Aufgabe 1: Geschickt rechnen mit Klammern
4 Punkte
Gib das Ergebnis an:
Lösung
Ergebnis:
- Fasse die beiden Produkte mit zusammen:
- Rechne die Klammer geschickt: und , also
- Zusammen:
Gymiprüfung 2019 Mathematik Langgymnasium
Die Original-Prüfung Mathematik der Zentralen Aufnahmeprüfung (ZAP) 2019 fürs Langgymnasium im Kanton Zürich, zum Lösen am Bildschirm abgeschrieben, mit Lösungsweg zu jeder Aufgabe.
Geschicktes Rechnen mit Dezimalzahlen, Sachaufgaben zu Ponyhof, Kuhweide, Schulreise und Durchschnittsgeschwindigkeit, ein Rahmen-Umfang, Ziffern-Zahlen mit Teilbarkeit durch 4 sowie Würfelgebäude aus zwei U-förmigen Teilen.
Quelle: Kanton Zürich, Bildungsdirektion. Original: Aufgaben (PDF), Lösungen (PDF). Abschrift und Lösungswege: Fokus Nachhilfe.
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Jetzt übenDiese Themen kommen in der Prüfung vor. Eine kurze Runde mit Fox, ohne Anmeldung:
Antwort eintippen und prüfen, den Lösungsweg bei jeder Teilaufgabe aufklappen. Kommst du nicht weiter, frag Fox, unseren Lern-Assistenten: Er gibt dir Tipps, statt die Lösung zu verraten.
Kanton Zürich · Zentrale Aufnahmeprüfung 2019Langgymnasium · 6. Klasse
Mathematik
60 Minuten · 9 Aufgaben · 36 Punkte
- 60 Minuten
- Kein Taschenrechner, keine elektronischen Hilfsmittel
- Rechenweg und Zwischenresultate aufschreiben
- Ergebnisse mit passender Masseinheit angeben
- Aufgaben in beliebiger Reihenfolge lösbar
Aufgabe 2: Futter und Wasser im Ponyhof
Auf dem Ponyhof
| Anzahl Ponys | 32 |
| durchschnittlicher Futterbedarf pro Pony | 6 kg Heu pro Tag |
| durchschnittlicher Wasserbedarf pro Pony | 30 l pro Tag |
| durchschnittliches Gewicht pro Pony | 350 kg |
| maximales Gewicht des Reiters | des Ponygewichtes |
| Fassvermögen eines Wassertroges | 150 l |
a)
Wie gross ist der Futterbedarf im Monat März für alle Ponys?
kg
Lösung
Ergebnis:
- Der März hat 31 Tage.
- Pro Tag fressen alle Ponys:
- Im März:
b)
Wie viel sollte ein Reiter eines Ponys mit durchschnittlichem Gewicht höchstens wiegen?
kg
Lösung
Ergebnis:
- Der Reiter darf höchstens des Ponygewichts wiegen.
c)
Einmal pro Tag wird Wasser für die Ponys bereitgestellt. Wie viele Wassertröge werden mindestens benötigt?
Lösung
Ergebnis: 7 Wassertröge
- Wasserbedarf pro Tag:
- Ein Trog fasst :
- 6 Tröge reichen nicht (), also braucht es mindestens 7 Tröge.
Aufgabe 3: Kühe grasen eine Wiese ab
4 Punkte
Eine Kuh gibt täglich 20 l Milch. Landwirt Egli hat 15 Kühe, welche erfahrungsgemäss eine Wiese in 35 Tagen abgrasen. Landwirt Egli kauft noch so viele Kühe dazu, dass er jeden Tag insgesamt 500 l Milch erhält.
Nach wie vielen Tagen ist diese Wiese jetzt abgegrast?
Tage
Lösung
Ergebnis: Nach 21 Tagen
- Für Milch braucht er Kühe.
- 15 Kühe brauchen 35 Tage. Eine einzige Kuh bräuchte Tage.
- 25 Kühe brauchen Tage.
Aufgabe 4: Kosten der Schulreise
4 Punkte
Frau Misano besucht mit ihrer Klasse mit 22 Schülerinnen und Schülern auf der Schulreise einen Kletterpark. Sie werden von Herrn Cesaro begleitet. Für die Bahnfahrt bezahlt ein Erwachsener doppelt so viel wie ein Kind, wobei eine erwachsene Person gratis fährt. Für den Seilpark bezahlt ein Kind 22 Fr. und ein Erwachsener 32 Fr. Hier gibt es keine Gratiseintritte. Die Schulreise kostet insgesamt 800 Fr.
Wie viel kostet die Bahnfahrt für ein Kind?
Fr.
Lösung
Ergebnis:
- Es sind 22 Kinder und 2 Erwachsene.
- Seilpark:
- Für die Bahn bleiben
- Bahn: 22 Kinder zahlen je einen Kinderpreis, der zahlende Erwachsene zahlt 2 Kinderpreise (der andere fährt gratis). Das sind Kinderpreise.
Aufgabe 5: Rechenvorteile nutzen
Mit einem geeigneten Vorgehen lassen sich die folgenden Aufgaben mit viel weniger Rechenaufwand lösen, als wenn man von links nach rechts rechnet.
Wähle ein geeignetes Vorgehen und rechne aus. Schreibe deine Rechenschritte auf.
a)
Lösung
Ergebnis:
- Beide Zahlen werden durch 37 geteilt. Geschickt: zuerst subtrahieren, dann einmal teilen.
b)
Lösung
Ergebnis:
- Geschickt: (den Faktor 10 von 90 zu 0.043 schieben).
