Fokus Nachhilfe

Potenzen und Potenzgesetze

Eine Potenz schreibt gleiche Faktoren kurz: 2⁵ heisst 2 · 2 · 2 · 2 · 2. Die Potenzgesetze sagen, wie du Potenzen multiplizierst und dividierst, ohne alles auszuschreiben.

1. Sek - 2. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.1.A.4.i

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Das musst du wissen

Erklärung

Eine Potenz ist eine Kurzschrift für gleiche Faktoren: 2⁵=2·2·2·2·2. Die Basis sagt, was multipliziert wird, die Hochzahl, wie oft. Mit den Potenzgesetzen rechnest du, ohne alles auszuschreiben.

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Basis und Hochzahl

Bei 3⁴ ist 3 die Basis und 4 die Hochzahl, auch Exponent genannt. Du liest «drei hoch vier».

3⁴=3·3·3·3=81

Die ganze Rechnung heisst Potenz, ihr Ergebnis Potenzwert.

MerkeDie Hochzahl zählt die Faktoren. Sie ist selbst kein Faktor: 3⁴ ist nicht 3·4.

2 von 6

Quadratzahlen, Kubikzahlen, Zehnerpotenzen

Hoch 2 heisst «»: 4²=16 ist die Fläche eines Quadrats mit Seite 4. Hoch 3 heisst Kubik: 2³=8 ist das eines Würfels mit Kante 2.

Bei Zehnerpotenzen mit positiver Hochzahl zählt die Hochzahl die Nullen: 10³=1000. Negative Hochzahlen kommen weiter unten.

MerkeDie Quadratzahlen bis 12²=144 lohnt es sich auswendig zu kennen.

4 Reihen mit je 4 Erdbeeren: 4 · 4 = 4² = 16, ein Quadrat aus Erdbeeren.

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Minus und Klammern

(−3)²=(−3)·(−3)=9. Die sagt: Die ganze −3 ist die Basis.

−3²=−(3·3)=−9. Ohne Klammer gehört die Hochzahl nur zur 3. Das Minus kommt am Schluss davor.

Eine negative Basis mit gerader Hochzahl gibt ein positives Ergebnis, mit ungerader ein negatives.

MerkeOhne Klammer gilt die Hochzahl nur für die Zahl direkt darunter.

Zahlenstrahl: −3² liegt bei −9, (−3)² liegt bei 9. Die Klammer macht den Unterschied.

4 von 6

Brüche und Dezimalzahlen als Basis

Bei einem gilt die Hochzahl für und :

(\frac{2}{3})^{2} = \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}} = \frac{4}{9}

Bei rechnest du zuerst ohne Punkt: 0.3², also 3·3=9. Jeder Faktor hat eine Stelle nach dem Punkt, zusammen zwei: 0.3²=0.09.

Merke0.3² ist 0.09, nicht 0.9.

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Die Potenzgesetze

Gleiche Basis, mal: Hochzahlen addieren. $a^{3} \cdot a^{4} = a^{3 + 4} = a^{7}$

Gleiche Basis, geteilt: Hochzahlen subtrahieren. $a^{7} : a^{2} = a^{7 - 2} = a^{5}$

Potenz einer Potenz: Hochzahlen multiplizieren. $(a^{3})^{2} = a^{3 \cdot 2} = a^{6}$

Gleiche Hochzahl, mal: Basen multiplizieren. 2³·5³=(2·5)³=10³

MerkeGleiche Basis: mal heisst Hochzahlen plus, geteilt heisst minus. Bei der Klammer hoch rechnest du die Hochzahlen mal.

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Hoch 0 und negative Hochzahlen

2³:2³=2⁰, und gleichzeitig ist 8:8=1. Darum gibt jede Zahl ausser 0 hoch 0 genau 1.

Eine negative Hochzahl heisst : $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ . Die negative Hochzahl macht das Ergebnis nicht negativ. Das bestimmt die Basis: $(- 2)^{- 3} = - \frac{1}{8}$ .

