BMS-Aufnahmeprüfung 2018 Mathematik BM1

• Punkt vor Strich: $\frac{8x}{6}\cdot \frac{1}{3}=\frac{8x}{18}$.
• Alles auf den Nenner 18 bringen: $\frac{2x}{9}=\frac{4x}{18}$.
• $\frac{4x}{18}+\frac{8x}{18}-\frac{x}{18}=\frac{4x+8x-x}{18}=\frac{11x}{18}$

• Zuerst unter der Wurzel im Zähler rechnen: $(3x{)}^2=9x^2$, also $45x^2-9x^2=36x^2$.
• $\sqrt{36x^2}=6x$ und $\sqrt{4x^2}=2x$.
• $\frac{6x}{2x}=3$

• Zähler faktorisieren: $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$ (binomische Formel) und $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$, denn $-5\cdot 2=-10$ und $-5+2=-3$.
• Kürzen: $\frac{(x+3{)}^2}{x+3}=x+3$ und $\frac{(x-5)(x+2)}{x-5}=x+2$.
• Addieren: $x+3+x+2=2x+5$

• Gemeinsamer Nenner 12: $\frac{3x-9}{12}-\frac{8x-4}{12}=\frac{10x+20}{12}$
• Mit 12 multiplizieren. Achtung: Das Minus vor dem Bruch wirkt auf den ganzen Zähler: $3x-9-8x+4=10x+20$
• Zusammenfassen: $-5x-5=10x+20$, also $-15x=25$
• $x=-\frac{25}{15}=-\frac{5}{3}=-1.\overline{6}$

• $x$: Valerios ursprünglicher Kontostand in CHF. Danyal hat dann $x+170$.
• Nachher: Valerio $x+220$, Danyal $x+170-450$.
• Valerio hat doppelt so viel wie Danyal: $2(x+170-450)=x+220$
• $2x-560=x+220\Rightarrow x=780$
• Valerios ursprünglicher Kontostand beträgt CHF 780.–.

• Fahrzeit von Nina: $\frac{60}{80}\text{ h}=0.75\text{ h}$
• Reine Fahrzeit von Laurine: $\frac{60}{100}\text{ h}=0.6\text{ h}$
• Beide kommen gleichzeitig an, also dauert die Pause $0.75\text{ h}-0.6\text{ h}=0.15\text{ h}=0.15\cdot 60\text{ min}=9\text{ min}$.

• 48 min in Stunden: $\frac{48}{60}\text{ h}=0.8\text{ h}$
• $v=\frac{60\text{ km}}{0.8\text{ h}}=75\text{ km/h}$

• 1. Zug: 9 Kugeln, davon 4 grün und 5 rot: $P(g)=\frac{4}{9}$, $P(r)=\frac{5}{9}$.
• 2. Zug: Es liegen nur noch 8 Kugeln in der Schachtel.
     • Nach grün (noch 3 grüne, 5 rote): $\frac{3}{8}$ und $\frac{5}{8}$.
     • Nach rot (noch 4 grüne, 4 rote): $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ und $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.
• Die Wahrscheinlichkeiten der vier Pfade ($\frac{12}{72}$, $\frac{20}{72}$, $\frac{20}{72}$, $\frac{20}{72}$) sind zur Kontrolle unter dem Baum notiert.

• Fahrzeug A: Start bei $(0|52^{\prime }500)$, pro Jahr $7^{\prime }500$ weniger: $(1|45^{\prime }000)$, $(2|37^{\prime }500)$, $(3|30^{\prime }000)$, … bis $(7|0)$. Punkte mit einer Geraden verbinden.
• Fahrzeug B: Die Punkte $(4|25^{\prime }000)$ und $(8|5^{\prime }000)$ einzeichnen und eine Gerade hindurchlegen. Sie schneidet die y-Achse bei $45^{\prime }000$ und die x-Achse bei $9$.

Aus der Grafik ablesen oder rechnen: $52^{\prime }500-2\cdot 7^{\prime }500=37^{\prime }500$. Der Wert von Fahrzeug A beträgt nach zwei Jahren CHF 37'500.–.

• Steigung: In 4 Jahren (von Jahr 4 bis 8) sinkt der Wert um $25^{\prime }000-5^{\prime }000=20^{\prime }000$, also $m=\frac{-20^{\prime }000}{4}=-5^{\prime }000$ pro Jahr.
• Startwert: $25^{\prime }000+4\cdot 5^{\prime }000=45^{\prime }000$
• $y=45^{\prime }000-5^{\prime }000x$

• Das Plakat ist so lang wie der Umfang der Säule: $u=d\cdot \pi =120\cdot \pi \text{ cm}\approx 376.99\text{ cm}$.
• Auf dem Plakat steigt jede Linie über die ganze Länge um die halbe Höhe (zwei Windungen): $200\text{ cm}:2=100\text{ cm}$.
• Steigung $=\frac{\text{Ho¨henunterschied}}{\text{horizontale Strecke}}=\frac{100}{120\cdot \pi }\approx 0.265=26.5\%$

Die graue Fläche liegt im Netz auf dem grauen Quadrat, A auf seiner markierten Ecke. Falten Sie den Würfel in Gedanken Fläche um Fläche ab und verfolgen Sie die Ecken: Die Kante von A nach P ist eine Kante der oberen Würfelfläche. P landet an der rechten oberen Ecke des Quadrats über dem Quadrat rechts vom grauen Quadrat, wo drei Quadrate zusammenstossen (siehe Lösungsgrafik).

Die Strecke QR ist im Netz die gemeinsame Kante der beiden obersten Quadrate. Faltet man das Netz wieder zum Würfel, wird daraus die obere Kante der vorderen Würfelfläche: Q ist die vordere obere Ecke auf der Seite der grauen Fläche, R die vordere obere Ecke rechts (siehe Lösungsgrafik).

Weil QR die obere Kante der vorderen Fläche ist, ist die vordere Würfelfläche im Netz das Quadrat oben rechts (rechts von QR). Die Oberseite des F zeigt zu QR, also zur linken Seite dieses Quadrats. Das F erscheint deshalb um 90° gedreht: Der Stamm verläuft waagrecht oben, die beiden Querbalken zeigen nach unten (siehe Lösungsgrafik).

• Wasservolumen: $V_{\text{Wasser}}=G_1\cdot h_1=4\text{ cm}\cdot 4\text{ cm}\cdot 12\text{ cm}=192{\text{ cm}}^3$
• Das Volumen bleibt gleich, nur die Grundfläche ändert: $h_2=\frac{V_{\text{Wasser}}}{G_2}=\frac{192}{5\cdot 5}\text{ cm}=7.68\text{ cm}\approx 7.7\text{ cm}$

• Unten ist das Gefäss breit und wird nach oben immer schmaler: Pro Liter steigt das Wasser zuerst langsam, dann immer schneller. Der Graph beginnt flach und wird immer steiler.
• Im oberen Teil ist das Gefäss ein schmales Rohr mit gleichbleibender Breite: Die Höhe wächst gleichmässig und schnell, der Graph ist dort eine steile Gerade.
• Genau so sieht die mittlere Grafik in der ersten Zeile aus.