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Fokus Nachhilfe

Aufnahmeprüfung Gymnasium Bern 2026 Mathematik II 9. Schuljahr

Die Original-Prüfung Mathematik II der Aufnahmeprüfung 2026 fürs Gymnasium im Kanton Bern (GYM1, Serie aus dem 9. Schuljahr), zum Lösen am Bildschirm abgeschrieben, mit Lösungsweg zu jeder Aufgabe.

Wasserstand im Diagramm, Prozentrechnen mit der Raumsonde Rosetta, Rechtecke und ggT im Gitternetz, Dreieckskonstruktion mit 30° und 60°, Kombinatorik mit Buchstaben, Würfel kippen, Pythagoras und Flächen im Wohnungsplan, Kartenhaus-Zahlenfolge und Geschwindigkeit beim Rennrad.

Quelle: Kanton Bern, Bildungs- und Kulturdirektion. Original: Aufgaben (PDF), Lösungen (PDF). Abschrift und Lösungswege: Fokus Nachhilfe.

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PDF mit Lösungen

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Kanton Bern · Aufnahmeprüfung Gymnasium 20269. Schuljahr · GYM1, erhöhte Anforderungen

Mathematik II

60 Minuten · 9 Aufgaben · 33 Punkte

  • 60 Minuten
  • Taschenrechner erlaubt (nicht programmierbar, ohne Gleichungslöser)
  • Geodreieck, Zirkel, Lineal erlaubt
  • Alle Berechnungen und Begründungen angeben

Aufgabe 1: Wasserbecken leert sich

4 Punkte

Ein Wasserbecken ist mit Wasser gefüllt. Um 16:00 Uhr wird der Abfluss des Beckens geöffnet, so dass Wasser hinausfliesst. Der Wasserspiegel sinkt dann mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Die Höhe des Wasserspiegels (gemessen vom Boden des Wasserbeckens bis zur Wasseroberfläche) um 16:24 Uhr (= 16h 24min) ist in der Tabelle nebenan angegeben.

Uhr Höhe (cm)
16:00
16:24 290
17:09
0
Abbildung zu Aufgabe 1
a)

Zeichne die Höhe des Wasserspiegels um 16:24 Uhr im untenstehenden Diagramm mit einem Kreuz (+) ein, so dass die Mitte dieses Kreuzes genau den richtigen Punkt trifft.

1 Punkt
b)

Im Diagramm ist die Höhe des Wasserspiegels um 17:09 Uhr mit einem Kreuz eingezeichnet. Trage die Höhe des Wasserspiegels um 17:09 Uhr an der passenden Stelle in die obige Tabelle ein.

1 Punkt
cm
c)

Zeichne den Verlauf des Wasserspiegels im untenstehenden Diagramm mit einer Linie ein und beantworte damit die folgenden beiden Fragen: Wie hoch war der Wasserspiegel um 16:00 Uhr? Wann ist das Wasserbecken leer? Trage die beiden Antworten an den passenden Stellen in die obige Tabelle ein.

2 Punkte
cm
Uhr

Aufgabe 2: Gewicht der Raumsonde Rosetta

5 Punkte

Die Raumsonde Rosetta hatte ein Startgewicht von 3,003 t. 50 % davon ist Treibstoff. 1/30 des Gewichts macht die Landeeinheit aus. Die Nutzlast in Form von wissenschaftlichen Instrumenten beträgt 265 kg.

a)

Wie schwer ist der Rest der Sonde?

2 Punkte
kg
b)

Das Berner Instrument ROSINA machte vom Gesamtgewicht der Sonde 1,165 % aus. Wie schwer ist also ROSINA? Runde auf ganze kg.

1 Punkt
kg
c)

Am Ende der Mission sind noch 5 % des Treibstoffs übrig. Die Landeeinheit wurde schon früher abgeworfen. Wie schwer ist Rosetta am Ende der Mission?

2 Punkte
kg

Aufgabe 3: Rechtecke im Gitternetz

6 Punkte

Es ist folgendes Gitternetz gegeben:

Abbildung zu Aufgabe 3
a)

Wie viele Rechtecke unterschiedlicher Grösse lassen sich in dieses Gitternetz einzeichnen, wobei die Seiten auf den Gitternetzlinien liegen müssen? Hinweis: zwei Rechtecke gelten auch als gleich, wenn Länge und Breite vertauscht sind.

2 Punkte
b)

Wie viele Gitterpunkte (inkl. der Eckpunkte) liegen jeweils auf einer Diagonalen der folgenden Rechtecke im Gitternetz:

Rechteck Anzahl Gitterpunkte auf der Diagonalen inkl. der zwei Eckpunkte
4 × 1 Häuschen
5 × 5 Häuschen
6 × 4 Häuschen
2 PunkteAbbildung zu Aufgabe 3b
c)

Wie kann man die Anzahl der Gitterpunkte auf der Diagonale (zusammen mit den beiden Eckpunkten) bestimmen, wenn die Seitenlängen des Rechtecks a und b sind? Gib eine Berechnungsvorschrift oder Formel an.

