Gymiprüfung 2009 Mathematik (3. Sek) Kurzgymnasium

• Faktorisiere alle Zähler und Nenner: $13ab+13a=13a(b+1)$, $-3a{b}^2+a^2{b}^2=a{b}^2(a-3)$, $39+39b=39(1+b)$, $a^2-3a=a(a-3)$.

• Dividieren heisst: mit dem Kehrwert multiplizieren:

• Kürze $(b+1)$, $(a-3)$ und ein $a$: $\frac{13a}{39b^2}$.
• Kürze mit 13: $\frac{a}{3b^2}$.

Markiere zuerst alle Kantenmittelpunkte. Die Schnittebene geht durch $M$ und mindestens zwei weitere Kantenmittelpunkte.

• Rechteck 1: Mitte von $DF$, $M$, Mitte von $BC$, Mitte von $AC$. Der Schnitt ist senkrecht (parallel zur Kante $DE$ bzw. $AB$), deshalb entsteht ein Rechteck.
• Rechteck 2: Mitte von $DE$, $M$, Mitte von $BC$, Mitte von $AB$. Ebenfalls ein senkrechter Schnitt (parallel zu $DF$ bzw. $AC$).
• Trapez 1: Mitte von $AD$, Mitte von $DF$, $M$, Mitte von $BE$. Die Seite in der Deckfläche ist parallel zur Seite durch die Mitten von $AD$ und $BE$, die anderen Seiten nicht: ein Trapez, kein Rechteck.
• Trapez 2: Mitte von $AD$, Mitte von $DE$, $M$, Mitte von $CF$ (analog zu Trapez 1, nur gespiegelt).

Die offizielle Lösung zeigt auch weitere mögliche Schnittfiguren, z. B. Rechtecke durch $A$, $D$ und $M$ oder Trapeze durch $A$ und $M$.

Die Seitenlänge muss in alle drei Masse aufgehen, und zwar möglichst gross: gesucht ist der ggT.

• $1620=2^2\cdot 3^4\cdot 5$
• $648=2^3\cdot 3^4$
• $270=2\cdot 3^3\cdot 5$
• ggT $=2\cdot 3^3=54$, also 54 cm.

• In Platten gemessen: Länge $1620:9=180$, Breite $648:9=72$, Tiefe $270:9=30$.
• Der Rand eines Rechtecks aus $m\times n$ Platten besteht aus $2m+2n-4$ Platten (die 4 Ecken nicht doppelt zählen).
• Boden ($180\times 72$): $360+144-4=500$
• 2 Längswände ($180\times 30$): $2\cdot (360+60-4)=832$
• 2 Querwände ($72\times 30$): $2\cdot (144+60-4)=400$
• Total: $500+832+400=1732$ rote Platten

(Offizielle Rechnung: $6\cdot 180+4\cdot 30+6\cdot 70+4\cdot 28=1732$.)

Konstruktionsbericht:

1. $w$ = Winkelhalbierende des Winkels bei $B$ (zwischen $AB$ und $BC$). Auf ihr hat jeder Punkt gleichen Abstand von $AB$ und $BC$.
2. $m$ = Mittelsenkrechte von $BD$. Auf ihr ist jeder Punkt gleich weit von $B$ und $D$ entfernt.
3. $M_1=w\cap m$: Ende der ersten Teilstrecke $B{M}_1$.
4. $k_1$ = Kreis um $M_1$ mit Radius 3 cm (Länge der zweiten Teilstrecke).
5. $k_2$ = Thaleskreis über $M_{1}D$ (Mittelpunkt $M_2$ = Mitte von $M_{1}D$). Jeder Punkt darauf sieht $M_1$ und $D$ unter einem rechten Winkel, also biegt die Ameise dort rechtwinklig ab.
6. $P=k_1\cap k_2$: der Schnittpunkt, bei dem die Ameise von $w$ aus gesehen nach links abbiegt.
7. Weg: $B\to M_1\to P\to D$.

• $x$ = Anzahl Mädchen, $x+135$ = Anzahl Knaben.
• Gesamtpunktzahl = Anzahl · Durchschnitt: Knaben $63(x+135)$, Mädchen $70x$.

• Gleichung:

• Ausrechnen: $36(x+135)=42x$, also $36x+4860=42x$ und $6x=4860$, $x=810$.
• Knaben: $810+135=945$. Total: $810+945=1755$ Teilnehmer.