Gymiprüfung 2024 Mathematik Kurzgymnasium

Die Original-Prüfung Mathematik der Zentralen Aufnahmeprüfung (ZAP) 2024 fürs Kurzgymnasium im Kanton Zürich, zum Lösen am Bildschirm abgeschrieben, mit Lösungsweg zu jeder Aufgabe.

Terme vereinfachen, lineare Gleichungen lösen und aufstellen, Prozent- und Mischungsrechnen, Wahrscheinlichkeit mit Würfeln und Kugeln, Dreieckskonstruktion, Pythagoras in Ebene und Raum, Prismenvolumen, Füllgraph sowie Winkel bei Planetenbahnen.

Die Handelsmittelschule (HMS) Zürich verwendet dieselbe Prüfung: Das ist auch eine alte HMS-Aufnahmeprüfung.

Quelle: Kanton Zürich, Bildungsdirektion. Original: Aufgaben (PDF), Lösungen (PDF). Abschrift und Lösungswege: Fokus Nachhilfe.

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Jetzt übenDiese Themen kommen in der Prüfung vor. Eine kurze Runde mit Fox, ohne Anmeldung:

Wahrscheinlichkeit und Baumdiagramm Lineare Gleichungen lösen Prisma und Zylinder: Oberfläche und Volumen

PDF mit Lösungen

Antwort eintippen und prüfen, den Lösungsweg bei jeder Teilaufgabe aufklappen. Kommst du nicht weiter, frag Fox, unseren Lern-Assistenten: Er gibt dir Tipps, statt die Lösung zu verraten.

Kanton Zürich · Zentrale Aufnahmeprüfung 2024Kurzgymnasium · 2./3. Sek

Mathematik

90 Minuten · 10 Aufgaben · 37 Punkte

90 Minuten
Taschenrechner erlaubt: TI-30 ECO RS, TI-30X IIS, CASIO FX-82 Solar II oder SHARP EL-501 T
Kein zusätzliches Notizpapier
Lösungswege müssen klar ersichtlich sein
Geometrische Konstruktionen müssen nachvollziehbar sein

Aufgabe 1: Gemischte Grundaufgaben

10 Punkte

a1)

Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

\frac{( 6 x y ) ^{2}}{3 y}

Term

a2)

Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

\frac{8 x y + 12 x ^{2}}{4 x}

Term

Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 42 und 45.

kgV

Klammere so viel wie möglich aus.

4 x^{2} \cdot 8 y + 12 x y^{2}

Term

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

y = \frac{3 - x}{2}

Schreibe in Stunden, Minuten und Sekunden.

4.72 h =

h min s

Stundenh

Minutenmin

Sekundens

Zwei gewöhnliche Spielwürfel (Augenzahlen von 1 bis 6) werden gleichzeitig geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine 2 und eine 3 gewürfelt wird.

Wahrscheinlichkeit

Berechne den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks $A B C$ in cm $^{2}$ .

Flächeninhaltcm²

Die beiden abgebildeten quadratischen Pyramiden A und B haben die gleiche Höhe. Das Volumen der Pyramide A beträgt 50 cm $^{3}$ . Berechne das Volumen der Pyramide B in cm $^{3}$ .

Volumen Bcm³

Von einem Dreieck $A B C$ kennt man die Seite $c$ , die Schwerlinie $s_{c} = 8$ cm sowie den Winkel $β = 70°$ .

Die Seite $c = A B$ ist unten bereits vorgegeben. Konstruiere den Rest des Dreiecks $A B C$ . Deine Konstruktionsschritte müssen ersichtlich sein.

Aufgabe 2: Lineare Gleichungen lösen

4 Punkte

Löse die Gleichungen nach $x$ auf.

5 x - 2 (x + 3) = 8 x + (2 - x)

\frac{2}{3} \cdot (5 x + \frac{1}{4}) = 3 x + \frac{13}{6}

Aufgabe 3: Bruchterme und Wurzeln

4 Punkte

Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

\frac{5 a c ^{2}}{6 d ^{2}} : \frac{10 a c}{9 d} + \frac{c}{2 d}

Term

49 x^{2} + (4 x)^{2} + (- 4 x)^{2} - 2 x \cdot 18 x

Term

Aufgabe 4: Gleichungen aufstellen

3 Punkte

Im Folgenden werden drei verschiedene Situationen beschrieben. Stelle jeweils eine Gleichung mit der Unbekannten $x$ auf, welche die Situation des Textes beschreibt. Ausser $x$ darf keine weitere Unbekannte in der Gleichung vorkommen.

Die Gleichungen sollen nicht gelöst und auch nicht vereinfacht werden!

Gesucht ist eine Zahl. Das Doppelte der um 3 vergrösserten Zahl ist um 8 grösser als das Vierfache der um 10 verkleinerten Zahl.

x

: gesuchte Zahl

Die Gleichung lautet:

Ein Becken, das 18 000 Liter Wasser fasst, kann durch zwei Röhren gefüllt werden. Röhre A liefert doppelt so viel Wasser pro Sekunde wie Röhre B.

Das Becken ist leer. Beide Röhren werden während 250 s geöffnet, dann wird Röhre A geschlossen, während Röhre B noch weitere 85 s offen bleibt. Nun ist das Becken voll.

