Gymiprüfung 2018 Mathematik Langgymnasium

• Geschickt: $(63\cdot 17\text{min})-(23\cdot 17\text{min})=40\cdot 17\text{min}=680\text{min}=11\text{h}20\text{min}$
• $\frac{7}{15}\text{h}=7\cdot 4\text{min}=28\text{min}$, also $4\frac{7}{15}\text{h}=4\text{h}28\text{min}$
• Zusammen: $11\text{h}20\text{min}+4\text{h}28\text{min}=15\text{h}48\text{min}$
• Fehlender Teil: $23\text{h}19\text{min}-15\text{h}48\text{min}=7\text{h}31\text{min}$

• Eingekauft: $72\cdot 5=360$ Mini-Sandwiches
• $\frac{5}{9}$ von 72 Personen: $72:9\cdot 5=40$ Personen; sie erhalten $40\cdot 6=240$ Mini-Sandwiches
• Übrig: $360-240=120$ Mini-Sandwiches, je 5 pro Person: $120:5=24$ Personen
• Teilnehmende: $40+24=64$ Personen

• Ausgegeben insgesamt: $86.80-29.40=57.40$ Fr.
• Tomaten: $3\cdot 4.90=14.70$ Fr.
• Kartoffeln: 1 kg kostet $4.90:2=2.45$ Fr., also $6\cdot 2.45=14.70$ Fr.
• Tomaten, Früchte, Kartoffeln: $14.70+16.80+14.70=46.20$ Fr.
• 800 g Teigwaren: $57.40-46.20=11.20$ Fr.
• 100 g: $11.20:8=1.40$ Fr., also 1 kg: $10\cdot 1.40=14.00$ Fr.

• 260 m sind $\frac{1}{5}$ von 1300 m, dafür braucht sie $15:5=3$ min.
• Hinweg 3 min, Rückweg 3 min, Suchen 1 min: zusammen 7 min.
• Bis Schulbeginn bleiben $15-7=8$ min für 1300 m.
• In 1 min: $1300:8=162.5$ m. In 60 min: $162.5\cdot 60=9750$ m $=9.75$ km.
• Sie muss also $9.75\text{km/h}$ schnell sein.

• Ein Paar = 2 Bändel = $2\cdot 80=160$ cm.
• Gewünschte Anzahl Paare: $16800\text{cm}:160\text{cm}=105$ Paare.
• Die ersten 30 Paare brauchten $30\cdot 2\cdot 85=5100$ cm.
• Rest der Rolle: $16800-5100=11700$ cm.
• Noch $105-30=75$ Paare, also 150 Bändel: $11700:150=78$ cm.

Jede Runde hat 4 Strecken, 4 Runden also 16 Strecken. Zwischen zwei Strecken liegt immer ein Knick (rechter Winkel): $16-1=15$ rechte Winkel.

• Die Häuschen innerhalb der fertigen Spirale bilden ein Rechteck aus $8\cdot 7=56$ Häuschen.
• Das Häuschen ganz in der Mitte hat 3 angemalte Seiten.
• An jedem der 15 Knicke liegt innen ein Häuschen mit zwei benachbarten Seiten. Die ersten zwei Knicke gehören beide zum Mittelhäuschen, also bleiben 13 solche Eckhäuschen.
• Alle übrigen haben genau zwei gegenüberliegende Seiten: $56-1-13=42$ Häuschen.

• Durch 15 teilbar heisst durch 3 und durch 5 teilbar. Durch 5 und nur ungerade Ziffern: Die letzte Ziffer ist 5.
• Quersumme 18 ist durch 3 teilbar, das passt also automatisch.
• Die ersten drei Ziffern müssen zusammen $18-5=13$ ergeben.
• Grösser als 5000 und ungerade: erste Ziffer 5, 7 oder 9.
  • Erste Ziffer 5: die mittleren zwei ergeben 8: 1+7, 3+5, 5+3, 7+1 → 5175, 5355, 5535, 5715
  • Erste Ziffer 7: die mittleren zwei ergeben 6: 1+5, 3+3, 5+1 → 7155, 7335, 7515
  • Erste Ziffer 9: die mittleren zwei ergeben 4: 1+3, 3+1 → 9135, 9315
• Das sind 9 Zahlen.

1. Näher bei $A$ als bei $B$: Konstruiere die Mittelsenkrechte $m$ der Strecke $AB$. Erlaubt ist die Seite von $m$, auf der $A$ liegt.
2. Höchstens 1.5 cm vom Kreis $k$: Zeichne um $M$ einen Kreis $k_1$ mit einem Radius, der 1.5 cm kleiner ist als der von $k$, und einen Kreis $k_2$ mit einem Radius, der 1.5 cm grösser ist. Erlaubt ist der Kreisring zwischen $k_1$ und $k_2$.
3. Mindestens 2 cm von $g$: Zeichne die Parallele $p$ zu $g$ im Abstand 2 cm, auf der Seite von $M$. Erlaubt ist alles, was auf der von $g$ abgewandten Seite von $p$ liegt (inklusive $p$).
4. Schraffiere den Teil des Kreisrings, der alle drei Bedingungen erfüllt: links von $m$ (Seite von $A$) und unterhalb von $p$.