Merkea⁰=1 und $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

Potenzen und Potenzgesetze: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Die Hochzahl zählt die Faktoren. Sie ist selbst kein Faktor: 3^4 ist nicht 3 · 4. Beispiel: Der Würfel hat ein Volumen von 125 cm³. — Merkblatt Potenzen und Potenzgesetze: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕−3²=9, weil minus mal minus plus gibt.
✓Ohne Klammer gehört die Hochzahl nur zur 3: −3²=−(3·3)=−9. Nur (−3)²=9.
✕a³·a⁴=a¹², also die Hochzahlen multipliziert.
✓Bei mal mit gleicher Basis werden die Hochzahlen addiert: a³·a⁴=a⁷. Multipliziert werden sie nur bei der Potenz einer Potenz: (a³)⁴=a¹².
✕2⁵=10, also Basis mal Hochzahl.
✓2⁵ heisst fünf Faktoren 2: 2·2·2·2·2=32.
✕ $2^{- 3} = - 8$ , die negative Hochzahl macht das Ergebnis negativ.
✓Eine negative Hochzahl heisst Kehrwert: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ . Die negative Hochzahl ändert das Vorzeichen nicht.

Begriffe zum Nachschlagen

Potenz: Kurzschrift für gleiche Faktoren, zum Beispiel 5³ für 5·5·5.
Basis: Die Zahl unten. Sie wird mit sich selbst multipliziert.
Hochzahl (Exponent): Die kleine Zahl oben rechts. Sie sagt, wie viele Faktoren es sind.
Potenzwert: Das Ergebnis einer Potenz: Der Potenzwert von 2⁴ ist 16.
Quadratzahl: Eine Zahl hoch 2, zum Beispiel 7²=49.
Kubikzahl: Eine Zahl hoch 3, zum Beispiel 3³=27.
Zehnerpotenz: Eine Potenz mit der Basis 10. Ist die Hochzahl positiv, zählt sie die Nullen: 10³=1000.
Kehrwert: Zähler und Nenner vertauscht: Der Kehrwert von 8 ist 18.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Negative Zahlen Brüche multiplizieren

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Volumen eines Würfels

Ein Junge im Werkraum der Schule hält einen frisch geschliffenen Holzwürfel in der Hand, auf der Werkbank liegen Werkzeuge.

Im Werkunterricht in Aarau sägt Noah einen Holzwürfel mit 5 cm Kantenlänge. Wie gross ist sein Volumen?

Volumen eines Würfels: Kante mal Kante mal Kante, also die Kante hoch 3.V=5³
Schreibe die Potenz als Produkt:5³=5·5·5
Rechne von links nach rechts:5·5=25 25·5=125

Der Würfel hat ein Volumen von 125 .

Beispiel 2Eine Zweierpotenz in einer Geschichte

Kinder flüstern sich auf dem Pausenplatz einer Schule gegenseitig etwas ins Ohr.

Am Montag erzählt Lia in Chur zwei Freundinnen ein Geheimnis. Jeden Tag erzählt jede, die es neu erfahren hat, es zwei anderen weiter. Wie viele erfahren es am fünften Tag neu?

Neue Personen pro Tag: 2, 4, 8, 16, 32. Jede Säule ist doppelt so hoch wie die vorige.

Tag 1: 2 neue. Jeden Tag verdoppelt sich die Zahl der Neuen. $2, 2 \cdot 2, 2 \cdot 2 \cdot 2, \dots$
Am fünften Tag sind es fünf Faktoren 2, also eine Potenz:2⁵=2·2·2·2·2
Ausrechnen:2⁵=32

Am fünften Tag erfahren 32 Personen das Geheimnis neu.

Beispiel 3Mit und ohne Klammer

Berechne (−3)⁴ und −3⁴. Wie gross ist der Unterschied?

Zahlenstrahl: −3⁴ liegt bei −81, (−3)⁴ bei 81. Dazwischen liegen 162.

Mit Klammer ist −3 die Basis. Vier negative Faktoren, eine gerade Anzahl: Das Ergebnis ist positiv.(−3)⁴=(−3)·(−3)·(−3)·(−3)=81
Ohne Klammer gehört die Hochzahl nur zur 3. Das Minus kommt am Schluss davor.−3⁴=−(3·3·3·3)=−81
Unterschied: grössere minus kleinere Zahl.81−(−81)=162

(−3)⁴=81 und −3⁴=−81. Der Unterschied ist 162.

