Gymiprüfung 2008 Mathematik (2. Sek) Kurzgymnasium

• Hauptnenner von 16 und 24 ist 48. Multipliziere die ganze Gleichung mit 48:

• Klammern auflösen (Achtung: das Minus vor der zweiten Klammer!):

• Zusammenfassen: $-26x-146=192$, also $-26x=338$.
• $x=338:(-26)=-13$

• Zähler vereinfachen: $4x-(3y-1)=4x-3y+1$ und $3(2x-y)+5=6x-3y+5$.

• Hauptnenner von 12 und 20 ist 60. Erweitere mit 5 bzw. 3:

• Zähler ausmultiplizieren: $20x-15y+5-18x+9y-15=2x-6y-10$

• Kürzen mit 2:

• Rechtecksfläche: $12\cdot 6=72{\text{ cm}}^2$
• Schraffiert: $\frac{1}{9}\cdot 72=8{\text{ cm}}^2$

• Das Dreieck ist rechtwinklig mit den Katheten 5 cm und $x$:

Idee: Ein Dreieck mit den Winkeln 90°, 60°, 30° ist ein halbes gleichseitiges Dreieck.

• Der Winkel bei C ist $180°-90°-60°=30°$.

• Spiegelst du das Dreieck an AC, entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $x$. AB ist die Hälfte davon:

• Pythagoras für $y$:

• Aktueller Beitrag: $b$ Franken. Einnahmen heute: $450\cdot b$.
• Neu: $450+\frac{1}{3}\cdot 450=600$ Mitglieder, Beitrag $b-25$.

• Neue Einnahmen = alte Einnahmen + 1200:

• $600b-15000=450b+1200$
• $150b=16200\Rightarrow b=108$

Der aktuelle Beitrag beträgt Fr. 108.

Teile die Grundfläche (Vorderseite) in ein Rechteck und ein Trapez.

• Rechteck unten: $20\cdot 3=60{\text{ cm}}^2$
• Trapez oben: Die untere Seite ist $20-2-2=16$ cm, die obere 4 cm.
  • Jeder Schenkel (10 cm) ragt waagrecht $(16-4):2=6$ cm vor.
  • Höhe nach Pythagoras: $h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ cm
  • Fläche: $\frac{16+4}{2}\cdot 8=80{\text{ cm}}^2$
• Grundfläche: $60+80=140{\text{ cm}}^2$
• Prismahöhe (Tiefe) ist 6 cm: $V=140\cdot 6=840{\text{ cm}}^3$

Idee: AB ist die Raumdiagonale eines Quaders.

• Von A nach B gehst du 2 cm nach rechts, 3 cm nach unten und 6 cm nach hinten.

• Raumdiagonale:

Idee: Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. M ist also das Zentrum, an dem A auf C und B auf D gespiegelt wird.

1. Spiegle A an M, das ergibt C.
2. D liegt auf h, also liegt B (das Spiegelbild von D) auf dem Spiegelbild von h. Spiegle h an M, das ergibt h'.
3. B liegt auch auf g: Der Schnittpunkt $h^{\prime }\cap g$ ist B.
4. Zeichne die Gerade BM. Ihr Schnittpunkt mit h ist D.
5. Verbinde A, B, C, D zum Parallelogramm.

Idee: Der Zwischenhalt ist für beide gleich lang, du kannst ihn also weglassen und nur die reine Fahrzeit betrachten.

• Bis zum Kreuzen auf der Rückfahrt legen beide Schiffe zusammen 3 Seebreiten zurück: $3\cdot 2.7=8.1$ km.
• Reine Fahrzeit $t$ (in min): $0.25t+0.2t=8.1$, also $0.45t=8.1$ und $t=18$ min.
• Schiff A fährt in dieser Zeit $18\cdot 0.2=3.6$ km.
• A ist zuerst 2.7 km von Horgen nach Meilen gefahren und dann schon $3.6-2.7=0.9$ km zurück Richtung Horgen.

Die Schiffe kreuzen sich 0.9 km = 900 m von Meilen entfernt.

Kontrolle: B fährt in 18 min $4.5$ km, also $2.7$ km hin und $1.8$ km zurück. Von Meilen aus: $2.7-1.8=0.9$ km.