Gymiprüfung 2026 Mathematik Langgymnasium

Rechne alles in Stunden um ($1\text{d}=24\text{h}$).

• Rechte Seite: $1\frac{2}{3}\text{d}=40\text{h}$, also $(40\text{h}+14\text{h}):3=54\text{h}:3=18\text{h}$
• Links steht das Doppelte der Klammer. Die Klammer ist also $18\text{h}:2=9\text{h}$.
• $2\frac{1}{6}\text{d}=52\text{h}$, also $52\text{h}-\square \text{h}=9\text{h}$
• $\square =52-9=43$

Der Schatten fällt nach vorne auf den Boden. Dabei werden oben und unten vertauscht: Die untere Symbolreihe im Zaun erscheint im Schatten direkt am Zaun, die obere Reihe ganz vorne. Ein Dreieck mit Spitze nach oben zeigt im Schatten deshalb nach unten (und umgekehrt). Links und rechts bleiben gleich.

• Prüfe bei jedem Bild alle sechs Symbole mit dieser Regel.
• Bei A, B und C passt mindestens ein Symbol nicht (z. B. bei A das Dreieck rechts oben: Es wurde im Schatten nicht umgedreht).
• Nur bei D stimmen alle Symbole.

Gehe umgekehrt vor wie in a): Die Schattenreihe direkt am Zaun gehört zur unteren Reihe im Zaun, die vorderste Schattenreihe zur oberen Reihe. Jedes Symbol wird dabei oben–unten gespiegelt, links und rechts bleiben gleich.

• Pfeil nach unten im Schatten → Pfeil nach oben im Zaun, und umgekehrt.
• Pfeile nach rechts bleiben Pfeile nach rechts, Quadrate auf der Spitze bleiben gleich.
• Bei den rechtwinkligen Dreiecken achte genau darauf, auf welcher Seite der Diagonalen die weisse Fläche liegt, und spiegle sie oben–unten.

So sieht der fertige Zaun aus:

Wird der Preis um $\frac{1}{5}$ gesenkt, bezahlt man noch $\frac{4}{5}$.

• $125\text{Fr.}:5\cdot 4=100\text{Fr.}$

Rechne rückwärts: Jeder Preis ist $\frac{4}{5}$ des Preises im Monat davor.

• 336 Fr. sind $\frac{4}{5}$ des Februarpreises: $336\text{Fr.}:4\cdot 5=420\text{Fr.}$
• 420 Fr. sind $\frac{4}{5}$ des Januarpreises: $420\text{Fr.}:4\cdot 5=525\text{Fr.}$

liegt bei $(9/9)$. Zähle für jeden Punkt die Häuschen von $Z$ aus und drehe diesen Weg um $90^{\circ }$ nach links (Gegenuhrzeigersinn): Aus „nach links“ wird „nach unten“, aus „nach oben“ wird „nach links“, aus „nach unten“ wird „nach rechts“.

• $A$: von $Z$ aus 3 nach links, 1 nach oben → gedreht 3 nach unten, 1 nach links: $A^{\prime }(8/6)$
• $B$: 8 nach links, 1 nach oben → 8 nach unten, 1 nach links: $B^{\prime }(8/1)$
• $C$: 4 nach links, 3 nach unten → 4 nach unten, 3 nach rechts: $C^{\prime }(12/5)$
• Verbinde $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ zum Dreieck.

Tipp: Mit Transparentpapier kannst du die Drehung gut kontrollieren.

A besteht aus einem Zweier-Stab und einem geraden Dreier-Stab. B besteht aus einem Zweier-Stab und einem Dreier-Winkel (L-Form).

So prüfst du eine Figur:

• A geht, wenn du in der Figur drei Quadrate in einer geraden Reihe findest und die übrigen zwei Quadrate nebeneinander liegen.
• B geht, wenn du drei Quadrate als Winkel findest und die übrigen zwei Quadrate nebeneinander liegen.

