Gymiprüfung 2020 Mathematik Kurzgymnasium

Die Original-Prüfung Mathematik der Zentralen Aufnahmeprüfung (ZAP) 2020 fürs Kurzgymnasium im Kanton Zürich, zum Lösen am Bildschirm abgeschrieben, mit Lösungsweg zu jeder Aufgabe.

Gleichungen und Bruchterme, Rechenwürfel mit Termen, Prozentrechnen, Gleichungen aufstellen, Wahrscheinlichkeit mit Glücksrädern, Füllgraphen, Rhombus-Konstruktion, Flächen und Pythagoras in Ebene und Raum sowie ein Quadrätchen-Muster.

Die Handelsmittelschule (HMS) Zürich verwendet dieselbe Prüfung: Das ist auch eine alte HMS-Aufnahmeprüfung.

Quelle: Kanton Zürich, Bildungsdirektion. Original: Aufgaben (PDF), Lösungen (PDF). Abschrift und Lösungswege: Fokus Nachhilfe.

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Jetzt übenDiese Themen kommen in der Prüfung vor. Eine kurze Runde mit Fox, ohne Anmeldung:

Terme mit Variablen vereinfachen Satz des Pythagoras Lineare Gleichungen lösen

PDF mit Lösungen

Antwort eintippen und prüfen, den Lösungsweg bei jeder Teilaufgabe aufklappen. Kommst du nicht weiter, frag Fox, unseren Lern-Assistenten: Er gibt dir Tipps, statt die Lösung zu verraten.

Kanton Zürich · Zentrale Aufnahmeprüfung 2020Kurzgymnasium · 2./3. Sek

Mathematik

90 Minuten · 11 Aufgaben · 38 Punkte

90 Minuten
Taschenrechner erlaubt: TI-30 ECO RS, TI-30X IIS, CASIO FX-82 oder SHARP EL-501 X
Lösungsweg muss ersichtlich sein
Kein zusätzliches Notizpapier

Aufgabe 1: Lineare Gleichungen lösen

4 Punkte

Löse die Gleichungen nach $x$ auf.

29 + (8 - 17 x) = 7 - 4 (5 - 2 x)

x - \frac{x + 7}{15} = \frac{3}{2} - \frac{3 ( 4 - 3 x )}{10}

Aufgabe 2: Terme vereinfachen

4 Punkte

Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

- \frac{2 c}{b} : \frac{c ^{2}}{b} + \frac{6 a + 5 c}{3 a c}

Term

\frac{( 4 x ) ^{2}}{64 x ^{2} + 36 x ^{2}} + \frac{3 x}{2}

Term

Aufgabe 3: Rechenwürfel mit Termen

4 Punkte

In dieser Aufgabe sind spezielle „Rechenwürfel“ dargestellt. Man berechnet die Terme in benachbarten Ecken, indem man jeweils die in Pfeilrichtung angegebene Operation ausführt. Ein Beispiel siehst du nebenan abgebildet.

Im unten abgebildeten Würfelkörper ist der Term in der Ecke $P$ gegeben. Er lautet $12 - 8 a$ .

Berechne den Term in der Ecke $Q$ .

Im unten abgebildeten Würfelkörper ist der Term in der Ecke $R$ gegeben. Er lautet $2 - 4 a$ .

Berechne den Term in der Ecke $S$ .

Aufgabe 4: Smartphones in Applingen

2 Punkte

In Applingen sind 48 % der Bevölkerung männlich. Davon besitzen $\frac{5}{8}$ ein Smartphone. 52 % der Bevölkerung sind weiblich. Davon besitzen $\frac{3}{4}$ ein Smartphone. 837 Einwohnerinnen und Einwohner besitzen kein Smartphone.

Berechne, wie viele Personen in Applingen wohnen.

Anzahl Personen

Aufgabe 5: Gleichungen aufstellen

3 Punkte

Im Folgenden werden drei verschiedene Situationen beschrieben. Stelle jeweils eine Gleichung mit der Unbekannten $x$ auf, welche die Situation des Textes beschreibt. Ausser $x$ darf keine weitere Unbekannte in der Gleichung vorkommen.

Die Gleichungen sollen nicht gelöst und auch nicht vereinfacht werden!

