Arithmetische und geometrische Folgen

Bei einer arithmetischen Folge kommt von Glied zu Glied immer dieselbe Zahl dazu, bei einer geometrischen Folge wird immer mit demselben Faktor multipliziert. Mit der expliziten Formel berechnest du jedes Glied direkt, ohne die ganze Folge aufzuschreiben.

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1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche legen auf einem Tisch Holzstäbe in einer Reihe aus, jeder Stab ist länger als der vorige.

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Folge ist eine nummerierte Liste von Zahlen $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ . Bei einer arithmetischen Folge kommt immer dieselbe Zahl d dazu, bei einer geometrischen Folge wird immer mit demselben Faktor q multipliziert. Mit $a_{1}$ und d oder q berechnest du jedes .

Folgen und ihre Glieder

Jede Zahl einer Folge heisst Glied. Die kleine Zahl unten rechts sagt, an welcher Stelle das Glied steht: $a_{1}$ ist das erste Glied, $a_{2}$ das zweite, $a_{n}$ das Glied an der Stelle n.

In der Folge $5, 8, 11, 14, 17, \dots$ ist $a_{1} = 5$ , $a_{3} = 11$ und $a_{5} = 17$ . Die drei Punkte am Schluss heissen: Die Folge geht nach derselben Regel weiter.

Merke $a_{n}$ ist das Glied an der Stelle n, nicht das n-fache von a.

Säulendiagramm der Glieder a₁ bis a₅ der Folge 5, 8, 11, 14, 17. Jede Säule ist um 3 höher als die vorherige.

Arithmetische Folge: immer gleich viel dazu

Eine Folge ist arithmetisch, wenn die Differenz zweier Nachbarn immer gleich ist:

d = a_{n + 1} - a_{n}

d darf auch negativ sein, dann wird die Folge kleiner. Vom ersten Glied bis zum Glied an der Stelle n machst du n−1 Schritte. Darum gilt:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

Beispiel: Für $5, 8, 11, \dots$ ist d=3 und $a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 62$ .

MerkeArithmetisch: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ . Vom 1. zum 20. Glied sind es 19 Schritte.

Geometrische Folge: immer mit demselben Faktor

Eine Folge ist geometrisch, wenn der Quotient zweier Nachbarn immer gleich ist:

q = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

Dabei sind $a_{1}$ und q nicht 0. Bis zur Stelle n multiplizierst du (n−1)-mal mit q:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Beispiel: Für $4, 8, 16, 32, \dots$ ist q=2 und $a_{8} = 4 \cdot 2^{7} = 4 \cdot 128 = 512$ . Ist $a_{1}$ positiv: Bei q grösser als 1 wachsen die Glieder, bei q zwischen 0 und 1 werden sie kleiner. Ist q negativ, wechselt das bei jedem Schritt.

MerkeGeometrisch: $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ . Zuerst die , dann mal $a_{1}$ .

Säulendiagramm der Glieder a₁ bis a₅ der Folge 4, 8, 16, 32, 64. Jede Säule ist doppelt so hoch wie die vorherige.

Explizit oder rekursiv

Eine explizite Formel rechnet jedes Glied direkt aus n aus, etwa $a_{n} = 5 + (n - 1) \cdot 3$ . Eine rekursive Formel berechnet das nächste Glied aus dem vorherigen und braucht ein erstes Glied:

arithmetisch: $a_{n + 1} = a_{n} + d$
geometrisch: $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$

Aus $a_{1} = 1$ und $a_{n + 1} = a_{n} \cdot 3$ wird $1, 3, 9, 27, \dots$ . Für ein Glied weit hinten ist die explizite Formel schneller.

Typ erkennen und Formel rückwärts nutzen

Bilde zuerst die Differenzen der Nachbarn. Sind sie gleich, ist die Folge arithmetisch. Sonst prüfe die Quotienten. Sind sie gleich, ist sie geometrisch. $1, 4, 9, 16, \dots$ ist keins von beiden.

Die Formel geht auch rückwärts. Wo steht 95 in $5, 8, 11, \dots$ ? Aus 5+(n−1)·3=95 folgt n−1=30, also n=31.

