Aufgabe 1: Wurzelterm vereinfachen
2 Punkte
Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich.
Lösung
Ergebnis:
- Unter der ersten Wurzel zusammenfassen: .
- Die drei Wurzeln im zweiten Summanden zu einer Wurzel zusammenfassen: .
BMS-Aufnahmeprüfung 2019 Mathematik BM1
Die Original-Prüfung Mathematik der Zentralen Aufnahmeprüfung 2019 für die Berufsmaturitätsschule BM1 (während der Lehre) im Kanton Zürich, zum Lösen am Bildschirm abgeschrieben, mit Lösungsweg zu jeder Aufgabe.
Wurzel- und Bruchterme vereinfachen, lineare Gleichung, Flächen- und Volumeneinheiten, Textgleichung, Zins- und Prozentrechnen, Wahrscheinlichkeit mit Tetraedern, lineare Funktionen, Steigungen in Quader und Würfel, Drachenviereck mit Pythagoras, Rohr (Kreisring, Mantel, Gewicht), Flächenterme und Würfelkörper.
Quelle: Kanton Zürich, Mittelschul- und Berufsbildungsamt. Original: Aufgaben (PDF), Lösungen (PDF). Abschrift und Lösungswege: Fokus Nachhilfe.
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Antwort eintippen und prüfen, den Lösungsweg bei jeder Teilaufgabe aufklappen. Kommst du nicht weiter, frag Fox, unseren Lern-Assistenten: Er gibt dir Tipps, statt die Lösung zu verraten.
Kanton Zürich · Zentrale Aufnahmeprüfung 2019BM1 · während der Lehre
Mathematik
90 Minuten · 14 Aufgaben · 40 Punkte
- 90 Minuten
- Taschenrechner erlaubt (kein CAS, nicht grafikfähig)
- Keine Formelsammlung
- Zeichenutensilien erlaubt
- Lösungsweg muss vollständig ersichtlich sein
Aufgabe 2: Binome ausmultiplizieren
2 Punkte
Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich.
Lösung
Ergebnis:
- Ausmultiplizieren: und .
- Wichtig: Das Minus steht vor dem ganzen Quadrat, also Klammer setzen:
- Zusammenfassen:
Aufgabe 3: Bruchterme vereinfachen
4 Punkte
Vereinfachen Sie die Terme und kürzen Sie die Resultate so weit wie möglich.
a)
2 Punkte
Lösung
Ergebnis:
- Punkt vor Strich:
- Dividieren heisst mit dem Kehrwert multiplizieren:
- Gleichnamig machen (Hauptnenner 12):
b)
2 Punkte
Lösung
Ergebnis:
- Zähler des zweiten Bruchs: ausklammern, .
- Nenner des zweiten Bruchs ist ein Binom: .
- und kürzen sich weg, es bleibt .
Aufgabe 4: Gleichung mit Brüchen
2 Punkte
Berechnen Sie die Lösung der Gleichung.
Lösung
Ergebnis:
- Alles auf den Hauptnenner 6 bringen:
- Mit 6 multiplizieren (Brüche fallen weg):
- Zusammenfassen: , also
Aufgabe 5: Flächen- und Volumeneinheiten
2 Punkte
a)1 Punkt
Berechnen Sie und geben Sie das Resultat in m an.
0.003 km + 100'000 cm + 5'000'000 mm = m
m²
Lösung
Ergebnis:
Bei Flächen ist der Umrechnungsfaktor das Quadrat des Längenfaktors.
- , also
- , also
- , also
- Summe:
b)1 Punkt
Berechnen Sie und geben Sie das Resultat in m an.
8'000 cm + 900 dl + 700 dm = m
m³
Lösung
Ergebnis:
- , also
- , also
- , also
- Summe:
Aufgabe 6: Smartphones im Verkaufsregal
3 Punkte
Im Verkaufsregal eines Geschäftes stehen am Mittwochmorgen insgesamt 72 weisse und schwarze Smartphones. Bis zum Ladenschluss werden von jeder Farbe 8 Stück verkauft. Nun beträgt die Anzahl der schwarzen Smartphones genau drei Viertel der weissen Smartphones.
