Gymiprüfung 2012 Mathematik Kurzgymnasium

Rechne alles in dieselbe Einheit um, z. B. in ml (1 cm${}^3$ = 1 ml):

• 64 cm${}^3$ = 64 ml
• 86 ml
• 7.1 dl = 710 ml
• 73 cl = 730 ml

Also: 64 cm${}^3$ < 86 ml < 7.1 dl < 73 cl.

• $b=1.2\cdot 10^2=120$, also $b^2=14^{\prime }400=1.44\cdot 10^4$.
• $a\cdot b^2=(-3.8)\cdot 14^{\prime }400=-54^{\prime }720$
• $12^{\prime }000-(-54^{\prime }720)=12^{\prime }000+54^{\prime }720=66^{\prime }720$

Achtung: Minus mal Minus gibt Plus.

Jede Bedingung gibt eine Ortslinie:

• Weiter weg von A als von B: Konstruiere die Mittelsenkrechte $m$ von AB. Gesucht ist die Seite von $m$, auf der B liegt.
• Zwischen 1.5 cm und 5.0 cm von D: Zeichne um D einen Kreis mit Radius 1.5 cm und einen mit Radius 5.0 cm. Gesucht ist der Ring dazwischen.
• Winkel APC = 90°: P liegt auf dem Thaleskreis über AC (Mittelpunkt M = Mitte von AC, Radius = halbe Strecke AC).

Die gesuchten Punkte sind die Teile des Thaleskreises, die im Ring um D und auf der B-Seite von $m$ liegen. Das sind zwei Bogen: $\stackrel{⌢}{\mathrm{QR}}$ und $\stackrel{⌢}{\mathrm{ST}}$ (siehe Figur).

Grundidee: Eine Ebene schneidet zwei parallele Quaderflächen in parallelen Geraden.

• P und T liegen beide in der Deckfläche: Verbinde P mit T.
• Die Bodenfläche ist parallel zur Deckfläche: Zeichne durch R die Parallele zu PT. Sie trifft die vordere untere Kante im Punkt Q.
• P und Q liegen in der Vorderfläche: Verbinde P mit Q.
• Die Rückfläche ist parallel zur Vorderfläche: Zeichne durch T die Parallele zu PQ. Sie trifft die hintere rechte senkrechte Kante im Punkt S.
• Verbinde S mit R (rechte Seitenfläche).

Die Schnittfläche ist das Fünfeck PQRST.

Jedes Rad muss eine ganze Anzahl Umdrehungen gemacht haben. Gesucht ist also das kgV der drei Umfänge.

• $231=3\cdot 7\cdot 11$
• $252=2^2\cdot 3^2\cdot 7$
• $182=2\cdot 7\cdot 13$
• kgV $=2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11\cdot 13=36^{\prime }036$ cm $=360.36$ m

• Zum dritten Mal ist das nach $3\cdot 360.36\text{ m}=1081.08\text{ m}$.
• Ein Vorderrad legt pro Umdrehung $2.31$ m zurück.
• $1081.08:2.31=468$ Umdrehungen

(Kontrolle: $36^{\prime }036:231=156$ Umdrehungen pro Mal, $3\cdot 156=468$.)

Wichtige Eigenschaften des Rhombus: Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren die Winkel.

• Weil AC parallel zu h ist, steht BD senkrecht zu h.
• AC halbiert den Winkel bei A. Der Winkel zwischen g und AC ist gleich gross wie der Winkel $\phi$ zwischen g und h. Also bildet die Seite AD mit g den Winkel $2\phi$.

Konstruktionsbericht (ein möglicher Weg): 1. Im Schnittpunkt von g und h den Winkel $\phi =\angle (g,h)$ an h nochmals antragen: Das gibt die Richtung der Seiten AD und BC (Winkel $2\phi$ zu g). 2. Parallele zu dieser Richtung durch P zeichnen. Sie schneidet g im Punkt B. 3. Durch B die Senkrechte zu h zeichnen und darauf 5.6 cm abtragen: Das gibt D. 4. Durch D die Parallele zu BC zeichnen. Sie schneidet g im Punkt A. 5. C liegt auf der Geraden BP, so dass $\overline{BC}=\overline{AB}$ (oder: C als Schnittpunkt der Parallelen zu g durch D mit der Geraden BP).

Andere Wege sind möglich, z. B. die Parallele zu h durch P mit g schneiden (Punkt $P_s$, Spiegelbild von P an der Diagonale BD), oder auf einer Senkrechten zu h beidseitig 2.8 cm abtragen.

• Ursprünglicher Preis des billigeren Geräts: $x$. Das teurere kostet $x+145$.
• Nach der Reduktion: billiger $x-60$, teurer $x+145-60=x+85$.
• Das teurere ist 1.5-mal so teuer: $(x-60)\cdot 1.5=x+85$
• $1.5x-90=x+85$
• $0.5x=175$, also $x=350$

Kontrolle: $290\cdot 1.5=435=350+85$ ✓