Beispiel 4Potenzgesetze kombinieren

Vereinfache (a³)²·a⁴:a⁵ zu einer einzigen Potenz $a^{n}$ .

Potenz einer Potenz: Hochzahlen multiplizieren. $(a^{3})^{2} = a^{3 \cdot 2} = a^{6}$
Gleiche Basis, mal: Hochzahlen addieren. $a^{6} \cdot a^{4} = a^{6 + 4} = a^{10}$
Gleiche Basis, geteilt: Hochzahlen subtrahieren. $a^{10} : a^{5} = a^{10 - 5} = a^{5}$

(a³)²·a⁴:a⁵=a⁵, also n=5.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Berechne 3².
Lösung zeigen
Ergebnis: 9
3 Reihen mit je 3 Äpfeln: 3² = 9.
1. 3² heisst zwei Faktoren 3.
2. 3·3=9
2
Berechne 2³.
Lösung zeigen
Ergebnis: 8
2 Gruppen mit je 2 · 2 = 4 Keksen: 2 · 2 · 2 = 2³ = 8 Kekse.
1. 2³ heisst drei Faktoren 2.
2. 2·2·2=4·2=8
3
Schreibe 4·4·4 als Potenz und rechne aus.
Lösung zeigen
Ergebnis: 4³=64
1. Drei Faktoren 4: 4³
2. 4·4=16, dann 16·4=64.
4
Berechne 10⁴.
Lösung zeigen
Ergebnis: 10'000
1. Bei Zehnerpotenzen mit positiver Hochzahl zählt die Hochzahl die Nullen.
2. Eine 1 mit 4 Nullen: 10'000.
5
Bestimme n: $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{n}$
Lösung zeigen
Ergebnis: n=7
Jedes Puzzleteil steht für einen Faktor 2: links 3, rechts 4, zusammen 7 Faktoren, also 2⁷.
1. Gleiche Basis, mal: Hochzahlen addieren.
2. 3+4=7, also 2⁷.

6
Berechne (−2)³.
Lösung zeigen
Ergebnis: −8
1. Drei Faktoren −2: (−2)·(−2)·(−2)
2. (−2)·(−2)=4, dann 4·(−2)=−8.
3. Ungerade Anzahl negativer Faktoren: Das Ergebnis ist negativ.
7
Berechne −5².
Lösung zeigen
Ergebnis: −25
1. Keine Klammer: Die Hochzahl gehört nur zur 5.
2. 5²=25, das Minus kommt davor: −25.
8
Berechne 0.4².
Lösung zeigen
Ergebnis: 0.16
1. Ohne Punkt: 4·4=16.
2. Zwei Faktoren mit je einer Stelle nach dem Punkt: zusammen zwei Stellen.
3. 0.4²=0.16
9
Bestimme n: $(a^{4})^{5} = a^{n}$
Lösung zeigen
Ergebnis: n=20
1. Potenz einer Potenz: Hochzahlen multiplizieren.
2. 4·5=20, also a²⁰.
10
Rechne geschickt: 2⁴·5⁴
Lösung zeigen
Ergebnis: (2·5)⁴=10⁴, also 10'000
1. Gleiche Hochzahl: Du darfst die Basen multiplizieren.
2. 2⁴·5⁴=(2·5)⁴=10⁴
3. 10⁴=10'000 ist eine 1 mit vier Nullen.

