Gymiprüfung 2022 Mathematik Kurzgymnasium

Die Original-Prüfung Mathematik der Zentralen Aufnahmeprüfung (ZAP) 2022 fürs Kurzgymnasium im Kanton Zürich, zum Lösen am Bildschirm abgeschrieben, mit Lösungsweg zu jeder Aufgabe.

Gleichungen lösen und aufstellen, Bruchterme und Wurzeln vereinfachen, Weg-Zeit-Diagramm, Prozentrechnen, Wahrscheinlichkeit mit Oktaeder und Tetraeder, Flächen im Quadrat, Pythagoras und Volumen eines Dachstocks, Rhombus-Konstruktion und kgV.

Die Handelsmittelschule (HMS) Zürich verwendet dieselbe Prüfung: Das ist auch eine alte HMS-Aufnahmeprüfung.

Quelle: Kanton Zürich, Bildungsdirektion. Original: Aufgaben (PDF), Lösungen (PDF). Abschrift und Lösungswege: Fokus Nachhilfe.

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Jetzt übenDiese Themen kommen in der Prüfung vor. Eine kurze Runde mit Fox, ohne Anmeldung:

Terme mit Variablen vereinfachen Lineare Gleichungen lösen Ausmultiplizieren und Ausklammern

PDF mit Lösungen

Antwort eintippen und prüfen, den Lösungsweg bei jeder Teilaufgabe aufklappen. Kommst du nicht weiter, frag Fox, unseren Lern-Assistenten: Er gibt dir Tipps, statt die Lösung zu verraten.

Kanton Zürich · Zentrale Aufnahmeprüfung 2022Kurzgymnasium · 2./3. Sek

Mathematik

90 Minuten · 11 Aufgaben · 36 Punkte

90 Minuten
Taschenrechner erlaubt: TI-30 ECO RS, TI-30X IIS, CASIO FX-82 Solar II oder SHARP EL-501 T
Kein zusätzliches Notizpapier
Lösungswege müssen klar ersichtlich sein
Geometrische Konstruktionen müssen nachvollziehbar sein

Aufgabe 1: Lineare Gleichungen lösen

4 Punkte

Löse die Gleichungen nach $x$ auf.

19 - (2 x - 4) = 8 - 3 (2 x + 7)

\frac{8 x}{5} - \frac{12 x - 3}{4} = 3 x - 2

Aufgabe 2: Bruchterme und Wurzeln vereinfachen

4 Punkte

Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

\frac{36 x}{25 y} : \frac{16 x ^{2}}{5 y} \cdot \frac{8 x ^{3}}{27}

\frac{8 \cdot 2}{8 x ^{2} + x ^{2}} \cdot \frac{( 13 x ) ^{2} - ( 5 x ) ^{2}}{2 x \cdot 18 x}

Aufgabe 3: Gesuchten Term bestimmen

3 Punkte

Welchen Term muss man von $5 a + 3 b$ subtrahieren, damit man $- 5 a + 9 b$ erhält?

Vereinfache den gesuchten Term so weit wie möglich.

Welchen Term muss man durch $\frac{5 c}{6 a}$ dividieren, damit man $\frac{3}{10 c}$ erhält?

Vereinfache den gesuchten Term so weit wie möglich.

Aufgabe 4: Gleichungen zu Textaufgaben aufstellen

3 Punkte

Im Folgenden werden drei verschiedene Situationen beschrieben. Stelle jeweils eine Gleichung mit der Unbekannten $x$ auf, welche die Situation des Textes beschreibt. Ausser $x$ darf keine weitere Unbekannte in der Gleichung vorkommen.

Die Gleichungen sollen nicht gelöst und auch nicht vereinfacht werden!

In einem Restaurant stehen Tische für zwei Personen und Tische für vier Personen. Die insgesamt 25 Tische bieten Platz für 68 Gäste. Gesucht ist die Anzahl $x$ der Tische für zwei Personen.

x

: Anzahl Tische für zwei Personen

Die Gleichung lautet:

Kishana und Simon sammeln Punkte bei ihren Einkäufen in einem Supermarkt. Zu Beginn beträgt Kishanas Anzahl gesammelter Punkte $\frac{2}{3}$ von Simons Anzahl. Simon gibt Kishana 8000 seiner Punkte. Kishana hat nun doppelt so viele Punkte wie Simon. Gesucht ist die Anzahl Punkte $x$ , die Simon zu Beginn hatte.

x

: Simons Anzahl Punkte zu Beginn

Die Gleichung lautet:

Ada ist heute fünfmal so alt wie Elia. In vier Jahren wird Ada achtmal so alt sein, wie Elia vor vier Jahren (in Bezug auf heute) gewesen ist. Gesucht ist Elias heutiges Alter $x$ .

x

: heutiges Alter von Elia

Die Gleichung lautet:

Aufgabe 5: Weg-Zeit-Diagramm Traktorfahrt

2 Punkte

Armin fährt mit seinem Traktor vom Dorf $D$ in die Stadt $S$ . In der folgenden Grafik ist seine Traktorfahrt dargestellt.

a1)

Mona fährt mit dem Auto ebenfalls vom Dorf $D$ in die Stadt $S$ . Sie startet um 7:20 Uhr, fährt mit konstanter Geschwindigkeit und legt pro Stunde 60 km zurück.

a1) Zeichne Monas Autofahrt in der Grafik ein.

a2)

Mona überholt Armin auf ihrer Fahrt. Wie viele Kilometer hat Mona bis zu diesem Zeitpunkt zurückgelegt? Lies das Ergebnis aus der Grafik ab.

