Reihen und Summenformeln

Eine Reihe zählt die Glieder einer Folge zusammen. Mit den Summenformeln für arithmetische und geometrische Reihen rechnest du solche Summen aus, ohne jedes Glied einzeln zu addieren, auch unendlich lange.

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2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche bauen auf einem Tisch einen Turm aus Holzklötzen, jeder Klotz ist etwas kleiner als der darunter.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge, zum Beispiel 2+4+6+8=20. Für arithmetische und geometrische Reihen gibt es Summenformeln. Du bestimmst den Typ, $a_{1}$ , d oder q und n und setzt ein.

Folge, Reihe und Partialsumme

Eine Folge ist eine Liste: $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ Eine Reihe ist die Summe dieser Glieder. Zählst du nur die ersten n Glieder zusammen, erhältst du die Partialsumme $s_{n}$ :

s_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

Für die Folge $2, 4, 6, 8, \dots$ ist $s_{1} = 2$ , $s_{2} = 6$ , $s_{3} = 12$ und $s_{4} = 20$ . Die Partialsummen bilden selbst wieder eine Folge.

MerkeEine Folge listet Zahlen auf, eine Reihe zählt sie zusammen.

Säulendiagramm der Partialsummen der Folge 2, 4, 6, 8: s₁ = 2, s₂ = 6, s₃ = 12 und s₄ = 20. Jede Säule ist um das nächste Glied höher.

Das Summenzeichen

Lange Summen schreibst du kurz mit dem Summenzeichen $\sum$ (grosses griechisches Sigma). Unten steht, wo der Zähler k beginnt, oben, wo er aufhört. Für jeden Wert von k setzt du ein und zählst alles zusammen:

k = 1 \sum 5 (2 k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Von k=1 bis k=5 sind es 5 Summanden. Beginnt der Zähler bei 0, ist es einer mehr: $k = 0 \sum 5$ hat 6 Summanden.

Arithmetische Reihe

Bei einer kommt von Glied zu Glied dieselbe Zahl d dazu. Ihre Summe heisst arithmetische Reihe.

Der Trick: Das erste und das letzte Glied ergeben zusammen gleich viel wie das zweite und das zweitletzte, und so weiter. Für $1 + 2 + \dots + 100$ sind das 50 Paare mit der Summe 101, also 5'050.

s_{n} = \frac{n}{2} \cdot (a_{1} + a_{n}) oder s_{n} = \frac{n}{2} \cdot (2 a_{1} + (n - 1) d)

Die Anzahl Glieder von $a_{1}$ bis $a_{n}$ ist $n = \frac{a _{n} - a _{1}}{d} + 1$ .

MerkeArithmetische Reihe: Anzahl Glieder mal Mittelwert aus erstem und letztem Glied.

Geometrische Reihe

Bei einer wird von Glied zu Glied mit demselben Faktor q multipliziert. Ihre Summe heisst geometrische Reihe. Für q≠1 gilt:

s_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

Woher die Formel kommt: Multiplizierst du $s_{n}$ mit q, verschiebt sich jedes Glied um eine Stelle. Ziehst du $s_{n}$ von $q \cdot s_{n}$ ab, bleibt nur $a_{1} q^{n} - a_{1}$ übrig. Beispiel: 3+6+12+24+48=3·2⁵−12−1=93. Ist q=1, sind alle Glieder gleich, und es gilt $s_{n} = n \cdot a_{1}$ .

MerkeIn der Summenformel steht der Exponent n, nicht n − 1.

Unendliche geometrische Reihe

Auch unendlich viele Glieder können eine feste Summe haben. Bei einer geometrischen Reihe mit |q|<1 wird $q^{n}$ immer kleiner, und die Partialsummen nähern sich dem Wert

s = \frac{a _{1}}{1 - q}

Die Reihe ist dann . Beispiel: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ . Bei |q|≥1 (und $a_{1} \neq = 0$ ) wächst die Summe ohne Grenze oder springt hin und her; die Reihe ist , und die Formel gilt nicht.

MerkeDie Formel a₁ : (1 − q) gilt nur, wenn q zwischen −1 und 1 liegt.

Zahlenstrahl von 0 bis 1: Die Strecken 1/2, 1/4, 1/8 und 1/16 liegen aneinander. Jede füllt die Hälfte des Rests bis zur 1 auf, die 1 wird nie überschritten.

