Aufnahmeprüfung Gymnasium Bern 2022 Mathematik II 8. Schuljahr

Achte auf die Reihenfolge: Was zuerst passiert, steht in der Klammer bzw. im Zähler.

• A: zuerst $x+3$, dann mal 2: $(x+3)\cdot 2$ → 5
• B: zuerst $x\cdot 2$, dann plus 3: $(x\cdot 2)+3$ → 2
• C: zuerst $x-3$, dann durch 2: $\frac{x-3}{2}$ → 1
• D: zuerst $x:3$, dann minus 2: $\frac{x}{3}-2$ → 6

Ausdruck 3 ($x+3\cdot 2=x+6$) und Ausdruck 4 bleiben übrig.

Nenne die grösste Zahl $x$. Aufeinanderfolgende ungerade Zahlen liegen 2 auseinander, also sind die 7 Zahlen $x,x-2,x-4,\dots ,x-12$.

Kontrolle: $9,11,13,15,17,19,21$ haben den Mittelwert 15.

Zähle die sichtbaren Würfelseiten (je $1{\text{cm}}^2$), die Bodenfläche zählt nicht.

• Von oben: Du siehst die ganze unterste Schicht, also $4\cdot 4=16$ Würfelseiten.
• Von jeder der vier Seiten: $1+2+3+4=10$ Würfelseiten, zusammen $4\cdot 10=40$.
• Total: $16+40=56$ Würfelseiten, also $56{\text{cm}}^2$.

Die Schichten sind Quadrate mit $1\cdot 1$, $2\cdot 2$, $3\cdot 3$ und $4\cdot 4$ Würfeln:

Neu kommen die Schichten 5, 6 und 7 dazu, mit $5\cdot 5$, $6\cdot 6$ und $7\cdot 7$ Würfeln:

• Umsatz bisher: $350\cdot 3.50=1225$ Franken.
• Die 35 Hausbrote kosten je 0.10 Fr. mehr: $35\cdot 0.10=3.50$ Franken mehr.
• Neuer Durchschnitt:

Die Anzahl Brote bleibt gleich, also wächst der Umsatz im gleichen Verhältnis wie der Durchschnittspreis:

Mit dem Ersatzwert: $\frac{3.59}{3.50}\approx 1.026\to$ um $2.6\%$.

Geschwindigkeit = Strecke : Zeit.

• $v=\frac{77784\text{m}}{6120\text{s}}\approx 12.71\text{m/s}$
• $v=\frac{77.784\text{km}}{1.7\text{h}}\approx 45.76\text{km/h}$

Kontrolle: $12.71\cdot 3.6\approx 45.76$.

Verfolge den Würfel Kippschritt für Kippschritt entlang der grauen Felder. Bei jedem Kippen rollt eine Fläche nach unten, die gegenüberliegende kommt nach oben, und die beiden Seitenflächen in Kipprichtung bleiben stehen, drehen sich aber mit.

• Aus den drei Bildern liest du ab, welche Zahlen nebeneinanderliegen: 4 liegt neben 0, 1, 3 und 5.
• Am Ende, ganz vorne, liegt die 4 oben, vorne links ist die 3, vorne rechts die 5.
• Die genaue Ausrichtung jeder Zahl siehst du in der Lösungsgrafik. Am besten prüfst du sie mit einem echten Würfel, den du mit Zahlen beschriftest.

Die Idee: Ein Zimmer mit bekannter Fläche verrät dir, wie viel $1{\text{cm}}^2$ auf dem Plan in Wirklichkeit ist. Die Masse unten sind auf dem gedruckten Prüfungsblatt gemessen.

1. Zimmer ausmessen: $(3.5\cdot 3.9){\text{cm}}^2+(2.7\cdot 0.8){\text{cm}}^2=15.81{\text{cm}}^2$. Das entspricht $10.19{\text{m}}^2$.
2. Also gilt $1{\text{cm}}^2\approx 10.19:15.81\approx 0.64{\text{m}}^2$. (Mit dem Bad: $12.03{\text{cm}}^2\widehat{=}7.59{\text{m}}^2$, also $1{\text{cm}}^2\approx 0.63{\text{m}}^2$.)
3. Schlafzimmer ausmessen: $(3.6\cdot 6.2){\text{cm}}^2+(0.8\cdot 2.1){\text{cm}}^2=24{\text{cm}}^2$.
4. Umrechnen: $24\cdot 0.64\approx 15.4{\text{m}}^2$. Die offizielle Lösung gibt $\approx 15.3{\text{m}}^2$ an; jedes Resultat zwischen 14.5 und $16.1{\text{m}}^2$ gilt als richtig.

Aus (a): $1{\text{cm}}^2$ auf dem Plan $\approx 0.64{\text{m}}^2$ in Wirklichkeit.

• $0.64{\text{m}}^2=0.8\text{m}\cdot 0.8\text{m}$, also entspricht $1\text{cm}$ auf dem Plan $0.8\text{m}=80\text{cm}$.
• Massstab $1:80$.

Vorsicht: $1:6400$ wäre der Fehler, Flächen statt Längen zu vergleichen ($80\cdot 80=6400$).

• Für den ersten Buchstaben hast du 5 Möglichkeiten.
• Für den zweiten bleiben noch 4, dann 3, 2 und 1.

Beide Kosten wachsen gleichmässig mit der Strecke, also sind es Geraden.

• A: startet bei 7 CHF (Grundgebühr) und steigt pro km um 3 CHF. Punkte z. B. $(0\mid 7)$ und $(10\mid 37)$.
• B: startet bei 0 CHF und steigt pro km um 3.50 CHF. Punkte z. B. $(0\mid 0)$ und $(10\mid 35)$.

Verbinde die Punkte je mit einer Geraden über den ganzen Bereich und beschrifte sie mit A und B.

Am Schnittpunkt der Geraden aus (b) ablesen oder rechnen:

Kontrolle: Beide kosten dann 49 CHF.