Aufgabe 1: Rechnen mit Gewichten
4 Punkte
Gib das Ergebnis in Kilogramm an:
kg
Lösung
Ergebnis: (oder )
- Alles in kg umwandeln: und .
- Klammer:
- Division:
- Subtraktion:
- Ergebnis:
Gymiprüfung 2010 Mathematik Langgymnasium
Die Original-Prüfung Mathematik der Zentralen Aufnahmeprüfung (ZAP) 2010 fürs Langgymnasium im Kanton Zürich, zum Lösen am Bildschirm abgeschrieben, mit Lösungsweg zu jeder Aufgabe.
Rechnen mit Masseinheiten, Brüchen und Dezimalzahlen, Sachaufgaben zu Gewinn, Gewichten, Bruchteilen und Geschwindigkeit, Umfang von Rechtecken, fünfstellige Palindrome sowie eine Konstruktion mit Kreis und Winkelhalbierenden.
Quelle: Kanton Zürich, Archiv der früheren ZAP-Website. Original: Aufgaben (PDF), Lösungen (PDF). Abschrift und Lösungswege: Fokus Nachhilfe.
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Jetzt übenDiese Themen kommen in der Prüfung vor. Eine kurze Runde mit Fox, ohne Anmeldung:
Antwort eintippen und prüfen, den Lösungsweg bei jeder Teilaufgabe aufklappen. Kommst du nicht weiter, frag Fox, unseren Lern-Assistenten: Er gibt dir Tipps, statt die Lösung zu verraten.
Kanton Zürich · Zentrale Aufnahmeprüfung 2010Langgymnasium · 6. Klasse
Mathematik
60 Minuten · 9 Aufgaben · 36 Punkte
- 60 Minuten
- Kein Taschenrechner
- Lösungsweg aufschreiben
- Aufgabe 9 mit Bleistift und Geometriewerkzeugen
Aufgabe 2: Unbekannte Zahl bestimmen
4 Punkte
Gib die Lösung als Dezimalzahl an:
Lösung
Ergebnis:
- Linke Klammer: , also
- Rechte Seite: , also und
- Es gilt , also
Aufgabe 3: Gewinn mit Eiern
4 Punkte
Lebensmittelhändler Schertenleib kauft 240 Eier zu 23 Rp. das Stück. Während des Transports zerbrechen der Eier. In seinem Laden kann er nur der unbeschädigten Eier verkaufen, und zwar für 55 Rp. pro Stück. Wie gross ist sein Gewinn?
Fr.
Lösung
Ergebnis:
- Einkauf:
- Zerbrochen: von 240 Eier, unbeschädigt bleiben Eier.
- Verkauft: von 198 Eier.
- Einnahmen:
- Gewinn:
Aufgabe 4: Volle und leere Milchkannen
4 Punkte
15 gleich grosse mit Milch gefüllte Kannen wiegen insgesamt 665.25 kg. Zwölf volle und drei leere Kannen wiegen zusammen 546.75 kg. Wie schwer sind acht volle und sieben leere Kannen zusammen?
kg
Lösung
Ergebnis:
- Eine volle Kanne:
- Zwölf volle Kannen:
- Drei leere Kannen: , eine leere also
- Acht volle und sieben leere:
Aufgabe 5: Rechteck im Rechteck
4 Punkte
Das grosse Rechteck hat eine Länge von 134 cm und eine Breite von 112 cm. Die Strecken AB und CD sind gleich lang. Der Umfang des schraffierten Rechtecks beträgt einen Drittel des Umfangs des grossen Rechtecks. Berechne die Länge der Strecke AB.
cm
Lösung
Ergebnis:
- Umfang grosses Rechteck:
- Umfang schraffiertes Rechteck: , also Länge + Breite des schraffierten Rechtecks .
- Aus der Figur: und .
- Zusammen:
- Weil beide gleich lang sind:
Aufgabe 6: Palindrome mit Quersumme 9
4 Punkte
Ein Palindrom ist eine Zahl, die von links nach rechts gelesen dasselbe ergibt, wie wenn man sie von rechts nach links liest. Beispiele: 24542, 33633. Finde alle fünfstelligen Zahlen, die Palindrome sind und die Quersumme 9 haben. Markiere die Lösungszahlen deutlich.