Zwischen $a_{2} = 9$ und $a_{6} = 29$ liegen 4 Schritte: d=29−94=5.

Folgen und Wachstum

Eine arithmetische Folge beschreibt : Pro Schritt kommt derselbe Betrag dazu. Eine geometrische Folge beschreibt : Pro Schritt wird mit demselben Faktor multipliziert.

Wächst etwas um p %, ist der Faktor q=1+p100. Nimmt es um p % ab, ist q=1−p100. Ein Sparkonto mit 2 % Zins hat also q=1.02, ein Wertverlust von 20 % pro Jahr q=0.8.

MerkePlus 5 % heisst mal 1.05, minus 5 % heisst mal 0.95.

Arithmetische und geometrische Folgen: Merkblatt mit Formel und Beispiel. d = a_n+1 - a_n. a_n = a_1 + (n-1) · d. Beispiel: a_n = 4n + 3 und a_25 = 103. — Merkblatt Arithmetische und geometrische Folgen: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Für $6, 10, 14, \dots$ ist $a_{10} = 6 + 10 \cdot 4 = 46$ .
✓Vom 1. zum 10. Glied sind es nur 9 Schritte: $a_{10} = 6 + 9 \cdot 4 = 42$ .
✕Für $5, 20, 80, \dots$ ist $a_{6} = 5 \cdot 4^{6} = 2 0^{'} 480$ .
✓Die ist n−1=5: $a_{6} = 5 \cdot 4^{5} = 5 \cdot 1^{'} 024 = 5^{'} 120$ .
✕ $a_{4} = 2 \cdot 3^{3} = 6^{3} = 216$
✓Die Potenz gilt nur für die 3, nicht für 2·3. Zuerst 3³=27, dann 2·27=54.
✕54,18,6,2 ist arithmetisch mit d=−36.
✓Die Differenzen sind −36,−12,−4, also nicht gleich. Die Quotienten sind immer 13: Die Folge ist geometrisch mit q=13.

Begriffe zum Nachschlagen

Glied: Eine einzelne Zahl einer Folge. $a_{n}$ ist das Glied an der Stelle n.
arithmetische Folge: Folge, bei der von Glied zu Glied immer dieselbe Zahl d dazukommt: aₙ = a₁ + (n − 1) · d.
geometrische Folge: Folge, bei der von Glied zu Glied mit demselben Faktor q multipliziert wird: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.
explizite Formel: Formel, die jedes Glied direkt aus seiner Stelle n ausrechnet.
rekursive Formel: Formel, die das nächste Glied aus dem vorherigen berechnet. Sie braucht ein erstes Glied als Start.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Zahlenfolgen und Muster Potenzen und Potenzgesetze

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Ein Glied der arithmetischen Folge

Gegeben ist die Folge $7, 11, 15, 19, \dots$ . Stelle die explizite Formel auf und berechne $a_{25}$ .

Säulendiagramm der Glieder a₁ bis a₄: 7, 11, 15 und 19. Jede Säule ist um 4 höher als die vorherige.

Lösung Schritt für Schritt

Die Differenzen sind immer 4: Die Folge ist arithmetisch mit $a_{1} = 7$ und d=4.
Setze in die Formel ein und vereinfache. $a_{n} = 7 + (n - 1) \cdot 4 = 4 n + 3$
Setze n=25 ein. $a_{25} = 7 + 24 \cdot 4 = 103$

$a_{n} = 4 n + 3$ und $a_{25} = 103$

Beispiel 2Ein Glied der geometrischen Folge

Gegeben ist die Folge $5, 15, 45, 135, \dots$ . Berechne $a_{7}$ .

Säulendiagramm der Glieder a₁ bis a₄: 5, 15, 45 und 135. Jede Säule ist dreimal so hoch wie die vorherige.

Lösung Schritt für Schritt

Die Quotienten sind immer 3: Die Folge ist geometrisch mit $a_{1} = 5$ und q=3.155=4515=13545=3
Bis zur Stelle 7 sind es 6 Schritte. Rechne zuerst die Potenz aus.3⁶=729
Multipliziere mit dem ersten Glied. $a_{7} = 5 \cdot 729 = 3^{'} 645$

$a_{7} = 3^{'} 645$

Beispiel 3Sparen fürs neue Velo

Ein Jugendlicher steckt in seinem Zimmer Geld in eine Spardose, daneben hängt ein Poster eines Velos.

