Gymiprüfung 2020 Mathematik Langgymnasium

Geschickt: Das erste und das letzte Produkt sind gleich gross.

• $1.7\cdot 35=17\cdot 3.5$ (beim einen Faktor das Komma eine Stelle nach links, beim anderen eine nach rechts).
• Also heben sich $(17\cdot 3.5)$ und $-(1.7\cdot 35)$ gegenseitig auf.
• Es bleibt: $15\cdot 6.3=15\cdot 6+15\cdot 0.3=90+4.5=94.5$

Der Verbandskehricht ist der Rest, wenn du alle anderen Abfallarten von der Gesamtmenge abziehst.

• Andere Abfälle: $12915+109+4653+255=17932\text{t}$
• Verbandskehricht: $38745-17932=20813\text{t}$

Gesucht sind alle Teiler von 168 zwischen 8 und 25.

• Zerlege 168: $168=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7$
• Prüfe jede Zahl von 8 bis 25:
  • $168:8=21$, $168:12=14$, $168:14=12$, $168:21=8$, $168:24=7$
  • Alle anderen Zahlen (z. B. 9, 10, 16, 18, 20) gehen nicht auf.
• Es gibt also genau 5 Möglichkeiten.

Schreibe alle Zahlen als Dezimalzahlen:

• $\frac{25}{4}=6.25$, $\frac{31}{5}=6.2$, $\frac{51}{8}=6.375$, $\frac{19}{3}=6.333\dots$
• $6.3>6.25$, $6.25>6.2$, $6.2<6.375$, $6.375>6.333\dots$
• Also: $6.3>\frac{25}{4}>\frac{31}{5}<\frac{51}{8}>\frac{19}{3}$

Rechne mit Zwölfteln: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$, $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$.

• $B$ ist die Mitte von $\frac{4}{12}$ und $\frac{10}{12}$: $B=\frac{7}{12}$
• Von $B$ bis $\frac{1}{3}$ sind es $\frac{7}{12}-\frac{4}{12}=\frac{3}{12}$.
• $A$ liegt gleich weit auf der anderen Seite von $\frac{1}{3}$: $A=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}$

Ergänze die Figur zu einem grossen Rechteck und ziehe ab, was nicht grau ist.

• Breite des grossen Rechtecks: $39+5=44\text{cm}$, Höhe: $26\text{cm}$ → $44\cdot 26=1144{\text{cm}}^2$
• Ecke unten links: Breite $44-35=9\text{cm}$, Höhe $8\text{cm}$ → $72{\text{cm}}^2$
• Ecke oben rechts: Breite $5\text{cm}$, Höhe $26-20=6\text{cm}$ → $30{\text{cm}}^2$
• Weisses Loch: Breite $23\text{cm}$, Höhe $26-4-7=15\text{cm}$ → $345{\text{cm}}^2$
• Graue Fläche: $1144-72-30-345=697{\text{cm}}^2$

Zähle die sichtbaren Quadrate (je $1{\text{cm}}^2$) von allen sechs Seiten.

• Von oben und von unten: Je 8 Felder sind belegt → $8+8=16$
• Von links und von rechts: Für jede Zeile die Höhenunterschiede zählen (auch zum Rand). Zeile 1, 2, 1, –: $1+1+2=4$; Zeile 2, 1, 2: $2+1+1+2=6$; Zeile 1, 3, 1: $1+2+2+1=6$ → $16$
• Von vorne und von hinten: Spalte 1, 2, 1: $1+1+1+1=4$; Spalte 2, 1, 3: $2+1+2+3=8$; Spalte –, 2, 1: $2+1+1=4$ → $16$
• Oberfläche: $16+16+16=48{\text{cm}}^2$

Jede Bedingung ergibt eine Linie, die das Gebiet begrenzt:

1. Näher bei $C$ als bei $B$: Konstruiere die Mittelsenkrechte $m$ der Strecke $BC$. Gültig ist die Seite von $m$, auf der $C$ liegt.
2. Höchstens so weit von $A$ wie $B$ von $C$: Nimm die Strecke $BC$ in den Zirkel und zeichne um $A$ einen Kreis $k_1$ mit diesem Radius. Gültig ist das Innere des Kreises (mit Rand).
3. Mindestens $\frac{3}{4}$ der Strecke $BD$ von $D$ entfernt: $BD$ ist 10 Einheiten lang, $\frac{3}{4}$ davon sind 7.5 Einheiten. Zeichne um $D$ einen Kreis $k_2$ mit Radius 7.5. Gültig ist alles ausserhalb dieses Kreises (mit Rand).

Das gesuchte Gebiet ist der Teil von $k_1$, der ausserhalb von $k_2$ und auf der $C$-Seite von $m$ liegt: eine schmale, sichelförmige Fläche unten links im Kreis $k_1$.