Gesucht ist die Anzahl Liter Wasser, die Röhre B pro Sekunde liefert.

x

: Anzahl Liter Wasser, die Röhre B pro Sekunde liefert

Die Gleichung lautet:

Familie Jegen hat 4000 Einheiten Strom verbraucht. Dabei hat sie eine Mischung aus Ökostrom (CHF 0.33 pro Einheit) und Graustrom (CHF 0.28 pro Einheit) bezogen. Dafür bezahlt Familie Jegen CHF 1200. Wie viele Einheiten Ökostrom hat sie bezogen?

x

: Anzahl Einheiten Ökostrom

Die Gleichung lautet:

Aufgabe 5: Gemüse und Getränkemischung

3 Punkte

Ein Bauer liefert 56 kg Karotten und 104 kg Bohnen. Von dieser Lieferung können 47 kg Karotten und 65 kg Bohnen verkauft werden. Berechne den Anteil Karotten am nicht verkauften Gemüse. Gib das Ergebnis in Prozent oder als Bruch an.

Anteil Karotten

Nino mischt Sirup und Wasser und erhält so 4 Liter Getränkemischung. Die Mischung besteht zu 15 % aus Sirup und zu 85 % aus Wasser. Lea hätte lieber eine Getränkemischung, die nur zu 8 % aus Sirup besteht. Berechne, wie viele Liter Wasser Lea zur bestehenden Getränkemischung giessen muss, um dies zu erreichen.

WasserLiter

Aufgabe 6: Füllgraph eines Gefässes

2 Punkte

In Abbildung 1 ist ein prismenförmiges Gefäss dargestellt. Abbildung 2 zeigt die Ansicht von vorne.

Das leere Gefäss wird mit konstantem Zufluss gefüllt, bis es randvoll ist.

Im Diagramm soll die Füllhöhe $h$ in Abhängigkeit der Zeit $t$ dargestellt werden. Der erste Teil des Graphen ist bereits eingezeichnet. Vervollständige den Graphen. Entnimm die nötigen Massangaben der Abbildung 2.

Aufgabe 7: Kugeln aus zwei Töpfen

3 Punkte

Im Topf A liegen 2 rote und 3 blaue Kugeln.

Im Topf B liegen 1 rote, 1 blaue und 2 grüne Kugeln.

Es wird aus jedem Topf zufällig eine Kugel gezogen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden.

Wahrscheinlichkeit

Im Topf A liegen wieder 2 rote und 3 blaue Kugeln.

Im Topf B liegen wieder 1 rote, 1 blaue und 2 grüne Kugeln.

Es wird eine bestimmte Anzahl grüner Kugeln in den Topf A dazugelegt. Dann wird wieder aus jedem Topf zufällig eine Kugel gezogen.

Berechne, wie viele grüne Kugeln man in den Topf A legen muss, damit die Wahrscheinlichkeit, aus Topf A und Topf B je eine grüne Kugel zu ziehen, $\frac{3}{16}$ beträgt. Begründe deine Antwort mit einer Rechnung oder einer Skizze.

Anzahl grüne Kugeln

Aufgabe 8: Höhe im Parallelenviereck

2 Punkte

Einem Rechteck ist ein Parallelenviereck einbeschrieben. Berechne die Länge der Höhe $h$ des Parallelenvierecks. Die Abbildung ist nicht massstabsgetreu.

hcm

Aufgabe 9: Zwei Gebäude im Gitternetz

3 Punkte

Unten ist ein Plan mit zwei Gebäuden abgebildet. Das kleine Gebäude ist ein Quader, das grosse ist ein Prisma. Der Abstand zwischen zwei Gitternetzlinien beträgt 10 m.

Berechne das Volumen des grossen Gebäudes in m $^{3}$ .

Volumenm³

Die Punkte $M_{1}$ und $M_{2}$ sind Kantenmittelpunkte. Berechne die Länge der Strecke von $M_{1}$ zu $M_{2}$ in m.

Längem

Die Strecke von $P$ zu $Q$ misst 78 m. Berechne, wie viele Meter über dem Boden der Punkt $Q$ liegt.

Höhem

Aufgabe 10: Planeten auf Kreisbahnen

3 Punkte

Die Planeten $A$ und $B$ umkreisen den Stern $S$ im Uhrzeigersinn. Mittelpunkt beider Bahnen ist der Stern $S$ .

Für eine Umkreisung benötigt der Planet $A$ 360 Tage, der Planet $B$ 900 Tage.

Abbildung 1 zeigt die Ausgangslage der drei Himmelskörper. Abbildung 2 zeigt die Lage der drei Himmelskörper 45 Tage später.

(Die Abbildungen sind nicht massstabsgetreu.)

Berechne den Winkel $α$ aus Abbildung 2.

α°

Auch die Planeten $C$ und $D$ umkreisen den Stern $S$ im Uhrzeigersinn. Mittelpunkt beider Bahnen ist der Stern $S$ .

Für eine Umkreisung benötigt der Planet $D$ 180 Tage. Der Planet $C$ benötigt dafür weniger lang.

Abbildung 3 zeigt die Ausgangslage der drei Himmelskörper. Abbildung 4 zeigt die Lage der drei Himmelskörper 90 Tage später.

(Die Abbildungen sind nicht massstabsgetreu.)

Berechne, wie viele Tage der Planet $C$ für eine Umkreisung des Sterns benötigt.

Es gibt mehrere Lösungen. Du brauchst nur eine anzugeben.

TageTage