Berechnen Sie die Anzahl der weissen Smartphones am Mittwochmorgen.
Für die volle Punktzahl wird eine Gleichung verlangt.
Stück
Lösung
Ergebnis: Am Mittwochmorgen stehen 40 weisse Smartphones im Verkaufsregal.
- Variablen: = Anzahl weisser Smartphones am Mittwochmorgen, = Anzahl schwarzer Smartphones am Mittwochmorgen.
- Nach dem Verkauf: weiss , schwarz .
- Schwarz ist drei Viertel von weiss:
- Mit 4 multiplizieren: , also und .
- Am Mittwochmorgen stehen 40 weisse Smartphones im Regal (und 32 schwarze).
Achtung: Wer für die schwarzen Smartphones wählt, erhält und muss noch rechnen.
Aufgabe 7: Zins und Prozente
4 Punkte
a)2 Punkte
Ein Kapital wird 240 Tage lang zu einem Jahreszinssatz von 0.12 % verzinst. Der Zins beträgt CHF 90.–. Berechnen Sie die Höhe des Kapitals.
CHF
Lösung
Ergebnis: CHF 112'500.– (mit 365 Tagen pro Jahr ebenfalls korrekt: CHF 114'062.50)
- Zuerst den Jahreszins bestimmen (Zinsjahr mit 360 Tagen): 240 Tage CHF 90.–, also 360 Tage CHF 135.–
- Der Jahreszins sind 0.12 % des Kapitals: 0.12 % CHF 135.–, also 100 % CHF 112'500.–
- Rechnet man mit 365 Tagen: Jahreszins , Kapital CHF 114'062.50 (ebenfalls korrekt).
b1)1 Punkt
An einer Schule sind 48 % der Schülerschaft Mädchen. Von den Mädchen haben 95 % ein Smartphone. 6 Mädchen haben kein Smartphone.
1) Berechnen Sie die gesamte Anzahl Schülerinnen und Schüler an dieser Schule.
Lösung
Ergebnis: 250 Schülerinnen und Schüler (120 Schülerinnen und 130 Schüler)
- 95 % der Mädchen haben ein Smartphone, also haben 5 % keines: 5 % der Mädchen 6 Mädchen.
- 100 % der Mädchen Mädchen.
- Die Mädchen sind 48 % der Schülerschaft: 48 % 120, also 100 % .
- An der Schule sind 250 Schülerinnen und Schüler (120 Mädchen und 130 Knaben).
b2)1 Punkt
2) Von den Knaben haben 8 kein Smartphone. Berechnen Sie den prozentualen Anteil aller Schülerinnen und Schüler, die kein Smartphone haben.
%
Lösung
Ergebnis: 5.6 %
- Ohne Smartphone: 6 Mädchen und 8 Knaben, zusammen .
- Anteil an allen 250:
Aufgabe 8: Würfelspiel mit Tetraedern
3 Punkte
Beim folgenden Spiel können Sie Ihre Spielfigur auf Feld A, B, C oder D setzen.
Anschliessend würfeln Sie mit zwei Tetraedern mit den Zahlen 1 bis 4 und addieren die gewürfelten Zahlen.
Falls Ihre Spielfigur auf einem Feld steht, das an die gewürfelte Summe angrenzt, erhalten Sie einen Punkt.
Beispiel Tetraeder: Im linken Fall wurde die Zahl 4, im rechten Fall die Zahl 1 gewürfelt.
a)2 Punkte
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, auf Feld B einen Punkt zu gewinnen.
Lösung
Ergebnis:
- Alle Summen in einer Tabelle (16 gleich wahrscheinliche Ergebnisse):
| T1/T2 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
- Feld B grenzt an die Felder mit den Zahlen 3, 4, 6 und 5.
