Gymiprüfung 2013 Mathematik Kurzgymnasium

• Zähler ausmultiplizieren: $24ab+4b-24ab=4b$
• Im Nenner $4$ ausklammern: $12a+4b=4(3a+b)$
• Kürzen mit $4$: $\frac{4b}{4(3a+b)}=\frac{b}{3a+b}$

Achtung: $b$ darfst du nicht weiter kürzen, weil im Nenner eine Summe steht.

Alles in Liter umrechnen ($1{\text{dm}}^3=1\text{l}$, $1{\text{cm}}^3=1\text{ml}$):

• $1.62\text{dl}=0.162\text{l}$
• $312{\text{cm}}^3=0.312\text{l}$
• $1.4{\text{dm}}^3=1.4\text{l}$
• $0.162+0.312+1.4+0.825=2.699\text{l}$

Links: $(\mathbb{C}\cup \mathbb{A})\cap (\mathbb{B}\cup \mathbb{A})$

• Liegt ein Punkt in $\mathbb{A}$, ist er in beiden Klammern, also ganz $\mathbb{A}$ schraffieren.
• Ausserhalb von $\mathbb{A}$ muss er in $\mathbb{C}$ und in $\mathbb{B}$ liegen: zusätzlich die Fläche $\mathbb{B}\cap \mathbb{C}$ schraffieren.

Rechts: $\bar{\mathbb{A}}\cap (\mathbb{B}\setminus \mathbb{C})$

• $\mathbb{B}\setminus \mathbb{C}$: Teil von $\mathbb{B}$ ohne $\mathbb{C}$.
• $\bar{\mathbb{A}}$: davon nur, was nicht in $\mathbb{A}$ liegt.
• Schraffiert wird also nur der Teil von $\mathbb{B}$, der zu keiner der beiden anderen Mengen gehört.

Geschickt: $10.2=3\cdot 3.4$. Denk dir den Würfel aus $3\times 3\times 3$ kleinen Würfeln mit Kante $3.4\text{cm}$ und zähle Quadrate der Grösse $(3.4\text{cm}{)}^2$.

• Aussenflächen: Jede der 6 Seiten hat $9-1=8$ Quadrate (das mittlere ist das Loch): $6\cdot 8=48$.
• Innenflächen der Löcher: Die Löcher bilden 6 Gänge von der Seite bis zum Würfelzentrum, jeder Gang hat 4 Wandquadrate: $6\cdot 4=24$. (Im Zentrum treffen sich die Gänge, dort gibt es keine Wand.)
• Total: $48+24=72$ Quadrate
• $A=72\cdot (3.4\text{cm}{)}^2=72\cdot 11.56{\text{cm}}^2=832.32{\text{cm}}^2$

• Alles mit $f$ ausdrücken: Autos $a=f+12$, Motorräder $m=\frac{f}{2}$
• Gleichung: $510=4(f+12)+2f+2\cdot \frac{f}{2}$
• $510=4f+48+2f+f=7f+48$
• $7f=462\Rightarrow f=66$

(Zur Kontrolle: $a=78$, $m=33$, $4\cdot 78+2\cdot 66+2\cdot 33=312+132+66=510$.)

Bei der üblichen Verschnürung läuft die Schnur zweimal rund um die Schachtel (einmal längs, einmal quer). Jede Grundkante kommt so 2-mal vor, die Höhe 4-mal:

(alle Angaben in cm)

Idee: Einfallswinkel = Ausfallswinkel. Das erreichst du mit einer Spiegelung.

• Spiegle das Loch L an der Bande a: Bildpunkt L'.
• Verbinde B geradlinig mit L'. Der Schnittpunkt mit der Bande a ist P.
• Der Weg des Balles ist B → P → L.

Gleiches Vorgehen wie in a), aber für jede Bande einzeln:

• Spiegle L an der Bande (bzw. an ihrer Verlängerung), verbinde B mit dem Spiegelpunkt und prüfe, ob der Schnittpunkt auf der Bande liegt und der ganze Weg innerhalb der Bahn verläuft.
• Bande unten (rechts von B): Spiegelpunkt $L_1^{\prime }$, Schnittpunkt U. Weg BUL ist möglich.
• Rechte schräge Bande: Spiegelpunkt $L_2^{\prime }$, Schnittpunkt V. Weg BVL ist möglich.
• Bei den anderen Banden (z. B. mit $L_3^{\prime }$ und Punkt W oben) verläuft der Weg ausserhalb der Bahn oder trifft die Bande nicht. Diese Wege fallen weg.
• Es gibt also genau zwei Wege: BUL und BVL.

Idee: Der Höhenfusspunkt $H_b$ liegt auf dem Thaleskreis über $AB$ (rechter Winkel bei $H_b$) und hat von $B$ den Abstand $h_b$. C liegt auf der Geraden $A{H}_b$ und hat vom Mittelpunkt $M_c$ der Seite $c$ den Abstand $s_c$.

Konstruktionsbericht:

1. Seite $c=6$ cm zeichnen: Punkte A und B, dazu den Mittelpunkt $M_c$ von $AB$.
2. Thaleskreis $k_T$ über $AB$ und Kreis $k_0(B;h_b=5\text{cm})$ zeichnen. Sie schneiden sich im Höhenfusspunkt $H_b$.
3. Gerade $A{H}_b$ zeichnen (darauf liegt die Seite $b$).
4. Kreis $k_1(M_c;s_c=7\text{cm})$ schneidet die Gerade $A{H}_b$ in C.
5. Dreieck ABC verbinden.

Es gibt mehrere richtige Dreiecke (zwei Schnittpunkte für C, gespiegelte Lagen). Eines davon genügt. Man kann auch mit der Höhe $h_b$ oder einem Streifen im Abstand $h_b$ beginnen.

Systematisch nach der zweiten Ziffer ordnen (sie muss grösser als 5 sein, die dritte grösser als die zweite):

• zweite Ziffer 6: 567, 568, 569
• zweite Ziffer 7: 578, 579
• zweite Ziffer 8: 589
• zweite Ziffer 9: keine dritte Ziffer möglich

Also 6 Einstellungen: 567, 568, 569, 578, 579, 589.