Gymiprüfung 2019 Mathematik Kurzgymnasium

Geschickt: Teile zuerst beide Seiten durch $\frac{3}{4}$, d.h. multipliziere mit $\frac{4}{3}$.

• $\frac{4x}{5}-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$
• $+\frac{2}{3}$: $\frac{4x}{5}=\frac{6}{3}=2$
• $\cdot 5$: $4x=10$
• $x=\frac{5}{2}=2.5$

(Oder Klammer ausmultiplizieren: $\frac{3x}{5}-\frac{1}{2}=1\Rightarrow \frac{3x}{5}=\frac{3}{2}\Rightarrow 6x=15$.)

Punkt vor Strich: zuerst die Division.

• Durch einen Bruch dividieren heisst mit dem Kehrwert multiplizieren: $\frac{7y}{3x^2}\cdot \frac{x}{y}=\frac{7}{3x}$
• Auf den Nenner $6x$ erweitern: $\frac{7}{3x}=\frac{14}{6x}$
• $\frac{9x+14}{6x}-\frac{14}{6x}=\frac{9x+14-14}{6x}=\frac{9x}{6x}=\frac{3}{2}$

• $x$ = Anzahl Jugendliche, dann sind es $252-x$ Erwachsene.
• Einnahmen: $15x+28\cdot (252-x)=5236$
• Ausmultiplizieren: $15x+7056-28x=5236$
• $-13x=-1820$, also $x=140$
• Erwachsene: $252-140=112$

112 Erwachsene und 140 Jugendliche haben die Vorstellung besucht.

• $V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h$
• Mit halber Kante: $V_{neu}=\frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{a}{2}\right)}^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{4}\cdot h=\frac{1}{12}\cdot a^2\cdot h$
• Das ist ein Viertel von $V$: Das Volumen wird geviertelt.

(Mit Zahlen: $a=10$ cm, $h=5$ cm ergibt $V\approx 166.67{\text{ cm}}^3$, mit $a=5$ cm $V_{neu}\approx 41.67{\text{ cm}}^3$.)

• $V=a^3$
• Neue Kante: $0.9a$, also $V_{neu}=(0.9a{)}^3=0.729\cdot a^3$
• Das sind 72.9 % des alten Volumens, also $100\%-72.9\%=27.1\%$ weniger.

(Mit Zahlen: $10^3=1000{\text{ cm}}^3$, $9^3=729{\text{ cm}}^3$.)

• Simea fährt an einem Tag mit Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{5}$ Velo, Viola mit $\frac{2}{5}$.
• Beide wählen unabhängig: $P=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{25}$

(In der 5×5-Tabelle sind $3\cdot 2=6$ von 25 Feldern «beide Velo».)

• $16\%=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}$
• Fährt Simon an $x$ Tagen und Noah an $y$ Tagen Velo: $\frac{x}{5}\cdot \frac{y}{5}=\frac{4}{25}$, also $x\cdot y=4$.
• Mit $x,y$ zwischen 1 und 5: $1\cdot 4$, $4\cdot 1$ oder $2\cdot 2$.

Es gibt drei Möglichkeiten: 1. Simon und Noah fahren beide je 2-mal mit dem Fahrrad. 2. Simon 4-mal, Noah 1-mal. 3. Simon 1-mal, Noah 4-mal.

Bei der Punktspiegelung an $Z$ ist $Z$ die Mitte zwischen $P$ und $P^{\prime }$. Gehe vom Punkt zu $Z$ und gleich weit noch einmal weiter.

• $A(-3/-1)$: bis $Z$ sind es $+5$ nach rechts und $+1$ nach oben, also $A^{\prime }(2+5/0+1)=A^{\prime }(7/1)$
• $B(2/1)$: $B^{\prime }(2/-1)$
• $C(3/5)$: $C^{\prime }(1/-5)$

Da $Z$ die Mitte von $P$ und $P^{\prime }$ ist, gilt: $x^{\prime }=2\cdot 2-x=4-x$ und $y^{\prime }=2\cdot 0-y=-y$.

• $D^{\prime }$: $x^{\prime }=4-734=-730$, $y^{\prime }=0$ → $D^{\prime }(-730/0)$
• $E^{\prime }$: $x^{\prime }=4-(-410)=414$, $y^{\prime }=265$ → $E^{\prime }(414/265)$

Jede Seite ist die Raumdiagonale eines Quaders: zwei Strecken am Boden und der Höhenunterschied. Pythagoras im Raum: $d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

• $a$: am Boden 4 m und 3 m, Höhenunterschied $4-3=1$ m: $a=\sqrt{4^2+3^2+1^2}=\sqrt{26}\approx 5.099$ m
• $b$: am Boden 4 m und 3 m, Höhenunterschied $3-2=1$ m: $b=\sqrt{26}\approx 5.099$ m
• $c$: am Boden 8 m, Höhenunterschied $4-2=2$ m: $c=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}\approx 8.246$ m

Aus den Ansichten kennst du die sechs Muster: Punkt, Kreuz (beide Diagonalen), eine einzelne Diagonale, «V», Streifen (Linie durch die Mitte) und Kreis.

• Das Kreuz grenzt an Punkt, Diagonale, Streifen und V. Also liegt der Kreis gegenüber dem Kreuz.
• In der gesuchten Ansicht ist vorne der Kreis, rechts der Punkt. Die Fläche oben muss also an Kreis und Punkt grenzen.
• Aus den beiden Ansichten folgt: Oben liegt der Streifen. Die Linie verläuft durch die Mitte der oberen Fläche, parallel zur vorderen oberen Kante (siehe Abbildung).

Gegenüberliegende Flächen: Kreuz und Kreis, Punkt und V, Streifen und einzelne Diagonale. Gegenüberliegende Flächen dürfen im Netz nie aneinandergrenzen.

Starte bei der schon eingezeichneten V-Fläche mit den Ecken $A$ und $B$ und klappe das Netz in Gedanken zusammen. Setze dann Kreis, Punkt, Streifen, Kreuz und Diagonale so ein, dass Nachbarflächen und Ausrichtung der Linien zur Würfelansicht passen. Die korrekte Lösung zeigt die Abbildung.

• Die Ecken sind 1, 100 (Ende der ersten Zeile), 10 000 (letzte Kachel) und $10000-100+1=9901$ (Anfang der letzten Zeile).
• $1+100+9901+10000=20002$

Schneller: Zwei gegenüberliegende Ecken haben dieselbe Summe, also $2\cdot (1+10000)=20002$.

• Ecken: oben links $1$, oben rechts $n$, unten rechts $n^2$, unten links $n\cdot (n-1)+1=n^2-n+1$.
• Summe: $1+n+n^2+n^2-n+1=2n^2+2$

Oder: Zwei gegenüberliegende Ecken haben dieselbe Summe, also $2\cdot (1+n^2)=2+2n^2$.