11
Berechne $(\frac{2}{3})^{3}$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 827
1. Die Hochzahl gilt für Zähler und Nenner: 2³3³
2. 2³=8 und 3³=27
3. Ergebnis 827, lässt sich nicht kürzen.
12
Berechne $4^{- 2}$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 116
1. Negative Hochzahl heisst Kehrwert: $4^{- 2} = \frac{1}{4 ^{2}}$
2. 4²=16, also 116.
13
Bestimme n: $a^{- 2} \cdot a^{5} : a^{- 4} = a^{n}$
Lösung zeigen
Ergebnis: n=7
1. Mal: Hochzahlen addieren, −2+5=3.
2. Geteilt: Hochzahlen subtrahieren, 3−(−4)=7.
3. Also a⁷.
14
Ein Umzugskarton in Thun ist ein Würfel mit 0.5 m Kantenlänge. Wie gross ist sein Volumen?
Lösung zeigen
Ergebnis: 0.125 m³
1. Volumen: 0.5³=0.5·0.5·0.5
2. Ohne Punkt: 5·5·5=125, drei Stellen nach dem Punkt.
3. 0.5³=0.125 m³, also ein Achtel Kubikmeter.
15
Berechne $5^{0} - 5^{- 1}$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: 45
1. 5⁰=1 und $5^{- 1} = \frac{1}{5}$
2. 1−15=55−15=45

Verwechselt dein Kind noch, wann es Hochzahlen addiert und wann multipliziert, übt eine Lehrperson mit ihm die Potenzgesetze an vielen kurzen Aufgaben. Nachhilfe in Mathematik für die 1. und 2. Sek

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Trainer: Potenzen und Potenzgesetze

Unbegrenzt neue Aufgaben zum Ausrechnen von Potenzen und zu den Potenzgesetzen, mit Rückmeldung und Rechenweg. Stufe 1 übt Quadrat-, Kubik- und Zehnerpotenzen, Stufe 2 Minuszeichen, Dezimalzahlen, Variablen und hoch 0 oder hoch 1 (auch bei Brüchen), Stufe 3 Brüche hoch 2 bis 4 und negative Hochzahlen.

21²=

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Geschafft? So geht es weiter

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 1. Sek - 2. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

In der 1. Sek lernst du Potenzen als Kurzschrift für gleiche Faktoren. In der 2. Sek kommen die Potenzgesetze, negative Hochzahlen und die wissenschaftliche Schreibweise dazu.

MA.1.A.4.iGleiche Faktoren kurz als Potenz schreiben und eine Potenz wieder als Produkt ausschreiben, mit Zahlen und mit Variablen.
MA.1.A.1.jPotenzen lesen und schreiben, auch mit negativen Zahlen, Dezimalzahlen und Brüchen als Basis.
MA.1.A.4.mMit den Potenzgesetzen Terme vereinfachen: Hochzahlen addieren, subtrahieren oder multiplizieren, je nach Rechnung.
MA.1.A.1.iDie Wörter Potenz, Basis, Hochzahl und Zehnerpotenz kennen und richtig brauchen.
MA.1.A.3.iPotenzen im Kopf und mit dem Taschenrechner ausrechnen, auch mit negativen Zahlen.
MA.1.A.3.jTerme mit Potenzen umformen und ihren Wert berechnen.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man Potenzen?

Nach Lehrplan 21 gehören Potenzen in den Zyklus 3, meist in die 1. Sek. Die Potenzgesetze und negative Hochzahlen folgen oft in der 2. Sek. Je nach Kanton, Niveau und Lehrmittel kann es etwas früher oder später sein.

Was ist der Unterschied zwischen −3² und (−3)²?

Bei (−3)² ist die ganze −3 die Basis: (−3) · (−3) = 9. Bei −3² gehört die Hochzahl nur zur 3, also −(3 · 3) = −9. Die Klammer entscheidet.

Warum ist eine Zahl hoch 0 gleich 1?

Teilst du eine Potenz durch sich selbst, subtrahierst du die Hochzahlen und bekommst hoch 0, zum Beispiel 2³ : 2³ = 2⁰. Gleichzeitig ist 8 : 8 = 1. Darum gilt: Jede Zahl ausser 0 hoch 0 ist 1.

Darf man Potenzen mit verschiedener Basis zusammenfassen?

Nur bei gleicher Hochzahl: 2³ · 5³ = 10³. Bei 2³ · 3² geht das nicht, dann rechnest du beide aus: 8 · 9 = 72. Für Plus und Minus gibt es kein Potenzgesetz: 2³ + 2³ ist 16, nicht 2⁶.