Folgen und Reihen

Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, eine Reihe ihre Summe. Hier findest du arithmetische und geometrische Folgen und die Reihen mit ihren Summenformeln, wie sie am Gymnasium kommen.

1. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium

Themen

Arithmetische und geometrische Folgen1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium

Reihen und Summenformeln2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium

Das Wichtigste in Kürze

Eine Folge ordnet jeder Nummer $n = 1, 2, 3, \dots$ eine Zahl $a_{n}$ zu, zum Beispiel $3, 7, 11, 15, \dots$ . Eine Reihe zählt die Glieder einer Folge zusammen. Beides kommt am Gymnasium meist im 1. oder 2. Jahr und führt direkt zu Grenzwerten, Zinseszins und Wachstum.

Zwei Grundtypen

Arithmetische Folge: Von Glied zu Glied kommt immer dieselbe Zahl d dazu, also $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .
Geometrische Folge: Von Glied zu Glied wird mit demselben Faktor q multipliziert, also $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

Explizit oder rekursiv

Eine explizite Formel rechnet jedes Glied direkt aus n aus. Eine rekursive Formel sagt, wie aus dem Vorgänger das nächste Glied entsteht, etwa $a_{n + 1} = a_{n} + 4$ mit $a_{1} = 3$ . Für weit hinten liegende Glieder ist die explizite Formel schneller.

Summen ohne Zusammenzählen

Für die Summe der ersten n Glieder gibt es Formeln. Bei einer arithmetischen Reihe gilt $s_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ . Bei einer geometrischen Reihe mit q≠1 gilt $s_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ . Ist |q|<1, nähert sich die unendliche Summe dem Wert $\frac{a _{1}}{1 - q}$ .