- Summe 3: 2-mal, Summe 4: 3-mal, Summe 5: 4-mal, Summe 6: 3-mal, zusammen 12 günstige Ergebnisse.
b)1 Punkt
Es wird 1'000-mal gewürfelt. Wie viele Punkte erwarten Sie mit Ihrer Spielfigur auf Feld D zu gewinnen? Sind es eher 300, 400, 500, 600 oder 700 Punkte? Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Rechnung.
Lösung
Ergebnis: , also etwa 600 Punkte.
- Feld D grenzt an die Felder mit den Zahlen 4, 6, 3 und 7.
- Aus der Tabelle in a): Summe 3: 2-mal, Summe 4: 3-mal, Summe 6: 3-mal, Summe 7: 2-mal, zusammen 10 von 16.
- Erwartete Punkte:
- Von den Auswahlwerten liegt 600 am nächsten: Man erwartet etwa 600 Punkte.
Aufgabe 9: Geraden und Funktionsgleichungen
4 Punkte
a)1 Punkt
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Geraden.
Ihre Antwort:
Lösung
Ergebnis:
- Die Gerade schneidet die y-Achse bei : .
- Sie geht durch und : 6 nach rechts, 2 nach unten.
- Steigung
b)1 Punkt
Zeichnen Sie die Gerade mit der Funktionsgleichung .
Lösung
Ergebnis: Gerade durch , und .
- y-Achsenabschnitt: Punkt .
- Steigung : 5 nach rechts, 4 nach oben. So erhalten Sie und , nach links .
- Die Punkte mit dem Lineal verbinden.
c)1 Punkt
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung derjenigen Geraden, welche parallel zur Geraden mit der Funktionsgleichung verläuft und die y-Achse bei schneidet.
Lösung
Ergebnis:
- Parallele Geraden haben die gleiche Steigung: .
- Schnitt mit der y-Achse bei 3: .
d)1 Punkt
Berechnen Sie die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden mit den Funktionsgleichungen und .
Lösung
Ergebnis:
- Im Schnittpunkt sind die y-Werte gleich:
Aufgabe 10: Steigungen in Quader und Würfel
3 Punkte
a)2 Punkte
Im folgenden Quader hat die Strecke AB eine Steigung von 80 %. Berechnen Sie die Steigung der Strecke BC in Prozent.
%
Lösung
Ergebnis: 90 %
Steigung = Höhenunterschied : waagrechte Strecke.
- AB verläuft auf der vorderen Fläche, waagrecht 6 m. Höhenunterschied von A zu B:
- BC verläuft auf der rechten Seitenfläche, waagrecht 8 m. Höhenunterschied von B zu C:
- Steigung BC:
b)1 Punkt
Gegeben ist ein Würfel mit einer Kantenlänge von 10 m. Berechnen Sie die Steigung der Strecke AB in Prozent. Genauigkeit: 1 Dezimale.
%
Lösung
Ergebnis: ≈ 70.7 %
- Die waagrechte Strecke unter AB ist die Diagonale der Grundfläche:
- Höhenunterschied: 10 m (eine Kante).
- Steigung AB:
Aufgabe 11: Drachenviereck mit Pythagoras
3 Punkte
Gegeben ist folgende Figur:
Der Flächeninhalt des Drachenvierecks beträgt 528 cm.
a)2 Punkte
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen AC.
cm
Lösung
Ergebnis: cm
- Im rechtwinkligen Dreieck CDM ist DM eine Kathete:
- Diagonale BD ist doppelt so lang: cm.
- Fläche Drachenviereck = Diagonale mal Diagonale durch 2: , also cm
b)1 Punkt
Berechnen Sie x.
cm
Lösung
Ergebnis: cm
- ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck AMD:
Aufgabe 12: Rohr aus Stahl
3 Punkte
Ein Rohr hat:
- einen Innendurchmesser von 10 cm
- einen Aussendurchmesser von 12 cm
- eine Länge von 35 cm
Genauigkeit für alle Teilaufgaben: 1 Dezimale.
a)1 Punkt
Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche Q des Rohres in cm.
cm²
Lösung
Ergebnis:
- Q ist ein Kreisring: grosser Kreis (Radius 6 cm) minus kleiner Kreis (Radius 5 cm).