Reihen und Summenformeln: Merkblatt mit Formel und Beispiel. s_n = a_1 + a_2 + + a_n. s = a_1/1 - q. Beispiel: 3 + 7 + 11 + + 79 = 820. — Merkblatt Reihen und Summenformeln: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕3+6+12+24+48=3·2⁴−12−1=45
✓In der Summenformel steht $q^{n}$ mit n=5: 3·2⁵−12−1=93. Den Exponenten n−1 hat das einzelne Glied $a_{n}$ .
✕ $5 + 8 + 11 + \dots + 50$ hat 50−53=15 Glieder.
✓Das sind 15 Schritte, also 16 Glieder: n=50−53+1=16 und $s_{16} = 8 \cdot (5 + 50) = 440$ .
✕ $1 + 2 + 4 + 8 + \dots = \frac{1}{1 - 2} = - 1$
✓Mit q=2 ist |q|≥1. Die Reihe ist divergent, die Formel $\frac{a _{1}}{1 - q}$ darfst du nicht anwenden.
✕ $k = 0 \sum 4 k^{2}$ hat 4 Summanden.
✓Von k=0 bis k=4 sind es 5 Summanden: 0+1+4+9+16=30.

Begriffe zum Nachschlagen

Reihe: Die Summe der Glieder einer Folge, zum Beispiel 1 + 3 + 5 + 7. Im Alltag und beim Einmaleins hat «Reihe» eine andere Bedeutung.
Partialsumme: Die Summe der ersten n Glieder einer Folge, geschrieben sₙ. Auch Teilsumme genannt.
Summenzeichen: Das Zeichen Σ für eine Summe. Unten steht der Startwert des Zählers, oben der Endwert.
arithmetische Reihe: Summe einer Folge, bei der von Glied zu Glied immer dieselbe Zahl d dazukommt.
geometrische Reihe: Summe einer Folge, bei der von Glied zu Glied mit demselben Faktor q multipliziert wird.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Arithmetische und geometrische Folgen Potenzen und Potenzgesetze

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Arithmetische Reihe mit Formel

Berechne $3 + 7 + 11 + \dots + 79$ .

Lösung Schritt für Schritt

Von Glied zu Glied kommt 4 dazu: Es ist eine arithmetische Reihe mit $a_{1} = 3$ und d=4.
Bestimme die Anzahl Glieder.n=79−34+1=19+1=20
Setze in die Summenformel ein. $s_{20} = \frac{20}{2} \cdot (3 + 79) = 10 \cdot 82 = 820$

$3 + 7 + 11 + \dots + 79 = 820$

Beispiel 2Geometrische Reihe mit Formel

Berechne die Summe der ersten 8 Glieder von $5 + 10 + 20 + 40 + \dots$

Säulendiagramm der Partialsummen s₁ bis s₈ der Reihe 5 + 10 + 20 + …: 5, 15, 35, 75, 155, 315, 635 und 1'275. Die Säulen verdoppeln sich fast jedes Mal.

Lösung Schritt für Schritt

Jedes Glied ist das Doppelte des vorherigen: geometrische Reihe mit $a_{1} = 5$ , q=2 und n=8.
Rechne zuerst die Potenz aus. $q^{n} = 2^{8} = 256$
Setze in die Summenformel ein. $s_{8} = 5 \cdot \frac{256 - 1}{2 - 1} = 5 \cdot 255 = 1^{'} 275$

$s_{8} = 1^{'} 275$

Beispiel 3Velotraining über zehn Wochen

Eine Jugendliche fährt am Morgen auf einem Rennvelo einen Uferweg entlang, im Hintergrund ein See und Berge.

Mia trainiert für ein Velorennen rund um den Vierwaldstättersee. In der ersten Woche fährt sie 12 km, danach jede Woche 3 km mehr als in der Woche davor. Wie viele Kilometer fährt sie in den ersten 10 Wochen insgesamt?

Lösung Schritt für Schritt

Die Wochenstrecken bilden eine arithmetische Folge mit $a_{1} = 12$ und d=3. Gesucht ist $s_{10}$ .
Berechne die Strecke in der 10. Woche. $a_{10} = 12 + 9 \cdot 3 = 39$
Setze in die Summenformel ein. $s_{10} = \frac{10}{2} \cdot (12 + 39) = 5 \cdot 51 = 255$

Mia fährt in den 10 Wochen insgesamt 255 km.

Beispiel 4Der springende Ball

Ein Jugendlicher lässt auf einem Pausenplatz einen roten Ball fallen, der immer niedriger springt.

Auf dem Pausenplatz lässt Noah einen Ball aus 2 m Höhe fallen. Nach jedem Aufprall springt der Ball auf 34 der vorherigen Höhe zurück. Welchen Weg legt der Ball insgesamt zurück, bis er liegen bleibt?