Jonas aus Luzern hat Ende Januar 120 Franken in seiner Spardose. Ende jedes weiteren Monats legt er 35 Franken dazu. In welchem Monat hat er zum ersten Mal mindestens 500 Franken?

Lösung Schritt für Schritt

Die Beträge Ende Januar, Februar, … bilden eine arithmetische Folge mit $a_{1} = 120$ und d=35. Monat n ist das Glied $a_{n}$ .
Setze die Bedingung an.120+(n−1)·35≥500 ⇒ n−1≥38035≈10.9
n−1 ist eine ganze Zahl, also mindestens 11. Damit ist n=12. $a_{12} = 120 + 11 \cdot 35 = 505$
Kontrolle: $a_{11} = 120 + 10 \cdot 35 = 470$ ist noch zu wenig.

Ende Dezember hat Jonas 505 Franken, zum ersten Mal mindestens 500 Franken.

Beispiel 4Wertverlust eines E-Bikes

Eine Jugendliche schiebt ein E-Bike aus einer Garage, im Hintergrund Hügel und ein Bauernhof.

Ein E-Bike kostet neu 3'000 Franken. Jedes Jahr verliert es 20 % seines Werts vom Vorjahr. Wie viel ist es nach 3 Jahren noch wert?

Lösung Schritt für Schritt

Minus 20 % heisst: Es bleiben 80 %. Der Faktor ist q=0.8.
Die Werte bilden eine geometrische Folge: $a_{1} = 3^{'} 000$ ist der Neupreis, $a_{2}$ der Wert nach 1 Jahr. Nach 3 Jahren ist es also $a_{4}$ .
Setze in die Formel ein. $a_{4} = 3^{'} 000 \cdot 0. 8^{3} = 3^{'} 000 \cdot 0.512 = 1^{'} 536$

Nach 3 Jahren ist das E-Bike noch 1'536 Franken wert.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben6Knacknüsse4

1
Ist die Folge $4, 9, 14, 19, \dots$ arithmetisch oder geometrisch? Gib d oder q an.
Lösung zeigen
Ergebnis: arithmetisch mit d=5
Säulendiagramm der Glieder 4, 9, 14 und 19. Jede Säule ist um 5 höher als die vorherige.
1. Differenzen: 9−4=5, 14−9=5, 19−14=5.
2. Immer gleich viel dazu: arithmetisch mit d=5.
2
Bestimme den Faktor q der Folge $2, 6, 18, 54, \dots$ und gib die nächsten zwei Glieder an.
Lösung zeigen
Ergebnis: q=3, die nächsten Glieder sind 162 und 486
Säulendiagramm der Glieder 2, 6, 18 und 54. Jede Säule ist dreimal so hoch wie die vorherige.
1. 62=186=5418=3, also q=3.
2. 54·3=162 und 162·3=486.
3
Eine arithmetische Folge hat $a_{1} = 10$ und d=−3. Schreibe die ersten fünf Glieder auf.
Lösung zeigen
Ergebnis: 10,7,4,1,−2
Fünf Punkte im Koordinatensystem, nach rechts die Stelle n, nach oben das Glied: (1|10), (2|7), (3|4), (4|1) und (5|−2). Jeder Punkt liegt 3 tiefer als der vorige.
1. Mit d=−3 ziehst du bei jedem Schritt 3 ab.
2. 10,7,4,1,−2
4
Berechne $a_{10}$ der Folge $3, 8, 13, 18, \dots$
Lösung zeigen
Ergebnis: $a_{10} = 48$
1. Arithmetisch mit $a_{1} = 3$ und d=5.
2. $a_{10} = 3 + 9 \cdot 5 = 48$
5
Eine Folge ist rekursiv gegeben: $a_{1} = 64$ und $a_{n + 1} = a_{n} \cdot \frac{1}{2}$ . Schreibe die ersten fünf Glieder auf. Welcher Typ ist es?
Lösung zeigen
Ergebnis: 64,32,16,8,4; geometrisch mit q=12
Säulendiagramm der Glieder 64, 32, 16, 8 und 4. Jede Säule ist halb so hoch wie die vorherige.
1. Jedes Glied ist die Hälfte des vorherigen: 64,32,16,8,4.
2. Gleicher Faktor bei jedem Schritt: geometrisch mit q=12.

