Gymiprüfung 2010 Mathematik (3. Sek) Kurzgymnasium

Multipliziere den Faktor vor der Klammer in jeden Bruch hinein und kürze, statt die grossen Potenzen auszurechnen:

• $17\cdot 19^4\cdot \frac{x+y}{17\cdot 19^3}=19(x+y)=19x+19y$
• $17\cdot 19^4\cdot \frac{8x-y}{17\cdot 19^4}=8x-y$
• $19x+19y-(8x-y)=19x+19y-8x+y=11x+20y$

Die Mittellinien teilen das grosse Quadrat in vier kleine Quadrate mit Seite 6 cm.

• Grosses Quadrat: $12^2=144{\text{cm}}^2$
• Dreieck (halbes kleines Quadrat): $\frac{6\cdot 6}{2}=18{\text{cm}}^2$
• Viertelkreis mit $r=6\text{cm}$: $\frac{6^2\cdot \pi }{4}\approx 28.27{\text{cm}}^2$
• Eine "Linse" = 2 × (Viertelkreis − Dreieck) $=2\cdot (28.27-18)=20.55{\text{cm}}^2$
• Grau sind 2 Linsen und 2 Dreiecke: $2\cdot 20.55+2\cdot 18=77.1{\text{cm}}^2$
• Anteil: $77.1:144=0.5354=53.54\%$

Andere Möglichkeit: Weisses krummlinig begrenztes Stück = kleines Quadrat − Viertelkreis $=36-28.27=7.73{\text{cm}}^2$. Grau $=144-4\cdot 7.73-2\cdot 18=77.1{\text{cm}}^2$.

Zweimal nach links kippen ist eine halbe Drehung um die Achse von vorne nach hinten: oben und unten tauschen, links und rechts tauschen, vorne bleibt vorne.

• Die Ecke hinten links oben wandert nach hinten rechts unten.
• Die Mitte der vorderen oberen Kante wandert zur Mitte der vorderen unteren Kante.
• Die Mitte der vorderen rechten Kante wandert zur Mitte der vorderen linken Kante.
• Die Mitte der hinteren rechten Kante wandert zur Mitte der hinteren linken Kante.

Neuer Streckenzug: Auf der Vorderfläche (sichtbar, durchgezogen) von der Mitte der linken Kante zur Mitte der unteren Kante. Die anderen drei Strecken liegen auf verdeckten Flächen (gestrichelt): über die Bodenfläche zur Ecke hinten rechts unten, über die Rückfläche zur Mitte der hinteren linken Kante und über die linke Seitenfläche zurück zum Startpunkt.

Der Streckenzug besteht aus vier Strecken: von einer Ecke zur Mitte der gegenüberliegenden Kante, dann quer über eine Ecke zur Mitte einer Nachbarkante, dann parallel zu einer Würfelkante zur Mitte der gegenüberliegenden Kante, dann zurück zur Ecke. Das gegebene Stück auf der Deckfläche (von der Mitte der linken Kante zur Mitte der vorderen Kante) ist die Strecke "quer über eine Ecke".

• Von der Mitte der vorderen oberen Kante geht es auf der Vorderfläche (durchgezogen) zur Ecke vorne rechts unten.
• Von dieser Ecke auf der Bodenfläche (gestrichelt) zur Mitte der linken unteren Kante.
• Auf der linken Seitenfläche (gestrichelt) senkrecht hinauf zur Mitte der linken oberen Kante, dem Anfang des gegebenen Stücks.

Die Diagonalen eines Quadrats stehen senkrecht aufeinander. $M$ liegt auf $AC$ (durch $R$) und auf $BD$ (durch $S$), also ist der Winkel $RMS$ ein rechter Winkel. Darum liegt $M$ auf dem Thaleskreis über $RS$.

Konstruktionsbericht: 1. Thaleskreis über $RS$ schneidet $g$ in $M_1$ und $M_2$. 2. $k(M_1,r=5\text{ cm})\cap M_{1}R$ ergibt $A_1$, $C_1$. 3. $k(M_1,r=5\text{ cm})\cap M_{1}S$ ergibt $B_1$, $D_1$. 4. $k(M_2,r=5\text{ cm})\cap M_{2}R$ ergibt $A_2$, $C_2$. 5. $k(M_2,r=5\text{ cm})\cap M_{2}S$ ergibt $B_2$, $D_2$.

Der Radius ist 5 cm, weil die halbe Diagonale $AC:2=5$ cm misst. Es gibt zwei Lösungen.