Eine Fahrt mit dem Riesenrad kostet für Erwachsene CHF 12 und für Kinder CHF 7. Heute wurden 268 Tickets verkauft. Es wurden CHF 2606 eingenommen. Gesucht ist die Anzahl $x$ der heute verkauften Kindertickets.

x

: Anzahl der heute verkauften Kindertickets

Die Gleichung lautet:

Liam besitzt CHF 86 mehr als Emma. Würde Emma Liam CHF 27 schenken, hätte Liam doppelt so viel Geld wie Emma. Gesucht ist, wie viel Geld Emma besitzt.

x

: Emmas Geld in CHF

Die Gleichung lautet:

Eine Mutter ist heute 3-mal so alt wie ihre Tochter. Vor 10 Jahren war sie 7-mal so alt, wie ihre Tochter damals war. Gesucht ist das Alter der Tochter heute.

x

: Alter der Tochter heute

Die Gleichung lautet:

Aufgabe 6: Glücksräder am Messestand

5 Punkte

An einem Messestand kann man ein Geschenk gewinnen. Dazu müssen die beiden unten abgebildeten Glücksräder gedreht werden. Wenn die Pfeile bei beiden Rädern auf das weisse Feld mit dem Paket zeigen, so gewinnt man und erhält das Geschenk.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu erhalten.

Wahrscheinlichkeit

3124 Personen haben nichts erhalten. Haben eher 3317, 3491, 3752 oder 3929 Personen die Glücksräder gedreht? Begründe deine Antwort mit einer Rechnung.

Anzahl Personen

Das zweite Glücksrad wird ausgetauscht. Das erste Glücksrad bleibt. Nun beträgt die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu erhalten, 10 %.

Berechne, wie gross der Anteil des weissen Feldes an der Gesamtfläche des neuen Glücksrades ist.

Anteil

Aufgabe 7: Füllgraphen den Gefässen zuordnen

2 Punkte

In einer Bar sind vier Getränkebehälter montiert. Sie sind alle vollständig gefüllt.

Die Gefässe werden so geleert, dass pro Zeiteinheit immer gleich viel Flüssigkeit ausfliesst. Die unten abgebildeten Graphen zeigen, wie dabei die Füllhöhe abnimmt.

Ordne die Graphen den Gefässen zu, indem du die Buchstaben in die Quadrate neben den Graphen notierst.

Graph oben links

Graph oben rechts

Graph unten links

Graph unten rechts

Aufgabe 8: Rhombus konstruieren und berechnen

5 Punkte

Die Strecke $A B$ ist die Seite eines Rhombus. Der Schnittpunkt $M$ seiner beiden Diagonalen liegt auf $g$ .

a1) Konstruiere alle möglichen Lösungen für $M$ und beschrifte sie.
a2) Konstruiere einen möglichen Rhombus.

Ein Rhombus hat die angegebenen Masse. Die Abbildung ist nicht massstabsgetreu.

b1) Berechne die Länge der Diagonalen $A C$ .
b2) Berechne die Länge der Diagonalen $B D$ .

ACcm

BDcm

Aufgabe 9: Rechteck in drei Flächen

3 Punkte

Das Rechteck $A B C D$ ist in drei Flächen $A_{1}$ , $A_{2}$ und $A_{3}$ unterteilt (siehe nicht massstabsgetreue Abbildung). $A_{2}$ und $A_{3}$ haben den gleichen Flächeninhalt. Der Flächeninhalt von $A_{1}$ ist halb so gross wie derjenige von $A_{2}$ .

Man weiss ausserdem: $\overline{A D} = \overline{B C} = 5 cm$ , $\overline{D E} = 13 cm$ und $\overline{GC} = 12.5 cm$

Berechne die Länge der Strecke $E F$ .

EFcm

Aufgabe 10: Luftlinie Uetliberg–Adlisberg

4 Punkte

In der unten abgebildeten Skizze sind drei Orte eingezeichnet: der Uetliberg, der Hauptbahnhof (HB) Zürich und der Adlisberg.

Lesebeispiel: Der HB Zürich ist in $x$ -Richtung 3657 m und in $y$ -Richtung 3179 m vom Uetliberg entfernt und liegt 408 m über Meer.

Berechne die Länge der direkten Strecke (Luftlinie) vom Uetliberg zum HB Zürich.

Luftliniem

Der Adlisberg liegt tiefer als der Uetliberg und höher als der HB Zürich. Die Länge der direkten Strecke (Luftlinie) vom HB Zürich zum Adlisberg beträgt 4139 m.

Berechne, wie viele Meter über Meer der Adlisberg liegt.

Höhe Adlisbergm ü. M.

Aufgabe 11: Graue Quadrätchen am Rand

2 Punkte

Aus kleinen Quadrätchen werden wie unten abgebildet Rechtecke gebildet.

Berechne, wie viele graue Quadrätchen die Figur für $a = 20$ hat.

Anzahl

Gib eine Formel an, mit welcher sich die Anzahl grauer Quadrätchen für ein beliebiges $a$ berechnen lässt. Der Term muss nicht vereinfacht werden.