Gymiprüfung 2009 Mathematik (2. Sek) Kurzgymnasium

1. Klammer auflösen: $\frac{6}{5}\cdot \frac{20x}{9}=\frac{8x}{3}$ und $\frac{6}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{5}$. Achtung: Das Minus vor der Klammer dreht beide Vorzeichen.

2. Auf den Hauptnenner 30 bringen:

3. Zusammenfassen:

Der Bruch lässt sich nicht weiter kürzen.

1. Klammern auflösen:

2. Beide Seiten zusammenfassen:

3. $4x$

   und $10$ auf die andere Seite bringen:

4. Gesucht sind ganze Zahlen grösser als $-5$ ($-5$ selbst gehört nicht dazu):

1. Das Dreieck $DEF$ ist gleichschenklig ($DE=DF$). Darum steht $DM$ senkrecht auf $EF$. Pythagoras im Dreieck $DMF$:

2. Die Kante $AD$ (Höhe 7 cm) steht senkrecht auf der Deckfläche, also auch auf $DM$. Pythagoras im Dreieck $ADM$:

Markiere zuerst alle Kantenmittelpunkte. Die Schnittebene muss durch $M$ und mindestens zwei weitere dieser Mittelpunkte gehen.

• Rechtecke: Die Ebene ist senkrecht zur Deckfläche, also parallel zu den Seitenkanten. Beispiel: $M$, Mittelpunkt von $DF$ und die beiden Punkte direkt darunter auf der Grundfläche (Mittelpunkte von $BC$ und $AC$). Ein zweites Rechteck: durch $M$, den Mittelpunkt von $DE$ und die Punkte darunter. Auch ein Schnitt durch die Kante $AD$ und $M$ ergibt ein Rechteck.
• Trapeze: Die Ebene ist schräg. Beispiel: $M$, Mittelpunkt von $DF$ (oben) sowie die Mittelpunkte der Seitenkanten $AD$ und $BE$. Die obere Seite ist parallel zur unteren, aber nur halb so lang, also ein Trapez, das kein Rechteck ist.

Die offiziellen Lösungen zeigen mehrere Möglichkeiten (dick eingezeichnet).

Die Seitenlänge muss in alle drei Masse ohne Rest passen und möglichst gross sein: gesucht ist der ggT.

• $1620=2^2\cdot 3^4\cdot 5$
• $648=2^3\cdot 3^4$
• $270=2\cdot 3^3\cdot 5$

Gemeinsame Faktoren mit der kleinsten Hochzahl: $\text{ggT}=2\cdot 3^3=54$. Die Platten sind 54 cm lang.

1. Gleicher Abstand von $AB$ und $BC$: Die Ameise läuft auf der Winkelhalbierenden $w$ des rechten Winkels bei $B$.
2. Gleich weit von $B$ und $D$: Solche Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten $m$ von $BD$. Der Schnittpunkt $M_1=w\cap m$ ist das Ende der ersten Teilstrecke.
3. Die zweite Teilstrecke ist 3 cm lang: Ihr Endpunkt $P$ liegt auf dem Kreis $k_1$ um $M_1$ mit Radius 3 cm.
4. Bei $P$ ist ein rechter Winkel zwischen $M_{1}P$ und $PD$: $P$ liegt auf dem Thaleskreis $k_2$ über $M_{1}D$ (Mittelpunkt $M_2$ = Mitte von $M_{1}D$).
5. $P=k_1\cap k_2$. Von den zwei Schnittpunkten nimmst du den, bei dem die Ameise nach links abbiegt.
6. Weg einzeichnen: $B\to M_1\to P\to D$.

Konstruktionsbericht: $w$ = Winkelhalbierende bei $B$; $m$ = Mittelsenkrechte von $BD$; $M_1=w\cap m$; $k_1(M_1;3\text{cm})$; $k_2$ = Thaleskreis über $M_{1}D$; $P=k_1\cap k_2$; Streckenzug $B{M}_{1}PD$.

Rechne rückwärts.

1. 431 mg = 0.431 g sind $\frac{1}{333}$ des Zuckers. Gesamter Zucker: $0.431\text{g}\cdot 333=143.523\text{g}$
2. Dieser Zucker ist $\frac{5}{46}$ der Cola: $143.523\text{g}:\frac{5}{46}=143.523\cdot \frac{46}{5}\text{g}\approx 1320\text{g}$
3. 1 kg Cola = 1 Liter, also $1320\text{g}\approx$ 1.3 Liter.

1. Halber Durchmesser: $2.88:2=1.44$ cm.
2. Das 1.5-fache des Mittels ist 1.44 cm, also Mittel $=\frac{1.44}{1.5}=0.96$ cm.

3. Stundenzeiger $x$, Minutenzeiger $2x$:

4. Stundenzeiger 0.64 cm, Minutenzeiger $2\cdot 0.64=$ 1.28 cm.