Streckekm

Claudio startet mit dem Velo in der Stadt $S$ in Richtung $D$ :

Er fährt mit konstanter Geschwindigkeit und legt pro Stunde 30 km zurück.
Nach einer kurzen Fahrt macht er eine Pause in einem Café.
Nachdem Claudio dort schon 30 min gesessen hat, fährt Armin auf seinem Traktor am Café vorbei. Zu diesem Zeitpunkt hat Armin auf seinem Traktor schon 25 km zurückgelegt.

Zeichne Folgendes in der Grafik ein: Claudios Fahrt und seine Pause im Café bis zu dem Zeitpunkt, an dem Armin am Café vorbeifährt.

Aufgabe 6: Angestellte im Homeoffice

2 Punkte

In einer Firma sind 40 % der Angestellten Männer und 60 % Frauen.

\frac{2}{3}

der Männer und 75 % der Frauen arbeiten auch von zu Hause aus.

32 Männer arbeiten nur in der Firma.

Berechne, wie viele Frauen nur in der Firma arbeiten.

Anzahl Frauen

Aufgabe 7: Oktaeder und Tetraeder würfeln

4 Punkte

Ein Oktaeder hat 8 gleiche Flächen. Ein Tetraeder hat 4 gleiche Flächen. Mit einem Oktaeder (beschriftet mit den Zahlen 1 bis 8) und einem Tetraeder (beschriftet mit den Zahlen 1 bis 4) wird gleichzeitig gewürfelt.

Die Abbildung stellt ein mögliches Ergebnis dar. Der Oktaeder (links) zeigt eine 2 und der Tetraeder (rechts) zeigt eine 1.

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit zwei gleiche Zahlen geworfen werden.

Wahrscheinlichkeit

Anna macht ein Experiment. Sie würfelt mit einem Oktaeder und einem Tetraeder gleichzeitig und addiert die beiden gewürfelten Zahlen. Dies wiederholt sie viele Male. Dabei zählt sie 135-mal die Summe 11 oder 12.

Hat Anna eher 720, 1050, 1450 oder 2150 Mal gewürfelt? Entscheide mit Hilfe einer Rechnung.

Anzahl Würfe

Aufgabe 8: Graue Dreiecke im Quadrat

3 Punkte

Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $3 x$ (siehe Abbildung).

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $△_{1}$ .

Berechne, welcher Bruchteil des Quadrates grau eingefärbt ist.

Bruchteil

Aufgabe 9: Dachstock: Fläche und Volumen

4 Punkte

Ein Dachstock hat die in der Abbildung angegebenen Masse. $A B C D$ ist ein Rechteck.

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $A B F E$ .

Flächeninhaltm²

Berechne das Volumen des Dachstockes.

Volumenm³

Aufgabe 10: Rhombus konstruieren

2 Punkte

Die Gerade $g$ sowie die Punkte $P$ , $Q$ und $R$ sind unten vorgegeben.

Konstruiere einen Rhombus, der Folgendes erfüllt:

$P$ liegt auf der Seite $A B$ .
$Q$ liegt auf der Diagonalen $B D$ .
$R$ liegt auf der Seite $A D$ .
Die Diagonale $A C$ liegt auf $g$ .

Zur Hilfe kannst du die Skizze ergänzen.

Deine Konstruktionsschritte müssen ersichtlich sein.

Skizze

(erste Abbildung)

Konstruktion

(zweite Abbildung)

Aufgabe 11: Bäume und Zaunpfosten am Veloweg

3 Punkte

Entlang eines langen, geraden Veloweges stehen auf der einen Seite Bäume und auf der anderen Seite ein Holzzaun. Der Abstand zwischen je zwei Bäumen misst 42 m, der Abstand zwischen je zwei Zaunpfosten misst 15 m. Der Start ist an einer Stelle, an der ein Baum und ein Zaunpfosten auf derselben Höhe sind.

Lili fährt mit dem Velo vom Start aus etwas mehr als einen Kilometer, bis sie auf eine Stelle trifft, an der ein Baum und ein Zaunpfosten auf gleicher Höhe stehen. Berechne, wie viele Meter sie vom Start aus mit dem Velo gefahren ist.

Streckem

Tim zeichnet beim Start mit Kreide einen grauen Punkt auf den Veloweg. Er geht nun entlang des Weges und zeichnet jeweils in gleichen Abständen von $x$ Metern einen grauen Punkt auf den Veloweg. Nach 630 m macht er zum ersten Mal einen grauen Punkt, auf dessen Höhe sich ebenfalls ein Baum und ein Zaunpfosten befinden. Berechne den kürzest möglichen Abstand $x$ .