Gymiprüfung 2008 Mathematik (3. Sek) Kurzgymnasium

Multipliziere mit dem Hauptnenner 75:

• $10\cdot (3-5x)-18\cdot (5-3x)+15=225$
• $30-50x-90+54x+15=225$
• $4x-45=225$
• $4x=270\Rightarrow x=\frac{135}{2}$, also $\mathbb{L}=\{\frac{135}{2}\}$

Zuerst die Division (Punkt vor Strich), dann die Addition.

• Faktorisieren: $a^2+ab=a(a+b)$ und $2x-8y=2(x-4y)$
• Dividieren heisst mit dem Kehrwert multiplizieren: $\frac{x-4y}{a(a+b)}\cdot \frac{a+b}{2(x-4y)}=\frac{1}{2a}$
• Addieren mit Hauptnenner $2ab$: $\frac{1}{2a}+\frac{6}{b}=\frac{b}{2ab}+\frac{12a}{2ab}=\frac{12a+b}{2ab}$

Sei $n$ die Anzahl Teilnehmende. Knaben: $0.4n$, Mädchen: $0.6n$.

• Mindestens 16 sind 85% der Knaben und 60% der Mädchen.
• $0.85\cdot 0.4n+0.6\cdot 0.6n=0.34n+0.36n=0.7n$
• $0.7n=35\Rightarrow n=50$

Schraffierte Fläche = Kreissektor minus Dreieck $M$ + Sehnenendpunkte.

• Sektor: $\frac{120^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot \pi \cdot 10^2=\frac{100\pi }{3}\approx 104.720{\text{ cm}}^2$
• Das Dreieck ist gleichschenklig mit Spitzenwinkel $120^{\circ }$. Die Höhe von $M$ auf die Sehne halbiert es in zwei Halbdreiecke ($30^{\circ }$-$60^{\circ }$-$90^{\circ }$): Höhe $=\frac{r}{2}=5\text{ cm}$, halbe Sehne $=\frac{r}{2}\sqrt{3}=5\sqrt{3}\text{ cm}$
• Dreieck: $5\sqrt{3}\cdot 5=25\sqrt{3}\approx 43.301{\text{ cm}}^2$
• Teilfläche: $104.720-43.301\approx 61.418{\text{ cm}}^2$

Sei $x$ der aktuelle Beitrag in Fr. Neu: $450+\frac{1}{3}\cdot 450=600$ Mitglieder zahlen je $x-25$.

• $600\cdot (x-25)=450x+1200$
• $600x-15000=450x+1200$
• $150x=16200\Rightarrow x=108$

Zerlege alles in Primfaktoren:

• $168=2^3\cdot 3\cdot 7$, $126=2\cdot 3^2\cdot 7$, $1512=2^3\cdot 3^3\cdot 7$
• Der Faktor $3^3=27$ fehlt in 168 und 126, also muss die dritte Zahl $27$ enthalten.
• Zusätzlich darf sie nur Teiler von $2^3\cdot 7=56$ enthalten: $1,2,4,7,8,14,28,56$.
• Mal 27: $27,54,108,189,216,378,756,1512$

Die Grundfläche ist die vordere Achteckfläche, die Prismenhöhe ist 6.

• Unten: Rechteck $20\cdot 3=60$
• Darüber ein Trapez: unten $20-2-2=16$, oben $4$. Jede schräge Seite überbrückt waagrecht $\frac{16-4}{2}=6$.
• Trapezhöhe mit Pythagoras: $\sqrt{10^2-6^2}=8$
• Trapez: $\frac{16+4}{2}\cdot 8=80$, Grundfläche $60+80=140{\text{ cm}}^2$
• $V=140\cdot 6=840{\text{ cm}}^3$

und $B$ liegen in einem Quader mit den Kanten $2$ (nach rechts), $3$ (nach unten) und $6$ (nach hinten). $AB$ ist dessen Raumdiagonale:

Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. $M$ ist also das Symmetriezentrum: Spiegelt man an $M$, geht $A$ in $C$ und $D$ in $B$ über.

1. Spiegle $A$ an $M$: Du erhältst $C$.
2. Da $D$ auf $h$ liegt, liegt sein Spiegelbild $B$ auf der an $M$ gespiegelten Geraden $h^{\prime }$. Spiegle also $h$ an $M$ → $h^{\prime }$.
3. $B$ liegt auf $g$ und auf $h^{\prime }$: $B$ ist der Schnittpunkt von $h^{\prime }$ und $g$.
4. Zeichne die Gerade $BM$. Ihr Schnittpunkt mit $h$ ist $D$.
5. Verbinde $A$, $B$, $C$, $D$ zum Parallelogramm.

• Erste Überquerung: $t_A=\frac{2.7}{0.2}=13.5\text{ min}$, $t_B=\frac{2.7}{0.25}=10.8\text{ min}$
• Weil der Halt gleich lang ist, startet B seine Rückfahrt $13.5-10.8=2.7\text{ min}$ vor A.
• In dieser Zeit fährt B $2.7\cdot 0.25=0.675\text{ km}$ von Horgen weg. Bis Meilen fehlen noch $2.7-0.675=2.025\text{ km}$.
• Beide fahren nun aufeinander zu: $\frac{2.025}{0.2+0.25}=4.5\text{ min}$
• A fährt in dieser Zeit von Meilen weg: $4.5\cdot 0.2=0.9\text{ km}=900\text{ m}$

Andere Idee: Ohne Halt legen beide zusammen $3\cdot 2.7=8.1\text{ km}$ zurück: $0.45t=8.1\Rightarrow t=18\text{ min}$. A fährt $18\cdot 0.2=3.6\text{ km}$, also nach einer Überfahrt von 2.7 km noch $0.9\text{ km}$.