b)1 Punkt
Berechnen Sie den Inhalt der äusseren Mantelfläche M des Rohres in cm.
cm²
Lösung
Ergebnis:
- Der Mantel ist ausgerollt ein Rechteck: Umfang des Aussenkreises mal Länge.
c)1 Punkt
Das Rohr wird aus Stahl gefertigt. 1 cm Stahl wiegt 7.85 g. Berechnen Sie das Gewicht des Rohres in g.
g
Lösung
Ergebnis: g (mit dem gerundeten Q aus a): g)
- Volumen = Querschnittsfläche mal Länge:
- Gewicht:
- Wer mit dem gerundeten Wert rechnet, erhält ; das gilt auch als richtig.
Aufgabe 13: Flächenterme aufstellen
2 Punkte
Gegeben ist die rechts abgebildete Figur.
Die Fläche ist ein Rechteck.
Die Fläche ist ein Rechteck, von dem an der oberen rechten Ecke ein Viertelkreis abgeschnitten wurde.
a)1 Punkt
Stellen Sie einen Term für den Flächeninhalt von auf. Der Term muss nicht vereinfacht werden.
Lösung
Ergebnis:
- Breite von : Gesamtbreite minus Breite von , also .
- Höhe der ganzen Figur: .
- , ausmultipliziert .
b)1 Punkt
Stellen Sie einen Term für den Flächeninhalt von auf. Der Term muss nicht vereinfacht werden.
Lösung
Ergebnis:
- Rechteck: Breite 10, Höhe , also .
- Abgeschnitten wird ein Viertelkreis mit Radius 3: .
Aufgabe 14: Würfelkörper erkennen und kippen
3 Punkte
a)2 Punkte
Die beiden Würfelkörper A und B sind unten in verschiedenen Lagen abgebildet.
Bestimmen Sie, welche 5 Abbildungen vom Würfelkörper A und welche 5 Abbildungen vom Würfelkörper B sind.
Zählweise für die Antworten: Reihen von oben nach unten, Bilder in jeder Reihe von links nach rechts. Bild 1 und Bild 2 der Reihe 1 sind die Würfelkörper A und B selbst.
Lösung
Ergebnis: Reihe 1: A, B, B, A · Reihe 2: A, B, B, B · Reihe 3: A, B, A, A
- Stellen Sie sich jeden Körper gedreht vor und vergleichen Sie, wie die Würfel aneinander hängen: Wo sitzt der einzelne Würfel, der nach vorne bzw. zur Seite absteht, im Verhältnis zur Zweierreihe oben?
- Zuordnung (Reihen von oben, Bilder von links):
| Bild 1 | Bild 2 | Bild 3 | Bild 4 | |
|---|---|---|---|---|
| Reihe 1 | A | B | B | A |
| Reihe 2 | A | B | B | B |
| Reihe 3 | A | B | A | A |
- Je 5 der 10 unbeschrifteten Abbildungen gehören zu A und zu B.
b)1 Punkt
Der oben links eingerahmte Würfelkörper wird ...
- erst nach links gekippt,
- dann im Uhrzeigersinn um 90° gedreht,
- anschliessend nach hinten gekippt,
- und am Schluss nach rechts gekippt.
Kreuzen Sie die Abbildung an, die den Würfelkörper in seiner neuen Lage zeigt.
Zählweise für die Antwort: Reihen von oben nach unten, Bilder in jeder Reihe von links nach rechts; das eingerahmte Ausgangsbild in Reihe 1 zählt nicht mit.
Lösung
Ergebnis: Das 3. Bild in der 3. Reihe.
Führen Sie die vier Bewegungen Schritt für Schritt aus und skizzieren Sie nach jedem Schritt die neue Lage:
- nach links kippen (L),
- im Uhrzeigersinn um 90° drehen (U),
- nach hinten kippen (H),
- nach rechts kippen (R).
Die Endlage zeigt das 3. Bild in der 3. Reihe. Die offizielle Lösung zeigt alle Zwischenlagen.