Rationale Zahlen und Potenzen

In der Sek wird der Zahlenraum grösser: Negative Zahlen, Potenzen und Wurzeln kommen dazu. Hier lernst du, damit zu rechnen, sehr grosse und sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen zu schreiben und jede Zahl ihrer Zahlenmenge zuzuordnen.

1. Sek - 3. Sek

Themen

Negative Zahlen1. Sek

Potenzen und Potenzgesetze1. Sek - 2. Sek

Quadratwurzel und Wurzeln1. Sek - 3. Sek

Wissenschaftliche Schreibweise und Zehnerpotenzen2. Sek - 3. Sek

Zahlenmengen: rationale, irrationale und reelle Zahlen3. Sek

Das Wichtigste in Kürze

In der Primarschule rechnest du mit Zahlen ab 0. In der Sek kommen die Zahlen unter null dazu, zum Beispiel −5 Grad an einem Wintermorgen in Chur. Mit Potenzen schreibst du lange Malrechnungen kurz, mit Wurzeln rechnest du sie rückwärts, und mit Zehnerpotenzen passen riesige und winzige Zahlen auf eine Zeile.

Negative Zahlen und Vorzeichen

Auf dem Zahlenstrahl stehen links von 0 die negativen Zahlen. Je weiter links eine Zahl steht, desto kleiner ist sie: −7<−2. Beim Rechnen helfen zwei Regeln. Minus eine negative Zahl wird zu plus: 5−(−3)=5+3=8. Beim Multiplizieren und Dividieren geben gleiche Vorzeichen ein positives Ergebnis, verschiedene ein negatives: (−4)·(−6)=24, aber (−4)·6=−24.

Potenzen

Eine Potenz ist die Kurzschrift für eine Malrechnung mit lauter gleichen Faktoren: 2⁵=2·2·2·2·2=32. Die 2 heisst Basis, die 5 Hochzahl oder Exponent. Bei gleicher Basis rechnest du nur mit den Hochzahlen: Beim Multiplizieren addierst du sie (a³·a⁴=a⁷), beim Dividieren subtrahierst du sie (a⁷:a³=a⁴). Pass bei Klammern auf: (−3)²=9, aber −3²=−9.

Wurzeln

Die Quadratwurzel fragt rückwärts: Welche Zahl gibt mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel? $49 = 7$ , denn 7·7=49. Bei vielen Zahlen geht die Wurzel nicht auf, zum Beispiel bei $2 = 1.414 \dots$ Dort hören die Stellen nach dem Punkt nie auf und wiederholen sich nicht.

Sehr grosse und sehr kleine Zahlen

Mit Zehnerpotenzen schreibst du lange Zahlen kurz. Die Schweiz hat rund 9 Millionen Einwohnerinnen und Einwohner, also etwa 9·10⁶. Ein Millimeter ist $1 0^{- 3}$ Meter. In der wissenschaftlichen Schreibweise steht vorne eine Zahl von 1 bis unter 10, dahinter eine Zehnerpotenz: 45'000 =4.5·10⁴ und 0.0032 $= 3.2 \cdot 1 0^{- 3}$ .

Zahlenmengen

Die Zahlen bauen aufeinander auf, jede Menge enthält die vorherige.

Natürliche Zahlen $N$ : 1, 2, 3 und so weiter.
Ganze Zahlen $Z$ : dazu die 0 und die negativen ganzen Zahlen.
Rationale Zahlen $Q$ : alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen, auch 0.75 und $0. \overline{3}$ .
Reelle Zahlen $R$ : dazu die irrationalen Zahlen wie $2$ und π, die sich nicht als Bruch schreiben lassen.

Für die Aufnahmeprüfung ins Gymnasium: Gymiprüfungen der letzten Jahre mit Lösungen