Reelle Zahlen und irrationale Zahlen

Ergebnis: ​5−17=−12, die kleinste Menge ist $\mathbb{Z}$.

1. Von 5 gehst du 17 nach links: 5−17=−12.
2. ​−12 ist ganz, aber negativ, also nicht in $\mathbb{N}$.
3. Die kleinste Menge ist $\mathbb{Z}$.

Ergebnis: ​0.6=35, die Zahl ist rational.

1. Eine Stelle nach dem Punkt heisst Zehntel: 0.6=610.
2. Kürzen durch 2: 610=35.
3. Ein Bruch, also rational. Die kleinste Menge ist $\mathbb{Q}$.

Ergebnis: ​$\sqrt{64}=8$, die kleinste Menge ist $\mathbb{N}$.

1. Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst 64 gibt: 8·8=64.
2. Also $\sqrt{64}=8$, die Wurzel geht auf.
3. 8 ist positiv und ganz: $\mathbb{N}$.

Ergebnis: Irrational. 2²=4 und 3²=9, die 5 liegt dazwischen und ist keine Quadratzahl.

1. Quadratzahlen in der Nähe: 2·2=4 und 3·3=9.
2. 5 ist keine Quadratzahl, also geht $\sqrt{5}$ nicht auf.
3. ​$\sqrt{5}=2.236\dots$ hat unendlich viele Stellen ohne Periode: irrational, nur in $\mathbb{R}$.

Ergebnis: Ja: −82=−4. Die kleinste Menge ist $\mathbb{Z}$.

1. Kürzen: −8:2=−4.
2. ​−4 ist ganz und negativ.
3. Kleinste Menge: $\mathbb{Z}$.

Ergebnis: ​$0.\overline{8}=\frac{8}{9}$, also ein Bruch und damit rational.

1. Die Periode 8 hat eine Ziffer, also kommt 9 in den Nenner.
2. ​$0.\overline{8}=\frac{8}{9}$
3. Probe: 8 : 9 = 0.888…

Ergebnis: ​411

1. Zwei Ziffern in der Periode: $0.\overline{36}=\frac{36}{99}$.
2. 36 und 99 sind durch 9 teilbar: 3699=411.

Ergebnis: ​$\sqrt[3]{-27}=-3$, die kleinste Menge ist $\mathbb{Z}$.

1. Gesucht ist die Zahl, die dreimal mit sich multipliziert −27 gibt.
2. ​(−3)·(−3)·(−3)=9·(−3)=−27
3. ​−3 ist ganz und negativ: $\mathbb{Z}$.

Ergebnis: Irrational. Mit 3.14 gerechnet ist 3π2≈4.71, aber das ist nur gerundet.

1. ​π ist irrational. Ein Vielfaches oder ein Teil von π bleibt irrational.
2. Näherung: 3·3.14:2=9.42:2=4.71
3. Die genaue Zahl liegt nur in $\mathbb{R}$, der Näherungswert 4.71 dagegen in $\mathbb{Q}$.

Ergebnis: Nein. Die Ziffern 142857 wiederholen sich immer: $0.\overline{142857}=\frac{1}{7}$. Die Zahl ist ein Bruch und damit rational.

1. Schau, ob sich ein Ziffernblock wiederholt: 142857, 142857, …
2. Sechs Ziffern in der Periode: 142857999999, gekürzt durch 142857 gibt das 17.
3. Viele Stellen allein machen eine Zahl nicht irrational. Entscheidend ist, ob eine Periode da ist.

Ergebnis: ​$\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$, also $\mathbb{N}$.

1. Unter eine Wurzel schreiben: $\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}$.
2. ​$\sqrt{36}=6$, die Wurzel geht auf.
3. 6 ist natürlich: $\mathbb{N}$.

Ergebnis: Ja: $\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$, die kleinste Menge ist $\mathbb{Q}$.

1. Ziehe die Wurzel aus Zähler und Nenner einzeln: $\sqrt{9}=3$ und $\sqrt{25}=5$.
2. Also $\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$.
3. Probe: 35·35=925

Ergebnis: Nein: 0.3·0.3=0.09, nicht 0.9. $\sqrt{0.9}$ ist irrational.

1. Probe: 0.3·0.3=0.09. Das ist nicht 0.9.
2. Als Bruch: 0.9=910. Der Zähler 9 ist eine Quadratzahl, der Nenner 10 nicht.
3. Darum geht die Wurzel nicht auf: $\sqrt{0.9}=0.9486\dots$ ist irrational.

Ergebnis: ​$0.\overline{9}=\frac{9}{9}=1$, also $\mathbb{N}$.

1. Mit dem Neuner-Trick: $0.\overline{9}=\frac{9}{9}$.
2. ​99=1
3. Kontrolle: $\frac{1}{3}=0.\overline{3}$, und dreimal das gibt $0.\overline{9}$, aber auch 3·13=1.

Ergebnis: Nein. d²=1²+1²=2, also ist $d=\sqrt{2}$ m ≈1.41 m. Das ist irrational.

1. Pythagoras: d²=1²+1²=2
2. ​$d=\sqrt{2}$ m
3. 2 ist keine Quadratzahl, $\sqrt{2}$ ist irrational. 1.41 m ist nur ein gerundeter Wert.