Gymiprüfung 2021 Mathematik Langgymnasium

Rechne rückwärts von der Ausgabe aus und nimm jeweils die Umkehroperation:

• $102+20.1=122.1$
• $122.1\cdot 3=366.3$
• $366.3-6.3=360$

Probe: $(360+6.3):3-20.1=122.1-20.1=102$ ✓

Geschickt: $125=1000:8$.

• $125\cdot 6.408=1000\cdot 6.408:8$
• $=6408:8$
• $=801$

Der Stundenpreis für ein Ruderboot ist 30 Fr.

Die Öffnungszeit dauert $10\frac{1}{2}$ Stunden (8.30 Uhr bis 19.00 Uhr).

• 30-Minuten-Pedalo: $10\frac{1}{2}$ h sind 21 halbe Stunden. $21\cdot 15\text{ Fr.}=315\text{ Fr.}$
• 60-Minuten-Pedalo: Nur 10 ganze Stunden passen hinein. $10\cdot 25\text{ Fr.}=250\text{ Fr.}$
• Unterschied: $315\text{ Fr.}-250\text{ Fr.}=65\text{ Fr.}$

• In 19 min fährt der Zug 57 km.
• In 1 min: $57:19=3\text{ km}$
• In 60 min: $3\cdot 60=180\text{ km}$

Der Zug fuhr also mit 180 km/h.

Schau dir die bekannten Zahlen am Ende an: $240=48\cdot 5$ und $1440=240\cdot 6$. Der Faktor wird jedes Mal um 1 grösser.

• $2\cdot 2=4=A$
• $4\cdot 3=12=B$
• $12\cdot 4=48$ ✓

Von 30.5 zu 26.25 wird $4.25$ abgezählt. Prüfe: $26.25-4.25=22$ und $22-4.25=17.75$ ✓. Die Regel ist also: immer $-4.25$.

• $A=30.5+4.25=34.75$
• $B=26.25-4.25=22$
• $C=17.75-4.25=13.5$

Gesucht ist die kleinste Zahl, die durch 2, 3 und 4 teilbar ist (kgV).

• Vielfache von 4: 4, 8, 12, …
• 4 und 8 sind nicht durch 3 teilbar, 12 schon (und auch durch 2).

Also kommen alle drei in 12 Wochen wieder gemeinsam.

Ben kommt in Woche 4, 8 und 12. Lia kommt immer dann auch, weil 4 eine gerade Zahl ist.

• Woche 4: Ben und Lia, Sara nicht ✓
• Woche 8: Ben und Lia, Sara nicht ✓
• Woche 12: alle drei, zählt also nicht

Also 2 mal.

Schau dir die Dienstage in Woche 1 bis 11 an:

• Lia: Woche 2, 4, 6, 8, 10
• Sara: Woche 3, 6, 9
• Ben: Woche 4, 8

Mindestens ein Enkel kommt in Woche 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10. Niemand kommt in Woche 1, 5, 7 und 11.

Also an 4 Dienstagen.

• $AC$ ist gleich lang wie die obere Seite: $AC=8\text{ cm}$.
• Schattiertes Rechteck: $8\cdot AP=40$, also $AP=5\text{ cm}$. Weil $P$ die Mitte von $AB$ ist, ist auch $PB=5\text{ cm}$.
• $Q$ ist die Mitte von $AC$, also $AQ=4\text{ cm}$.

Zerlege die Figur in Rechtecke:

• oben: $8\cdot 5=40{\text{ cm}}^2$
• schattiert: $40{\text{ cm}}^2$
• rechts: $9\cdot 5=45{\text{ cm}}^2$
• links (7 cm breit, $5+6=11$ cm hoch): $7\cdot 11=77{\text{ cm}}^2$
• unten zwischen $A$ und $Q$: $4\cdot 6=24{\text{ cm}}^2$

Total: $40+40+45+77+24=226{\text{ cm}}^2$

Zuerst die verdeckten Seiten: unten $7-2=5$, hinten rechts $7-4=3$, hinten links $7-1=6$.

Der Weg: einmal nach vorne rechts kippen, dann einmal nach hinten rechts.

• Kippen nach vorne rechts: Die Seite oben (2) geht nach vorne rechts, die Seite hinten links (6) kommt nach oben. Die Seite vorne links (4) bleibt. Jetzt: oben 6, vorne links 4, vorne rechts 2.
• Kippen nach hinten rechts: Die Seite vorne links (4) kommt nach oben, die Seite oben (6) geht nach hinten rechts, unten (1) kommt nach vorne links. Die Seite vorne rechts (2) bleibt.

Zielwürfel: oben 4, vorne links 1, vorne rechts 2.

Verdeckte Seiten am Start: unten 1, hinten rechts 4, hinten links 2.

Der Weg: vorne rechts, hinten rechts, hinten rechts, vorne rechts.

• Kippen nach vorne rechts: oben 2, vorne links 3, vorne rechts 6 (unten 5, hinten rechts 4, hinten links 1).
• Kippen nach hinten rechts: oben 3, vorne links 5, vorne rechts 6 (unten 4, hinten rechts 2).
• Kippen nach hinten rechts: oben 5, vorne links 4, vorne rechts 6 (unten 2, hinten rechts 3).
• Kippen nach vorne rechts: oben 1, vorne links 4, vorne rechts 5.

Weil die Achse durch $C$ geht, wird $B$ auf $D$ und $A$ auf $E$ gespiegelt. Also gilt $CD=CB$.

1. Kreis um $B$ mit Radius $BC$ (vorgegebene Länge). Er schneidet $g$ in zwei Punkten. Nimm den Punkt als $C$, bei dem der Winkel $BCD$ später stumpf wird.
2. Kreis um $C$ mit Radius $BC$. Der zweite Schnittpunkt mit $g$ (auf der anderen Seite von $C$) ist $D$.
3. Die Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte von $BD$ (sie geht durch $C$).
4. Spiegle $A$ an der Symmetrieachse: Das ergibt $E$.
5. Verbinde $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ der Reihe nach.