- Jetzt haben beide Produkte den Faktor :
Aufgabe 6: Durchschnittsgeschwindigkeit einer Wanderung
4 Punkte
Die Freundinnen Lea, Noemi und Pascale machen eine Wanderung zu einer Berghütte, in der sie übernachten. Die ersten h wandern sie mit einer Geschwindigkeit von 4.8 km/h. Für den steilen Anstieg von 1.6 km Länge brauchen sie 41 min. Die restlichen 2.2 km bis zur Berghütte wandern sie mit 5.5 km/h.
Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit sind die drei Freundinnen die ganze Tour gewandert?
km/h
Lösung
Ergebnis:
- Teil: , Strecke
- Teil: in
- Teil:
- Ganze Strecke:
- Ganze Zeit:
- Durchschnitt:
Aufgabe 7: Breite eines Rahmens
4 Punkte
Aus dem grauen Rechteck mit der Länge 35 cm und der Breite 25 cm wird das schraffierte Rechteck herausgeschnitten. Dadurch entsteht ein überall gleich breiter grauer Rahmen. Der Umfang des schraffierten Rechtecks ist des Umfangs des grauen Rechtecks.
Berechne die Breite des Rahmens.
cm
Lösung
Ergebnis:
- Umfang grau:
- Umfang schraffiert:
- Der Umfang wird um kleiner. Jede der 4 Seiten wird um kürzer (links und rechts bzw. oben und unten je ein Rahmen), zusammen also um .
- , also
Aufgabe 8: Zahlen aus fünf Ziffern
4 Punkte
Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 können verschiedene Zahlen zusammengestellt werden, z.B. 54123, 12534 usw. Jede Ziffer muss in der Zahl genau einmal vorkommen.
Welche Zahlen erfüllen alle folgenden Bedingungen?
- Sie sind durch 4 teilbar.
- Sie sind kleiner als 40000.
- Ihre erste Ziffer ist kleiner als ihre zweite Ziffer.
Markiere deine Lösungszahlen deutlich.
Lösung
Ergebnis: 13452, 13524, 14352, 14532, 15324, 15432, 34152, 34512, 35124, 35412
- Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten zwei Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden. Mit verschiedenen Ziffern aus 1 bis 5 geht das nur mit den Endungen 12, 24, 32, 52.
- Kleiner als 40000: Die erste Ziffer ist 1, 2 oder 3.
- Gehe jede Endung durch (erste Ziffer kleiner als zweite):
- Endung 12: übrig 3, 4, 5, erste Ziffer 3: ,
- Endung 24: übrig 1, 3, 5: , ,
- Endung 32: übrig 1, 4, 5, erste Ziffer 1: ,
- Endung 52: übrig 1, 3, 4: , ,
- Das sind 10 Zahlen.
Aufgabe 9: Würfelgebäude aus zwei U-Teilen
Die beiden U-förmigen Teile A und B, die aus je 7 Würfeln bestehen, werden zu einer Gesamtfigur zusammengesetzt, wie es angegeben ist.
a)
Von wie vielen Würfeln der Gesamtfigur sind genau drei Seitenflächen (Quadrate) sichtbar?
Lösung
Ergebnis: 4 Würfel
- So liegen die Teile: Der obere Querwürfel von A sitzt in der Lücke von B, direkt auf dem unteren Mittelwürfel von B. Die beiden Säulen von A stehen vor und hinter B und reichen einen Würfel tiefer als B.
- Ein Würfel zeigt genau 3 Quadrate, wenn er 3 andere Würfel berührt.
- Das sind: der mittlere Würfel der linken und der rechten Säule von B (je oben, unten und am Querwürfel von A) sowie der mittlere Würfel der vorderen und der hinteren Säule von A (je oben, unten und am Mittelwürfel von B).
- Zusammen: 4 Würfel.
b)
Wie viele Quadrate der Figur A werden beim Zusammenfügen mit der Figur B verdeckt?
Lösung
Ergebnis: 5 Quadrate
- Der Querwürfel von A berührt B dreimal: links und rechts die beiden Säulen von B, unten den Mittelwürfel von B.
- Die vordere und die hintere Säule von A berühren je mit einem Quadrat den Mittelwürfel von B.
- Quadrate.
c)
Wie viele Quadrate der Gesamtfigur sind von aussen sichtbar?
Lösung
Ergebnis: 50 Quadrate
- Ein U-Teil aus 7 Würfeln hat Quadrate. Innerhalb des Teils berühren sich 6 Würfelpaare, dabei werden Quadrate verdeckt. Sichtbar bleiben .
- Zwei Teile: Quadrate.
- Beim Zusammenfügen werden 5 Quadrate von A verdeckt (Teilaufgabe b) und genauso 5 Quadrate von B.
- Quadrate (die Quadrate auf der Unterseite zählen mit).
d)
Auf der Gesamtfigur wandert man entlang von Würfelkanten vom Punkt auf A zum Punkt auf B. Wie lange ist eine solcher Weg mindestens?
Kanten
Lösung
Ergebnis: 6 Kanten
- In der Gesamtfigur liegt unten an der Rückseite von B, genau an der Ecke, wo die rechte Säule von B beginnt. liegt oben links vorne auf der linken Säule von B.
- Von nach musst du 3 Kanten nach oben, 2 Kanten nach links und 1 Kante nach vorne. Kürzer geht es nicht.
- Ein solcher Weg: 1 Kante nach vorne, 2 Kanten hoch bis zur Oberkante des Querwürfels von A, 2 Kanten nach links, 1 Kante hoch zu .
- Mindestens 6 Würfelkanten.