sind. Gitterpunkte, die auf einem Graphen liegen, sind mit kleinen Kreisen markiert.

Das leere Becken wird durch beide Zuleitungen gleichzeitig gefüllt, während beide Abflüsse geschlossen bleiben.

Zeichne den entsprechenden Graphen im folgenden Diagramm ein.

Markiere Gitterpunkte, die auf dem Graphen liegen, mit einem kleinen Kreis.

Beide Zuleitungen sind geschlossen.

Der unten links abgebildete Graph zeigt, wie sich das volle Becken entleert, wenn nur Abfluss 1 geöffnet ist.

Der unten rechts abgebildete Graph zeigt, wie sich das volle Becken entleert, wenn beide Abflüsse gleichzeitig geöffnet sind.

Zeichne im folgenden Diagramm den Graphen ein, der zeigt, wie sich das volle Becken entleert, wenn nur Abfluss 2 geöffnet ist.

Markiere Gitterpunkte, die auf dem Graphen liegen, mit einem kleinen Kreis.

Das Becken ist voll. Alle Zuleitungen und Abflüsse sind geschlossen.

Um 12:00 Uhr wird Abfluss 1 geöffnet.

Um 14:00 Uhr werden beide Zuleitungen geöffnet. Abfluss 1 bleibt weiterhin offen.

Berechne, um welche Uhrzeit das Becken wieder voll ist.

Antwort: Das Becken ist um Uhr wieder voll.

UhrzeitUhr

Aufgabe 8: Zwei Glücksräder drehen

4 Punkte

Die Glücksräder A und B sind mit den Zahlen 1 bis 3 beschriftet, wie in der Abbildung dargestellt.

Bei Glücksrad A sind die Felder 1 und 2 je halb so gross wie Feld 3.

Bei Glücksrad B sind alle drei Felder gleich gross.

Beide Glücksräder werden gleichzeitig einmal gedreht und anschliessend werden die erhaltenen Zahlen addiert.

Die Abbildung zeigt eine Situation mit der Summe 5.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 4 beträgt.

Wahrscheinlichkeit

In einer Spielrunde werden die beiden Glücksräder gleichzeitig gedreht und es werden beide erhaltenen Zahlen addiert.

Es werden sehr viele Spielrunden durchgeführt. Dabei wird 451-mal die Summe 5 oder 6 gezählt.

Wurden eher 812, 1091, 1540, 1834 oder 2023 Spielrunden durchgeführt? Entscheide mit Hilfe einer Rechnung.

Anzahl Spielrunden

Aufgabe 9: Trapez und Punktspiegelung im Koordinatensystem

5 Punkte

In der ganzen Aufgabe dürfen keine Lösungen auf Messungen beruhen.

a1)

Das Trapez $A B C D$ liegt wie abgebildet im Koordinatensystem. Die Koordinaten der Ecken $A$ , $B$ , $C$ und $D$ sind ganzzahlig.

Berechne die Länge der Seite $A B$ .

ABcm

a2)

Der Flächeninhalt des Trapezes $A B C D$ beträgt $44 cm^{2}$ .

Berechne die Länge der Höhe $h$ .

hcm

Das Viereck $A B C D$ liegt wie abgebildet im Koordinatensystem. Die Koordinaten der Ecken $A$ , $B$ , $C$ und $D$ sind ganzzahlig.

Das Viereck $A B C D$ wird an einem Punkt $P$ gespiegelt; man erhält das Viereck $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Der Punkt $D^{'}$ hat die Koordinaten $(2 ∣ - 7)$ .

Bestimme die Koordinaten des Punktes $B^{'}$ .

x-Koordinate von B'

y-Koordinate von B'

Aufgabe 10: Dreieck in einem Würfelkörper

3 Punkte

Der abgebildete Körper ist aus Würfeln zusammengesetzt. Die Kantenlänge eines Würfels beträgt 1 cm.

Berechne die Länge der Strecke $B C$ .

BCcm

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Flächecm²