Gymiprüfung 2024 Mathematik Langgymnasium

Geschickt: Das erste und das dritte Produkt sind gleich gross und heben sich auf.

• $6.2\cdot 2024=2\cdot 3.1\cdot 2024=3.1\cdot 2\cdot 2024=3.1\cdot 4048$
• Also bleibt nur das mittlere Produkt: $4.2\cdot 1107=4649.4$
• (Rechnung: $4\cdot 1107=4428$, $0.2\cdot 1107=221.4$, zusammen $4649.4$)

Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel. Zähle die Häuschen ab:

• Von $C$ nach $B$ geht es 3 nach rechts und 1 nach oben. Dasselbe von $A$ aus rückwärts: Von $B$ nach $C$ geht es 3 nach links und 1 nach unten, also von $A(5/2)$ aus: $D_1(2/1)$.
• Von $C$ nach $A$ geht es 1 nach rechts und 2 nach unten. Von $B(7/5)$ aus gleich: $D_2(8/3)$.
• Von $A$ nach $B$ geht es 2 nach rechts und 3 nach oben. Von $C(4/4)$ aus gleich: $D_3(6/7)$.

Es gibt also drei mögliche Punkte: $D_1(2/1)$, $D_2(8/3)$, $D_3(6/7)$.

Zentrum: 3 Stunden sind gratis.

• $12\text{ h}-3\text{ h}=9\text{ h}$ kosten
• $9\cdot 2.50\text{ Fr.}=22.50\text{ Fr.}$

Am Fluss: Die erste Stunde kostet 4 Fr.

• $12\text{ h}-1\text{ h}=11\text{ h}$ zu je 1.20 Fr.
• $11\cdot 1.20\text{ Fr.}=13.20\text{ Fr.}$
• $13.20\text{ Fr.}+4\text{ Fr.}=17.20\text{ Fr.}$

Zentrum:

• Für 10 Fr. bekommt sie $10\text{ Fr.}:2.50\text{ Fr./h}=4\text{ h}$ bezahlte Zeit.
• Dazu kommen die 3 Gratisstunden: $4\text{ h}+3\text{ h}=7\text{ h}$

Am Fluss:

• Die erste Stunde kostet 4 Fr., es bleiben $10\text{ Fr.}-4\text{ Fr.}=6\text{ Fr.}$
• $6\text{ Fr.}:1.20\text{ Fr./h}=5\text{ h}$
• Zusammen: $5\text{ h}+1\text{ h}=6\text{ h}$

• In drei Tagen fährt Markus $3\cdot 6\text{ h}\cdot 22\text{ km/h}=396\text{ km}$.
• Susanne fährt $3\cdot 6\text{ h}\cdot 18\text{ km/h}=324\text{ km}$.
• Zusammen: $396\text{ km}+324\text{ km}=720\text{ km}$.
• Am vierten Tag fehlen noch $870\text{ km}-720\text{ km}=150\text{ km}$, die Susanne allein fahren muss.
• In 1 h fährt sie 18 km, in 8 h also 144 km. Es bleiben 6 km, dafür braucht sie $\frac{1}{3}$ h = 20 min.
• (Oder: In 10 min fährt sie 3 km, für 150 km also $50\cdot 10\text{ min}=500\text{ min}$.)

Susanne muss 8 h 20 min fahren.

Berechne aus Fläche und bekannter Seite jeweils die fehlende Seite (Seite = Fläche : andere Seite). Start beim 18-m²-Beet, dann im Uhrzeigersinn:

• $18{\text{ m}}^2:6\text{ m}=3\text{ m}$ (Höhe oben)
• $12{\text{ m}}^2:3\text{ m}=4\text{ m}$ (Breite rechts)
• $6{\text{ m}}^2:4\text{ m}=1.5\text{ m}$ (Höhe unten)
• $15{\text{ m}}^2:1.5\text{ m}=10\text{ m}$ (Breite unten links)

Umfang, alle Randstücke zusammengezählt:

Geschickt: Die Einbuchtung oben rechts ändert den Umfang nicht. Die zwei Randstücke der Ecke sind zusammen genau so lang wie die fehlende Ecke des grossen Rechtecks.

• Der Umfang ist gleich wie beim Rechteck $18\text{ m}\times 12\text{ m}$:
• $2\cdot 12\text{ m}+2\cdot 18\text{ m}=60\text{ m}$

• Von der 1. zur 2. Zeile: $1.6\text{ dℓ}\to 4.8\text{ dℓ}$ ist Faktor 3. Passt: $3\cdot 800\text{ g}=2400\text{ g}=2\text{ kg }400\text{ g}$.
• Von der 2. zur 3. Zeile: $4.8\text{ dℓ}\to 2.4\text{ ℓ}=24\text{ dℓ}$ ist Faktor 5. Aber $5\cdot 2400\text{ g}=12\text{ kg}$, nicht 12 kg 500 g.
• Kontrolle mit der 4. Zeile: $19.2\text{ ℓ}=192\text{ dℓ}$ ist $120\cdot 1.6\text{ dℓ}$, und $120\cdot 800\text{ g}=96\text{ kg}$. Passt.

Das dritte Paar ist falsch, der korrekte Wert ist 12 kg.

• Von der 1. zur 2. Zeile: $40\text{ s}\to 4\text{ min}=240\text{ s}$ ist Faktor 6. Aber $6\cdot 120\text{ km}=720\text{ km}$, nicht 1200 km.
• Von der 2. zur 4. Zeile: $4\text{ min}\to 120\text{ min}$ ist Faktor 30. Passt: $30\cdot 1200\text{ km}=36000\text{ km}$.
• Auch die 3. Zeile passt: $15\text{ min}$ ist $\frac{15}{4}$ mal 4 min, und $1200\text{ km}:4\cdot 15=4500\text{ km}$.

Das erste Paar ist falsch, der korrekte Wert ist $1200\text{ km}:6=$ 200 km.

Jeder Stein ist die Summe der zwei Steine darunter. Rückwärts rechnest du mit Minus:

• Mitte links: $1555-778=777$
• Basis Mitte: $777-343=434$
• Basis rechts: $778-434=344$

• Die zwei leeren Basissteine ergeben zusammen 433 und bestehen nur aus den Ziffern 1 und 2. Möglich sind nur: 211/222, 212/221, 221/212, 222/211.
• Mitte links ist 112 + Basis Mitte: $323$, $324$, $333$ oder $334$.
• Deckstein = Mitte links + 433: $756$, $757$, $766$ oder $767$.
• Nur 757 besteht aus den Ziffern 7 und 5.

Also: Basis $112$, $212$, $221$; Mitte $324$, $433$; Deckstein $757$.