Lösung Schritt für Schritt

Zuerst fällt der Ball 2 m. Danach geht er bei jedem Sprung gleich weit hinauf wie wieder hinunter.
Die Sprunghöhen sind 1.5, 1.125, … m: eine unendliche geometrische Reihe mit $a_{1} = 1.5$ und q=34. $1.5 + 1.125 + \dots = \frac{1.5}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1.5}{0.25} = 6$
Jede Höhe zählt doppelt (hinauf und hinunter), dazu kommt der erste Fall.2+2·6=14

Der Ball legt insgesamt 14 m zurück.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Berechne die Partialsumme $s_{4}$ der Folge $3, 5, 7, 9, \dots$
Lösung zeigen
Ergebnis: $s_{4} = 24$
Säulendiagramm der Partialsummen der Folge 3, 5, 7, 9: s₁ = 3, s₂ = 8, s₃ = 15 und s₄ = 24.
1. $s_{4}$ sind die ersten 4 Glieder zusammen.
2. 3+5+7+9=24
2
Schreibe $k = 1 \sum 4 k^{2}$ aus und berechne die Summe.
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Ergebnis: 1+4+9+16=30
Säulendiagramm der Summanden k² für k = 1 bis 4: 1, 4, 9 und 16. Zusammen ergeben sie 30.
1. Setze k=1,2,3,4 in k² ein: 1,4,9,16.
2. Zusammenzählen: 1+4+9+16=30.
3
Berechne $1 + 2 + 3 + \dots + 50$ mit der Summenformel.
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Ergebnis: 1'275
1. Arithmetische Reihe mit $a_{1} = 1$ , $a_{50} = 50$ und n=50.
2. $s_{50} = \frac{50}{2} \cdot (1 + 50) = 25 \cdot 51 = 1^{'} 275$
4
Berechne 2+6+18+54 einmal direkt und einmal mit der Formel für die geometrische Reihe.
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Ergebnis: 80
Säulendiagramm der Glieder 2, 6, 18 und 54: Jede Säule ist dreimal so hoch wie die vorherige. Zusammen ergeben sie 80.
1. Direkt: 2+6+18+54=80.
2. Mit Formel: $a_{1} = 2$ , q=3, n=4.
3. $s_{4} = 2 \cdot \frac{3 ^{4} - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{80}{2} = 80$
5
Berechne die unendliche Reihe $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$
Lösung zeigen
Ergebnis: 32=1.5
Zahlenstrahl von 0 bis 2: Die Strecken 1, 1/3 und 1/9 liegen aneinander. Mit jedem weiteren Glied rückt das Ende näher an die Marke 3/2.
1. Geometrische Reihe mit $a_{1} = 1$ und q=13, also |q|<1.
2. $s = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

6
Berechne $7 + 11 + 15 + \dots + 83$ .
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Ergebnis: 900
1. $a_{1} = 7$ , d=4, Anzahl Glieder n=83−74+1=20.
2. $s_{20} = \frac{20}{2} \cdot (7 + 83) = 10 \cdot 90 = 900$
7
Eine arithmetische Reihe hat $a_{1} = - 5$ und d=3. Berechne $s_{12}$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $s_{12} = 138$
1. $a_{12} = - 5 + 11 \cdot 3 = 28$
2. $s_{12} = \frac{12}{2} \cdot (- 5 + 28) = 6 \cdot 23 = 138$
8
Berechne $1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 512$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 1'023
1. Geometrische Reihe mit $a_{1} = 1$ , q=2. Wegen 512=2⁹ ist 512 das 10. Glied, also n=10.
2. $s_{10} = 1 \cdot \frac{2 ^{10} - 1}{2 - 1} = 1^{'} 024 - 1 = 1^{'} 023$
9
Berechne 3−6+12−24+48 mit der Summenformel.
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Ergebnis: 33
1. Das Vorzeichen wechselt: $a_{1} = 3$ , q=−2, n=5.
2. $s_{5} = 3 \cdot \frac{( - 2 ) ^{5} - 1}{- 2 - 1} = 3 \cdot \frac{- 33}{- 3} = 33$
3. Kontrolle: 3−6+12−24+48=33.
10
Berechne $k = 1 \sum 20 (3 k + 1)$ .
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Ergebnis: 650
1. Die Summanden sind $4, 7, 10, \dots, 61$ : arithmetisch mit d=3 und n=20.
2. $s_{20} = \frac{20}{2} \cdot (4 + 61) = 10 \cdot 65 = 650$