2 Punkte

Aufgabe 4: Dreieck mit 30° und 60°

2 Punkte

Konstruiere ein Dreieck mit den Winkeln und und der vorgegebenen Seite a, die gegenüber dem Winkel liegt. Die Winkel sollen NICHT mit dem Geodreieck abgemessen werden. Zeichne alle Seiten des Dreiecks.

In der Zeichnung muss erkennbar sein, wie du bei der Konstruktion vorgegangen bist.

2 PunkteAbbildung zu Aufgabe 4

Aufgabe 5: Buchstaben aneinanderreihen

3 Punkte

Aus dem Buchstabenvorrat A, B, C, D, E, F, G werden zwei verschiedene Buchstaben entnommen und nebeneinandergelegt.

a)

Wie viele verschiedene Aneinanderreihungen ergeben sich? (Die Aneinanderreihungen «BA», «AB» und «FD» beispielsweise sind verschiedene Aneinanderreihungen.)

1 Punkt
b)

Man fügt zu den sieben Buchstaben noch den Buchstaben H hinzu und entnimmt nun drei verschiedene Buchstaben.

Wie viele verschiedene Aneinanderreihungen ergeben sich in diesem Fall? (Bsp. «DCH»)

1 Punkt
c)

Wie viele verschiedene Aneinanderreihungen mit drei der acht Buchstaben ergäbe es, wenn die Buchstaben beliebig oft eingesetzt werden dürfen? (Bsp. «AEA»)

1 Punkt

Aufgabe 6: Würfel kippen

4 Punkte

Die Seiten eines Würfels haben 1 bis 6 Punkte (⚀ bis ⚅). Wenn man die Anzahl Punkte gegenüberliegender Flächen addiert, ergibt sich immer die Summe 7 (z.B. liegt ⚁ gegenüber von ⚄). Der Würfel liegt am Anfang so auf dem Tisch, dass die Seite mit den 3 Punkten oben liegt. Das ist im folgenden Bild von oben zu sehen (⚂). Dort sind auch die vier Himmelsrichtungen angegeben und in grau ist Folgendes eingezeichnet: Wenn man den Würfel nach Osten kippt (im Bild: E), liegt diejenige Seite mit 1 Punkt oben (während sich die Seite mit den 3 Punkten jetzt auf der Ostseite des Würfels befindet). Wenn man den Würfel (bei dem die 3 Punkte oben liegen) nach Süden (S) kippt, liegt die Seite mit den 2 Punkten oben.

Wenn zuerst die Seite mit den 3 Punkten oben liegt und wir dann den Würfel zweimal nach Osten und dann nach Süden kippen, schreiben wir diese Kipp-Folge so auf: ⚂EES. Schreibe jeweils auf, wie viele Punkte nach den folgenden Kipp-Folgen auf der oberen Seite liegen:

Abbildung zu Aufgabe 6
a)

⚂W

1 Punkt
b)

⚂WW

1 Punkt
c)

⚂EES

1 Punkt
d)

⚂WNW

1 Punkt

Aufgabe 7: Bauplan einer Wohnung

4 Punkte

Unten ist der Bauplan einer Wohnung abgebildet. Die Einheit des eingezeichneten Koordinatensystems ist 1 m, so wie es oben links angegeben ist. Die Aussenwände haben eine Dicke von 20 cm, die Innenwände sind 10 cm dick. Der Raum, der aus der Küche und dem Wohnzimmer besteht, wird Küche/Wohnzimmer genannt. Zu einem Raum gehört nur der begehbare Bereich zwischen den Wänden.

Abbildung zu Aufgabe 7
a)

Wie lauten die Koordinaten der beiden Punkte im Raum Küche/Wohnzimmer, die am weitesten voneinander entfernt liegen? Wie weit sind diese beiden Punkte voneinander entfernt (auf den Dezimeter genau)?

2 Punkte
m
b)

Wie gross ist die Bodenfläche des Raums Küche/Wohnzimmer (ohne Wände)?

2 Punkte
m²

Aufgabe 8: Karten für ein Kartenhaus

2 Punkte

Ein Kartenhaus wird in Form einer spitzen Pyramide mit mehreren Lagen aufgebaut. Die Abbildung zeigt eine solche Pyramide mit drei Lagen. Ergänze die Tabelle.

Lagen 1 2 3 4 5 … 10
Karten 2 7 15 …
2 PunkteAbbildung zu Aufgabe 8

Aufgabe 9: Trainingsfahrt mit dem Rennrad

3 Punkte

Hannah trainiert mit dem Rennrad. Für die letzte Fahrt benötigte sie eine Zeit von insgesamt 45 min 59 s. Dabei fuhr sie mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 26.10 km/h.

a)

Welche Strecke hat sie bei dieser Trainingsfahrt zurückgelegt? Gib das Resultat auf ganze Meter genau an.

2 Punkte
m
b)

Sie fährt ein Rennen in England, welches eine Gesamtlänge von 26.525 Meilen aufweist. Wie lange bräuchte sie für diese Strecke, wenn sie mit derselben Durchschnittsgeschwindigkeit fährt? (1 Meile = 1.60944km). Gib das Resultat in Stunden, Minuten und Sekunden an und runde auf ganze Sekunden genau.

1 Punkt
h
min
s