Lösung
Ergebnis: 13131, 22122, 31113, 40104, 12321, 21312, 30303, 11511, 20502, 10701 (10 Zahlen)
- Ein fünfstelliges Palindrom hat die Form , mit .
- Quersumme: .
- Weil gerade ist, muss ungerade sein.
- Systematisch nach ordnen:
- : → 10701, 11511, 12321, 13131
- : → 20502, 21312, 22122
- : → 30303, 31113
- : → 40104
- Für wäre , das geht nicht mehr.
- Es gibt also genau 10 solche Zahlen.
Aufgabe 7: Farbiger Stab
4 Punkte
Ein Stab ist mit vier Farben bemalt. Ein Viertel des Stabes ist orange. 28.8 cm sind gelb. Das blaue Stück ist so lang wie das gelbe. Das rote Stück ist so lang wie das blaue und gelbe zusammen. Wie lang ist der ganze Stab?
cm
Lösung
Ergebnis:
- Blau:
- Blau und gelb zusammen:
- Rot:
- Gelb, blau und rot:
- Orange ist , also sind diese drei Farben des Stabes.
- Ganzer Stab:
Aufgabe 8: Schnellzug mit Panne
4 Punkte
Ein Schnellzug verlässt den Bahnhof Astadt um 9.50 Uhr und fährt mit konstanter Geschwindigkeit ins 144 km entfernte Bestadt, wo er üblicherweise um 11.26 Uhr eintrifft. Heute jedoch hat der Zug um 11.10 Uhr eine Panne, welche die Weiterfahrt verunmöglicht. Um 11.45 Uhr trifft eine Ersatzlokomotive ein, die den Zug abschleppen soll. 10 Minuten später ist die Ersatzlokomotive an den Zug angehängt. Nun ist die Weiterfahrt zwar wieder möglich, aber nur noch mit 40 km/h. Um welche Zeit trifft der Zug heute in Bestadt ein?
Uhr
Lösung
Ergebnis: 12.31 Uhr
- Normale Fahrzeit: 9.50 bis 11.26 Uhr = 96 min für 144 km.
- Geschwindigkeit: pro Minute (= 90 km/h).
- Bis zur Panne (9.50 bis 11.10 Uhr = 80 min):
- Reststrecke:
- Weiterfahrt ab 11.45 + 10 min = 11.55 Uhr mit 40 km/h: dauern .
- Ankunft: 11.55 Uhr + 36 min = 12.31 Uhr
Aufgabe 9: Kreis und Winkelhalbierende
4 Punkte
Konstruiere und markiere die Gebiete, in denen alle Punkte liegen, die von A weniger als 5.6 cm entfernt sind und die näher bei g als bei h liegen.
Lösung
Ergebnis: Zwei Gebiete: die Teile der Kreisfläche um A (Radius 5.6 cm), die zwischen den beiden Winkelhalbierenden auf der Seite von g liegen.
- Abstand von A weniger als 5.6 cm: Zeichne den Kreis um A mit Radius 5.6 cm. Gesucht sind Punkte im Inneren des Kreises.
- Näher bei g als bei h: Die Punkte, die von g und h gleich weit entfernt sind, liegen auf den beiden Winkelhalbierenden und der Winkel zwischen g und h. Konstruiere beide mit dem Zirkel (Kreisbogen um den Schnittpunkt, dann zwei gleich grosse Bögen).
- Die Winkelhalbierenden teilen die Ebene in vier Winkelfelder. Näher bei g liegen die beiden Felder, in denen g verläuft (h liegt in den anderen beiden).
- Die Lösung sind die Teile der Kreisfläche, die in diesen beiden Feldern liegen: ein schmales Stück links (zwischen und dem Kreisbogen) und ein grösseres Stück unten (zwischen und dem Kreisbogen). Schraffiere beide.