6
Stelle die explizite Formel der Folge $12, 9, 6, 3, \dots$ auf und berechne $a_{15}$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $a_{n} = 15 - 3 n$ , $a_{15} = - 30$
1. Arithmetisch mit $a_{1} = 12$ und d=−3.
2. $a_{n} = 12 + (n - 1) \cdot (- 3) = 15 - 3 n$
3. $a_{15} = 12 - 14 \cdot 3 = - 30$
7
Eine geometrische Folge hat $a_{1} = 2$ und q=−3. Berechne $a_{6}$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $a_{6} = - 486$
1. $a_{6} = 2 \cdot (- 3)^{5}$
2. (−3)⁵=−243, weil die Hochzahl ungerade ist.
3. $a_{6} = 2 \cdot (- 243) = - 486$
8
An welcher Stelle steht die Zahl 200 in der Folge $8, 14, 20, \dots$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: an der Stelle n=33
1. Arithmetisch mit $a_{1} = 8$ und d=6.
2. 8+(n−1)·6=200, also n−1=32.
3. n=33
9
Von einer arithmetischen Folge kennst du $a_{3} = 17$ und $a_{8} = 42$ . Bestimme d und $a_{1}$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: d=5 und $a_{1} = 7$
1. Von $a_{3}$ bis $a_{8}$ sind es 5 Schritte: d=42−175=5.
2. Von $a_{3}$ zwei Schritte zurück: $a_{1} = 17 - 2 \cdot 5 = 7$ .
10
Eine geometrische Folge hat $a_{1} = 5$ und $a_{4} = 40$ . Bestimme q und $a_{7}$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: q=2 und $a_{7} = 320$
1. 5·q³=40, also q³=8 und q=2.
2. $a_{7} = 5 \cdot 2^{6} = 5 \cdot 64 = 320$
11
Nina legt 5'000 Franken auf ein Sparkonto mit 2 % Zins pro Jahr. Der Zins bleibt auf dem Konto. Wie viel steht nach 2 Jahren darauf? Beschreibe die Kontostände als Folge.
Lösung zeigen
Ergebnis: geometrische Folge mit $a_{1} = 5^{'} 000$ und q=1.02; nach 2 Jahren $a_{3} = 5^{'} 202$ Franken
1. Plus 2 % heisst mal 1.02: geometrische Folge mit $a_{1} = 5^{'} 000$ und q=1.02.
2. Nach 2 Jahren ist es das Glied $a_{3}$ .
3. $a_{3} = 5^{'} 000 \cdot 1.0 2^{2} = 5^{'} 000 \cdot 1.0404 = 5^{'} 202$

