Gymiprüfung 2025 Mathematik Langgymnasium

Rechne rückwärts:

• Was durch 81 geteilt 671 ergibt: $671\cdot 81=54351$
• Was mal 11 genau 54351 ergibt: $54351:11=4941$

Kürzer geht es so: $671:11=61$, dann $61\cdot 81=4941$.

Rechne alles in Minuten.

• $\frac{4}{5}\text{h}=48\text{min}$, also muss die Klammer $27\text{min}+48\text{min}=75\text{min}$ ergeben.
• $2\text{h}55\text{min}=175\text{min}$, und $\frac{1}{7}$ davon sind $175:7=25\text{min}$.
• $75\text{min}:25\text{min}=3$, also brauchst du $\frac{3}{7}$.

Im Kästchen steht 3.

• Kinder und Erwachsene zusammen: $4052\text{Fr.}-1092\text{Fr.}=2960\text{Fr.}$
• Idee: Zu jedem Erwachsenen gehören genau 2 Kinder. So eine Gruppe kostet $2\cdot 9\text{Fr.}+22\text{Fr.}=40\text{Fr.}$
• $2960:40=74$ Gruppen, also 74 Erwachsene und $2\cdot 74=148$ Kinder.

Probe: $148\cdot 9+74\cdot 22=1332+1628=2960$ ✓

Gehe systematisch vor: zuerst die Anzahl Fünffrankenstücke festlegen, dann die Zweifrankenstücke, der Rest sind Einfrankenstücke (jeweils mindestens 1).

1 Fünfer (es bleiben 11 Fr.):

• 1 Zweier → 9 Einer
• 2 Zweier → 7 Einer
• 3 Zweier → 5 Einer
• 4 Zweier → 3 Einer
• 5 Zweier → 1 Einer

2 Fünfer (es bleiben 6 Fr.):

• 1 Zweier → 4 Einer
• 2 Zweier → 2 Einer

3 Fünfer wären schon 15 Fr. Dann bleibt nur 1 Fr., und für einen Zweier ist kein Platz mehr. Also geht das nicht.

Es gibt genau 7 Möglichkeiten.

Rechne rückwärts, vom Ende zum Anfang.

• In den Gläsern: $108\cdot 500\text{g}=54000\text{g}=54\text{kg}$
• Das sind $\frac{3}{4}$ der Masse vor dem Einkochen: $54\text{kg}:3\cdot 4=72\text{kg}$
• Jede 7. Erdbeere wurde aussortiert, also sind 72 kg genau $\frac{6}{7}$ der Erdbeeren in der Küche: $72\text{kg}:6\cdot 7=84\text{kg}$
• Beim Transport gingen 2.5 kg verloren: $84\text{kg}+2.5\text{kg}=86.5\text{kg}$

Weniger Personen → die Vorräte reichen länger (umgekehrt proportional).

• 40 Personen: 24 Tage, also 10 Personen: $4\cdot 24=96$ Tage
• 30 Personen: $96:3=32$ Tage
• Das sind $32-24=8$ Tage länger.

Anders gedacht: Das Lager enthält $40\cdot 24=960$ Tagesrationen, und $960:30=32$.

Übersetze jede Bedingung in eine Linie auf der Karte (1 cm = 100 m):

• Mindestens 200 m von $s$: Zeichne die Parallele $p$ zu $s$ im Abstand 2 cm, auf der Seite des Badesees. Der Schatz liegt auf der Seeseite von $p$.
• Höchstens 400 m von $F$: Zeichne mit dem Zirkel den Kreis $k$ um $F$ mit Radius 4 cm. Der Schatz liegt im Kreis.
• Näher bei $B_1$ als bei $B_2$: Konstruiere mit dem Zirkel die Mittelsenkrechte $m$ der Strecke $B_1{B}_2$. Alle Punkte auf $m$ sind gleich weit von $B_1$ und $B_2$ entfernt. Der Schatz liegt auf der Seite von $B_1$, also unterhalb von $m$.
• Nicht im Badesee: Den Teil im See lässt du weg.

Schraffiere das Gebiet, das alle vier Bedingungen erfüllt: im Kreis, zwischen $p$ und $m$, ohne den See.

Merke: Kippt die Pyramide über eine Kante, landet sie auf der Seitenfläche, die an dieser Kante liegt. Die Fläche, auf der sie vorher stand, zeigt danach zur Kippkante zurück.

• Start: Sie steht auf 4, links sieht man 1, rechts 2, hinten ist 3.
• 1. Kippen (nach links ins graue Feld): Sie landet auf der linken Fläche 1.
• 2. Kippen (ins Zielfeld): Die Fläche 1 steht jetzt senkrecht und zeigt zurück zum grauen Feld, also nach rechts.

Bei der Zielpyramide siehst du links 2 und rechts 1 Augen.

Die Pyramide landet immer auf der Seitenfläche, die an der Kippkante liegt.

• Start: Sie steht auf 4, links sieht man 1, rechts 2, hinten ist 3.
• Feld unten links: Es grenzt an die rechte Fläche der Startpyramide, also steht sie auf 2.
• Mittleres Feld: Von dort kippt sie weiter und steht auf 3.
• Oberes Feld: Sie steht auf 4.
• Feld rechts: Sie steht auf 1.

Tipp: Benachbarte Felder haben immer verschiedene Augenzahlen, und jede Zahl kommt genau einmal vor.

Bestimme zuerst die Masse eines Bausteins.

• Bei B liegen zwei Bausteine hintereinander: Länge eines Bausteins $30\text{cm}:2=15\text{cm}$.
• Bei C liegen zwei Bausteine nebeneinander: Breite eines Bausteins $12\text{cm}:2=6\text{cm}$.
• Ein Baustein hat das Volumen $720{\text{cm}}^3:2=360{\text{cm}}^3$. Grundfläche $15\cdot 6=90{\text{cm}}^2$, also Höhe $360:90=4\text{cm}$.

Quader C ist also 15 cm lang, 12 cm breit und 4 cm hoch. Jede Fläche kommt zweimal vor: