Gymiprüfung 2018 Mathematik Kurzgymnasium

• Klammern auflösen: $-10-12x+24=36-14x$
• Links zusammenfassen: $14-12x=36-14x$
• $+14x$ und $-14$ auf beiden Seiten: $2x=22$
• $x=11$

• Mit dem Hauptnenner 24 multiplizieren: $3(2x+4)-4(x-4)=96$
• Achtung beim Minus vor dem Bruch: $6x+12-4x+16=96$
• Zusammenfassen: $2x+28=96$
• $2x=68$, also $x=34$

• Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst: $\frac{12x{y}^2}{5y}\cdot \frac{15}{4y}$
• Kürzen: $\frac{12x{y}^2}{5y}=\frac{12xy}{5}$, dann $\frac{12xy}{5}\cdot \frac{15}{4y}=\frac{3x}{1}\cdot \frac{3}{1}=9x$
• Zweiter Teil: $\frac{2y}{3}\cdot \frac{9x}{4y}=\frac{18xy}{12y}=\frac{3x}{2}$
• Zusammen: $9x-\frac{3x}{2}=\frac{18x}{2}-\frac{3x}{2}=\frac{15x}{2}=7.5x$

• Die Schülerzahl muss ein gemeinsames Vielfaches von 4, 9 und 14 sein.
• Primfaktoren: $4=2\cdot 2$, $9=3\cdot 3$, $14=2\cdot 7$
• $\text{kgV}(4,9,14)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7=252$
• Vielfache von 252 unter 1100: $252,504,756,1008$ (das nächste, 1260, ist zu gross).

• $90=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$ und $270=2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5$
• Der dritte Faktor 3 fehlt in 90, also muss er von $x$ kommen: $x$ enthält genau 3-mal den Faktor 3, ist also ein Vielfaches von 27.
• Die Faktoren 2 und 5 darf $x$ höchstens je 1-mal enthalten (sonst wäre das kgV grösser als 270).
• Möglichkeiten: $3\cdot 3\cdot 3=27$, $2\cdot 27=54$, $5\cdot 27=135$, $2\cdot 5\cdot 27=270$

• Wahrscheinlichkeit für zweimal rot: $P=\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ (oder $\frac{9}{36}$).
• Also sind etwa 25 % aller Ziehungen «zweimal rot»: $25\%\widehat{=}493$
• $100\%\widehat{=}4\cdot 493=1972$
• 1972 liegt am nächsten bei 2000. Die beste Schätzung ist 2000-mal.

• $BC$ ist senkrecht, also ist auch $AD$ senkrecht: $D$ liegt direkt über $A$, hat also die x-Koordinate 2.
• $ABCD$ ist ein Trapez mit den parallelen Seiten $\overline{AD}$ und $\overline{BC}=5$ und der Höhe 6 (Abstand der Geraden $x=2$ und $x=8$).
• $57=\frac{\overline{AD}+5}{2}\cdot 6$, also $19=\overline{AD}+5$ und $\overline{AD}=14$
• $D$ liegt 14 über $A(2|1)$: $D(2|15)$

• Orientiere dich an den Ecken $A$, $B$, $C$, $D$, die im Schrägbild und im Netz beschriftet sind. So findest du heraus, welche Fläche im Netz welcher Fläche am Paket entspricht.
• Gehe die Schnur Stück für Stück durch: Jedes gerade Stück liegt auf einer Fläche und verbindet zwei Kantenmittelpunkte (oder läuft über eine Fläche von einem Kantenmittelpunkt zum gegenüberliegenden).
• Markiere im Netz diese Kantenmittelpunkte und verbinde sie auf der richtigen Fläche. Achtung: Kanten, die im Netz getrennt liegen, gehören am Paket oft zusammen. Dort muss die Spur nahtlos weiterlaufen.
• Zur Kontrolle: Die Spur ist ein geschlossener Weg; auf der Fläche mit den Ecken $A$, $B$, $C$, $D$ verlaufen zwei parallele schräge Stücke.

• In einem Rechteck halbieren sich die Diagonalen und sind gleich lang. Der Mittelpunkt $M$ von $BD$ ist also auch der Mittelpunkt von $AC$.
• Bei der Punktspiegelung wird $M$ auf den Mittelpunkt $M^{\prime }$ von $A^{\prime }{C}^{\prime }$ abgebildet.
• Konstruiere $M$ (Mittelpunkt von $BD$) und $M^{\prime }$ (Mittelpunkt von $A^{\prime }{C}^{\prime }$). Das Zentrum $Z$ ist der Mittelpunkt der Strecke $M{M}^{\prime }$.
• Spiegle $A^{\prime }$ und $C^{\prime }$ an $Z$: Gerade durch den Punkt und $Z$ ziehen, gleiche Länge auf der anderen Seite abtragen. So erhältst du $A$ und $C$.
• Spiegle ebenso $B$ und $D$ an $Z$ und erhältst $B^{\prime }$ und $D^{\prime }$.
• Verbinde $A,B,C,D$ und $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ zu den beiden Rechtecken.

• Eine Oktaederkante $s$ verbindet zwei benachbarte Flächenmittelpunkte. Von der Seite gesehen ist sie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit zwei Katheten von je 5 cm (halbe Würfelkante).
• $s=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\cdot \sqrt{2}\approx 7.07\text{cm}$
• Ein Oktaeder hat 12 Kanten: $l=12\cdot 5\cdot \sqrt{2}=60\cdot \sqrt{2}\approx 84.85\text{cm}$

• Jede Strecke wird durch 2 neue ersetzt, die Anzahl verdoppelt sich also von Figur zu Figur: 1, 2, 4, 8, 16, …
• Von der 1. bis zur 12. Figur wird 11-mal verdoppelt: $2^{11}=2048$

Die $n$. Figur entsteht aus der 1. Figur (1 Strecke) durch $n-1$ Verdopplungen. Anzahl Strecken: $2^{n-1}$.

• 250 Milliarden $=2.5\cdot 10^{11}$
• Probieren: $2^{37}\approx 1.374\cdot 10^{11}$ ist noch zu klein, $2^{38}\approx 2.749\cdot 10^{11}$ ist grösser als $2.5\cdot 10^{11}$.
• Also $2^{n-1}=2^{38}$, $n-1=38$, $n=39$: Die 39. Figur.