11
Von einer unendlichen geometrischen Reihe kennst du $a_{2} = - 6$ und $a_{4} = - 1.5$ . Das erste Glied ist positiv. Berechne die Summe der Reihe.
Lösung zeigen
Ergebnis: 8
1. Von $a_{2}$ zu $a_{4}$ wird zweimal mit q multipliziert: q²=−1.5−6=14, also q=12 oder q=−12.
2. Wegen $a_{1} = \frac{a _{2}}{q}$ und $a_{2} < 0$ ist $a_{1}$ nur bei q=−12 positiv: $a_{1} = \frac{- 6}{- \frac{1}{2}} = 12$ .
3. Es gilt |q|<1: $s = \frac{12}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = \frac{12}{\frac{3}{2}} = 8$
12
Schreibe $0. \overline{7} = 0.777 \dots$ als unendliche geometrische Reihe und daraus als Bruch.
Lösung zeigen
Ergebnis: 79
1. $0.777 \dots = \frac{7}{10} + \frac{7}{100} + \frac{7}{1 ^{'} 000} + \dots$
2. $a_{1} = \frac{7}{10}$ , q=110
3. $s = \frac{\frac{7}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{7}{9}$
13
Wie viele Glieder der Reihe $1 + 2 + 3 + \dots$ musst du zusammenzählen, damit die Summe genau 210 ist?
Lösung zeigen
Ergebnis: n=20
1. n2·(1+n)=210, also n²+n−420=0.
2. Lösungsformel: $n = \frac{- 1 + 1 + 1 ^{'} 680}{2} = \frac{- 1 + 41}{2} = 20$
3. Die negative Lösung fällt weg, denn n ist eine Anzahl.
14
Für die geometrische Reihe $3 + 6 + 12 + \dots$ gilt $s_{n} = 3^{'} 069$ . Bestimme n und bestätige es mit der Formel.
Lösung zeigen
Ergebnis: n=10, denn $s_{10} = 3^{'} 069$
1. $3 \cdot \frac{2 ^{n} - 1}{2 - 1} = 3^{'} 069$ , also $2^{n} - 1 = 1^{'} 023$ und $2^{n} = 1^{'} 024$ .
2. 2¹⁰=1'024, also n=10.
3. Probe: $s_{10} = 3 \cdot (1^{'} 024 - 1) = 3^{'} 069$
15
Eine unendliche geometrische Reihe hat das erste Glied 4 und die Summe 10. Wie gross ist q?
Lösung zeigen
Ergebnis: q=35=0.6
1. 41−q=10, also 1−q=410=25.
2. q=1−25=35
3. Wegen |q|<1 konvergiert die Reihe wirklich.

Verwechselst du noch Glied und Summe oder stolperst über die Anzahl Glieder, rechnet eine Lehrperson die Summenformeln Schritt für Schritt mit dir durch. Nachhilfe in Mathematik für das Gymnasium

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Trainer: Reihen und Summenformeln

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Neue Aufgaben zu Reihen mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 übt kurze Summen und das Summenzeichen, Stufe 2 die Summenformeln, Stufe 3 unendliche Reihen und Rückwärtsfragen.

Ist 2 + 10 + 50 + 250 eine arithmetische oder eine geometrische Reihe?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Einordnung

Typische Klasse: 2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 2. oder 3. Jahr direkt nach den Folgen. Die unendliche geometrische Reihe führt weiter zu den Grenzwerten.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe?

Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, zum Beispiel 1, 3, 5, 7. Eine Reihe ist die Summe dieser Zahlen, also 1 + 3 + 5 + 7. Die Partialsummen s₁, s₂, s₃ … bilden wieder eine Folge.

Wann hat eine unendliche geometrische Reihe eine Summe?

Nur wenn der Faktor q zwischen −1 und 1 liegt. Dann ist die Summe a₁ : (1 − q). Bei q = 2 oder q = −1 gibt es keine Summe, die Reihe ist divergent.

In welcher Klasse kommen Reihen dran?

Am Gymnasium, meist im 2. oder 3. Jahr nach den Folgen. In der Volksschule kommen Zahlenfolgen vor, Summenformeln für Reihen aber nicht.

Wofür braucht man Reihen?

Mit Reihen rechnest du zum Beispiel aus, wie viel Geld bei regelmässigem Sparen mit Zins zusammenkommt. Sie wandeln periodische Dezimalzahlen in Brüche um und führen zum Begriff des Grenzwerts.