Ergebnis:

• Obere Reihe: A, B, B, B, B, A
• Untere Reihe: A, keiner, A und B, B, A und B, A und B

Beispiele: Der lange Fünfer-Stab (oben rechts) hat keinen Winkel, also nur A. Das Kreuz (unten, Figur 2) lässt sich gar nicht zerlegen: Nimmst du drei Quadrate weg, bleiben nie zwei zusammenhängende übrig.

Alle fünf Zahlen zusammen ergeben das Fünffache des Durchschnitts.

• Summe aller fünf Zahlen: $5\cdot 64=320$
• Summe der ersten vier: $7+24+86+53=170$
• Fünfte Zahl: $320-170=150$

Damit die grösste Zahl möglichst klein ist, müssen die drei kleinen Zahlen möglichst nahe am Durchschnitt liegen: 142, 141 und 140.

• Summe aller vier Zahlen: $4\cdot 143=572$
• Vierte Zahl: $572-(142+141+140)=572-423=149$

Oder kürzer: Die drei kleinen Zahlen liegen zusammen $1+2+3=6$ unter 143, also muss die vierte Zahl $143+6=149$ sein.

Figur 1 hat 3 Würfel, Figur 2 hat 8, Figur 3 hat 13: Von einer Figur zur nächsten kommen immer 5 Würfel dazu.

• Figur 7: $3+(7-1)\cdot 5=3+30=33$

Bis zur Figur 153 kommen 152-mal 5 Würfel dazu.

• $3+(153-1)\cdot 5=3+760=763$

Die Figuren sind Quader. Figur 1 ist 1 breit, 1 tief und 2 hoch, Figur 2 ist 2 breit, 2 tief und 3 hoch. Allgemein: Figur $n$ ist $n$ breit, $n$ tief und $n+1$ hoch.

• Figur 20: $20\cdot 20\cdot 21=400\cdot 21=8400$

Die Gruppengrösse muss ein Teiler von 36 sein.

• Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
• Davon liegen zwischen 3 und 10: 3, 4, 6 und 9

Es sind $36+54=90$ Kinder. Die Gruppengrösse muss also ein Teiler von 90 sein: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

• Mädchen und Knaben stehen im Verhältnis $36:54=2:3$. Jede Gruppe hat gleich viele Mädchen, also auch gleich viele Knaben, im selben Verhältnis. Die Gruppengrösse muss deshalb ein Vielfaches von $2+3=5$ sein: 5, 10, 15, 30, 45, 90.
• Davon liegen zwischen 3 und 10: 5 und 10

Anders gedacht: Die Anzahl Gruppen muss 36 und 54 teilen, also 1, 2, 3, 6, 9 oder 18 sein. Nur bei 18 oder 9 Gruppen passt die Grösse: $90:18=5$ und $90:9=10$.

Die beiden fahren einander entgegen. Weil Anton viermal so schnell ist, fährt er 4 Teile und Lena 1 Teil der Strecke, zusammen 5 Teile.

• 1 Teil: $6000\text{m}:5=1200\text{m}$
• Anton fährt 4 Teile: $1200\text{m}\cdot 4=4800\text{m}$

• Geschwindigkeiten: Lena fährt in 12 min 1200 m, also $100\text{m/min}$. Anton fährt viermal so schnell: $400\text{m/min}$.
• Vom ersten Treffpunkt bis zu Lenas Haus sind es noch 1200 m. Dafür braucht Anton $1200:400=3\text{min}$. Er ist also nach 15 min bei Lenas Haus und fährt dann in dieselbe Richtung wie Lena.
• Lena ist nach 15 min $15\cdot 100\text{m}=1500\text{m}$ von ihrem Haus entfernt. Das ist ihr Vorsprung.
• Anton holt pro Minute $400-100=300\text{m}$ auf: $1500:300=5\text{min}$
• Zweites Treffen: $15+5=20\text{min}$ nach dem Start.

Anderer Weg: Bis zum zweiten Treffen fährt Anton viermal so weit wie Lena, und dabei genau 6000 m mehr als sie. Also sind 6000 m drei Lena-Strecken, Lena fährt 2000 m. Für 1200 m braucht sie 12 min, für 2000 m also 20 min.