12
Von einer geometrischen Folge kennst du $a_{2} = 12$ und $a_{5} = 324$ . Bestimme q, $a_{1}$ und die explizite Formel.
Lösung zeigen
Ergebnis: q=3, $a_{1} = 4$ , $a_{n} = 4 \cdot 3^{n - 1}$
1. Von $a_{2}$ bis $a_{5}$ sind es 3 Schritte: q³=32412=27, also q=3.
2. $a_{1} = \frac{a _{2}}{q} = \frac{12}{3} = 4$
3. $a_{n} = 4 \cdot 3^{n - 1}$
13
Füge zwischen 3 und 48 drei Zahlen ein, so dass eine geometrische Folge mit positivem q entsteht.
Lösung zeigen
Ergebnis: 3,6,12,24,48
1. Mit den drei neuen Zahlen ist 48 das 5. Glied: 3·q⁴=48.
2. q⁴=16, mit q>0 also q=2.
3. Die Zahlen sind 6, 12 und 24.
14
Ab welchem Glied sind die Glieder der Folge $1, 2, 4, 8, \dots$ grösser als 1'000?
Lösung zeigen
Ergebnis: ab dem 11. Glied, denn $a_{11} = 1^{'} 024$
1. $a_{n} = 2^{n - 1}$
2. 2⁹=512 ist zu klein, 2¹⁰=1'024 ist grösser als 1'000.
3. n−1=10, also n=11.
15
Die Folge $a_{n}$ ist $50, 60, 70, \dots$ , die Folge $b_{n}$ ist $5, 10, 20, \dots$ . Ab welcher Stelle n ist $b_{n}$ grösser als $a_{n}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: ab n=6, denn $b_{6} = 160$ und $a_{6} = 100$
1. $a_{n} = 50 + (n - 1) \cdot 10$ und $b_{n} = 5 \cdot 2^{n - 1}$ .
2. n=5: $a_{5} = 90$ , $b_{5} = 80$ , noch kleiner.
3. n=6: $a_{6} = 100$ , $b_{6} = 5 \cdot 32 = 160$ , jetzt grösser.

Verwechselst du noch n und n−1 oder findest den Faktor nicht, rechnet eine Lehrperson die Folgen Schritt für Schritt mit dir durch. Mathematik-Nachhilfe fürs Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Arithmetische und geometrische Folgen

So funktioniert der Trainer

Neue Aufgaben zu Folgen mit Rückmeldung und Erklärung. Stufe 1 übt den Typ und das nächste Glied, Stufe 2 die expliziten Formeln, Stufe 3 Rückwärtsfragen und Prozent.

Wie heisst das nächste Glied von 6, 11, 16, 21?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Nächstes ThemaReihen und SummenformelnEine Reihe zählt die Glieder einer Folge zusammen. Mit den Summenformeln für arithmetische und geometrische Reihen rechnest du solche Summen aus, ohne jedes Glied einzeln zu addieren, auch unendlich lange.2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium

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Grenzwerte und Stetigkeit2. Jahr Gymnasium - 3. Jahr Gymnasium

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 1. oder 2. Jahr als Einstieg in Folgen und Reihen. Zahlenfolgen fortsetzen kennst du aus der Volksschule, die Formeln mit $a_n$ kommen hier dazu.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einer arithmetischen und einer geometrischen Folge?

Bei einer arithmetischen Folge kommt immer dieselbe Zahl dazu, zum Beispiel 2, 5, 8, 11. Bei einer geometrischen Folge wird immer mit demselben Faktor multipliziert, zum Beispiel 2, 10, 50, 250.

Warum steht in der Formel n − 1 und nicht n?

Vom ersten Glied bis zum Glied an der Stelle n machst du n − 1 Schritte. Das erste Glied selbst bekommt keinen Schritt dazu, darum ist a₁ = a₁ + 0 · d.

Beginnt eine Folge immer mit a₁?

Meistens ja. Manche Bücher beginnen mit a₀. Dann lauten die Formeln aₙ = a₀ + n · d und aₙ = a₀ · qⁿ, weil bis zur Stelle n genau n Schritte nötig sind.

In welcher Klasse kommen arithmetische und geometrische Folgen dran?

Am Gymnasium, meist im 1. oder 2. Jahr. Zahlenfolgen fortsetzen übst du schon in der Primarschule und der Sek, die Formeln mit aₙ, d und q kommen am Gymnasium dazu.

Arithmetische und geometrische Folgen

Erklärung

Folgen und ihre Glieder

Arithmetische Folge: immer gleich viel dazu

Geometrische Folge: immer mit demselben Faktor

Explizit oder rekursiv

Typ erkennen und Formel rückwärts nutzen

Folgen und Wachstum

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Ein Glied der arithmetischen Folge

Beispiel 2Ein Glied der geometrischen Folge

Beispiel 3Sparen fürs neue Velo

Beispiel 4Wertverlust eines E-Bikes

Übungen mit Lösungen

Trainer: Arithmetische und geometrische Folgen

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Einordnung

Häufige Fragen

Glied

Vorzeichen

Potenz

exponentielles Wachstum

lineares Wachstum

Hochzahl