Gymiprüfung 2021 Mathematik Kurzgymnasium

Regel: oberes Kästchen = linkes : rechtes Kästchen darunter.

1. Oben Mitte: $\left(-\frac{6}{x}\right):\frac{15}{x}=-\frac{6}{x}\cdot \frac{x}{15}=-\frac{6}{15}=-\frac{2}{5}$
2. Unten links (nennen wir es $a$): $a:\left(-\frac{6}{x}\right)=-\frac{x^2}{10}$. Umkehren: $a=-\frac{x^2}{10}\cdot \left(-\frac{6}{x}\right)=\frac{6x}{10}=\frac{3x}{5}$
3. Unten rechts (nennen wir es $b$): $\frac{15}{x}:b=5x$. Also $b=\frac{15}{x}:5x=\frac{15}{5x^2}=\frac{3}{x^2}$

• Beat: $x$
• Anna: $x+16$
• Carla: halb so viel wie Anna und Beat zusammen: $\frac{1}{2}(x+x+16)$
• Alle zusammen sind 99: $x+16+x+\frac{1}{2}(x+x+16)=99$

(Die Reihenfolge der Summanden darf anders sein.)

Merke: $1\text{l}=1{\text{dm}}^3$ und $1\text{ml}=1{\text{cm}}^3$. Bei Volumen ist der Umrechnungsfaktor zwischen benachbarten Einheiten 1000.

• $0.05{\text{m}}^3=50{\text{dm}}^3=50\text{l}$
• $0.005\text{l}=5\text{ml}=5{\text{cm}}^3$
• $500{\text{mm}}^3=0.5{\text{cm}}^3=0.5\text{ml}$
• Übrig bleibt $5{\text{dm}}^3$ (das wären $5\text{l}$).

Der Verbrauch pro Kilometer ist $\frac{\text{Benzin}}{\text{Distanz}}$, also die Steigung der Geraden vom Nullpunkt zum Punkt.

1. Zeichne die Gerade vom Nullpunkt durch $E$. Alle Punkte auf dieser Geraden haben genau den gleichen Verbrauch pro km wie $E$.
2. Punkte oberhalb dieser Geraden (steiler) verbrauchen mehr pro km.
3. Färbe also das Gebiet zwischen der $y$-Achse und dieser Geraden. Die Gerade selbst gehört dazu.

Verbinde jeden Punkt mit dem Nullpunkt. Je steiler die Gerade, desto mehr Benzin pro Kilometer.

• Die flachste Gerade geht durch $F$: viel Distanz, wenig Benzin. $F$ verbraucht am wenigsten pro km.
• Die steilste Gerade geht durch $A$: kurze Distanz, aber schon recht viel Benzin. $A$ verbraucht am meisten pro km.

1. Dunkle Pralinen ohne Nüsse sind $70\%$ aller dunklen: $70\%\widehat{=}5460$, also $100\%\widehat{=}\frac{5460\cdot 100}{70}=7800$ dunkle Pralinen.
2. Die dunklen sind $100\%-2.5\%=97.5\%$ aller Pralinen: $100\%\widehat{=}\frac{7800\cdot 100}{97.5}=8000$

Oder in einem Schritt: $0.7\cdot 0.975\cdot x=5460\Rightarrow x=8000$

Idee: Die Fläche des Dreiecks $BCD$ lässt sich auf zwei Arten berechnen. Einmal mit Grundseite $CD$, einmal mit Grundseite $BC$ und Höhe $x$.

1. Aus der Fläche von $ABD$: $30=\frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot 5$, also $\overline{AB}=12$ cm.
2. $\overline{AC}=5+11=16$ cm. Pythagoras im Dreieck $ABC$: $\overline{BC}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20$ cm
3. Fläche von $BCD$ mit Grundseite $CD=11$ cm und Höhe $AB=12$ cm: $A_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 12=66{\text{cm}}^2$(oder: $A_{ABC}-A_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16-30=96-30=66{\text{cm}}^2$)
4. Dieselbe Fläche mit Grundseite $BC$ und Höhe $x$: $66=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot x$
5. $x=\frac{2\cdot 66}{20}=6.6$ cm

Lies die Bögen in der Figur: Der gestrichelte Bogen um $C$ zeigt $\overline{CA}=\overline{CD}$. Der strichpunktierte Bogen um $D$ zeigt $\overline{DC}=\overline{DB}$. Der gepunktete Bogen ist der Thaleskreis über $CD$ (Mittelpunkt $M$), $S$ liegt darauf.

1. Nebenwinkel bei $A$: $\angle DAC=180^{\circ }-117^{\circ }=63^{\circ }$
2. Dreieck $ACD$ ist gleichschenklig ($CA=CD$), also $\angle ADC=63^{\circ }$. Dann ist $\angle CDB=180^{\circ }-63^{\circ }=117^{\circ }$.
3. Dreieck $DBC$ ist gleichschenklig ($DC=DB$): $\beta =\frac{180^{\circ }-117^{\circ }}{2}=31.5^{\circ }$
4. $S$ liegt auf dem Thaleskreis über $CD$, also $\angle CSD=90^{\circ }$: $DS$ ist die Höhe im gleichschenkligen Dreieck $DBC$ und halbiert den Winkel bei $D$: $\alpha =\frac{117^{\circ }}{2}=58.5^{\circ }$(oder: im rechtwinkligen Dreieck $DBS$ ist $\angle SDB=180^{\circ }-90^{\circ }-31.5^{\circ }=58.5^{\circ }$, also $\alpha =117^{\circ }-58.5^{\circ }=58.5^{\circ }$)

Idee: $S$ liegt senkrecht über der Mitte der Würfel-Deckfläche. $AS$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks: waagrecht die halbe Diagonale des Quadrats, senkrecht Würfelkante plus Pyramidenhöhe.

1. Diagonale der Deckfläche: $d=\sqrt{9^2+9^2}=\sqrt{162}=9\sqrt{2}\approx 12.728$ cm, halbe Diagonale $\frac{d}{2}\approx 6.364$ cm
2. Pyramidenhöhe (Seitenkante 7 cm, halbe Diagonale): $h=\sqrt{7^2-6.364^2}=\sqrt{8.5}\approx 2.915$ cm
3. $A$ liegt senkrecht unter einer Ecke der Deckfläche. Waagrechter Abstand von $A$ zum Fusspunkt von $S$: wieder $\frac{d}{2}\approx 6.364$ cm. Senkrechter Abstand: $9+2.915=11.915$ cm
4. $\overline{AS}=\sqrt{6.364^2+11.915^2}\approx 13.51$ cm

(Gleichwertig: $\overline{AS}=\sqrt{4.5^2+4.5^2+(9+2.915{)}^2}$.)