Fokus Nachhilfe

Quadratwurzel und Wurzel ziehen

Die Quadratwurzel einer Zahl ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert diese Zahl ergibt: √49 = 7, weil 7 · 7 = 49. Wurzelziehen macht das Quadrieren rückgängig.

1. Sek - 3. Sek
Zyklus 3
Lehrplan 21: MA.1.A.1.i

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Das musst du wissen

Erklärung

Die Quadratwurzel macht das Quadrieren rückgängig. Du suchst die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel gibt: $49 = 7$ , weil 7·7=49. Am Schluss machst du die Probe.

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Was die Wurzel ist

Ein Quadrat hat 25 Fläche. Wie lang ist eine Seite? Du suchst die Zahl, die mal sich selbst 25 gibt. Das ist 5, also ist die Seite 5 cm lang.

25 = 5, denn 5^{2} = 25

Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heisst Radikand.

MerkeDie Quadratwurzel ist die Seitenlänge des Quadrats mit dieser Fläche.

Quadrat mit 5 cm Seitenlänge: Seine Fläche ist 5 · 5 = 25 cm², also ist √25 = 5.

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Quadratzahlen kennen

Die Quadratzahlen bis 20·20=400 solltest du auswendig wissen. Dann siehst du viele Wurzeln sofort:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225…

Bei runden Zahlen hilft ein Trick: $3600 = 60$ , denn 60·60=3600.

MerkeZwei Nullen unter der Wurzel geben eine Null im Ergebnis.

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Wurzeln schätzen

Die meisten Wurzeln gehen nicht auf. Dann suchst du die Quadratzahlen direkt darunter und darüber: 49<50<64.

Also liegt $50$ zwischen 7 und 8, ganz nah bei 7. Der Taschenrechner zeigt $50 \approx 7.07$ .

MerkeEingrenzen mit der Quadratzahl darunter und der darüber.

Zahlenstrahl von 6 bis 9: √50 liegt zwischen 7 = √49 und 8 = √64, knapp rechts von der 7.

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Dezimalzahlen und Brüche

Bei einem ziehst du die Wurzel aus und einzeln: $\frac{9}{16} = \frac{3}{4}$ .

Bei einer rechnest du zuerst ohne Punkt: $144 = 12$ , also $1.44 = 1.2$ . Probe: 1.2·1.2=1.44.

MerkeGeht die Wurzel auf, hat das Ergebnis halb so viele Stellen nach dem Punkt.

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Die Kubikwurzel

Die Kubikwurzel, auch dritte Wurzel, sucht die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert die Zahl gibt: $364 = 4$ , denn 4·4·4=64.

Sie ist die Kante eines Würfels mit diesem . Sie geht auch bei : $3 - 8 = - 2$ .

MerkeAus einer negativen Zahl gibt es keine Quadratwurzel, aber eine Kubikwurzel.

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Mit Wurzeln rechnen

Wurzeln darfst du multiplizieren und dividieren, indem du unter einer Wurzel rechnest:

8 \cdot 2 = 16 = 475 : 3 = 25 = 5

Umgekehrt ziehst du eine Wurzel teilweise: $50 = 25 \cdot 2 = 52$ .

MerkeMal und geteilt gehen unter einer Wurzel, plus und minus nicht.

Quadratwurzel und Wurzeln: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Die Quadratwurzel ist die Seitenlänge des Quadrats mit dieser Fläche. Beispiel: √196 = 14. — Merkblatt Quadratwurzel und Wurzeln: Regel und Beispiel Schritt für Schritt.

Häufige Fehler

✕ $16 = 8$ , also die Hälfte nehmen.
✓Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst 16 gibt: 4·4=16, also $16 = 4$ .
✕ $36 + 64 = 6 + 8 = 14$ , also die Wurzel auf beide Summanden verteilen.
✓Zuerst unter der Wurzel rechnen: $36 + 64 = 100 = 10$ . Bei Plus und Minus darfst du die Wurzel nicht aufteilen.
✕ $0.9 = 0.3$
✓0.3·0.3=0.09. Also ist $0.09 = 0.3$ , aber $0.9 \approx 0.95$ .
✕ $327 = 9$ , also durch 3 teilen.
✓Gesucht ist die Zahl, die dreimal mit sich selbst 27 gibt: 3·3·3=27, also $327 = 3$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Quadratzahl: Eine Zahl mal sich selbst, zum Beispiel 9=3·3.
Quadrieren: Eine Zahl mit sich selbst multiplizieren: 7²=49.
Quadratwurzel: Die nicht negative Zahl, die quadriert die Zahl unter der Wurzel gibt: $49 = 7$ .
Radikand: Die Zahl unter dem Wurzelzeichen.
Kubikwurzel: Die Zahl, die hoch 3 die Zahl unter der Wurzel gibt: $3125 = 5$ .
Wurzel teilweise ziehen: Eine Quadratzahl aus der Wurzel herausnehmen: $12 = 23$ .

Noch unsicher? Zuerst lernen:Potenzen und Potenzgesetze

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Wurzel aus einer Quadratzahl

Berechne $196$ .

Grenze ein: 10²=100 und 20²=400. Die Wurzel liegt zwischen 10 und 20.
196 endet auf 6. Eine Quadratzahl endet auf 6, wenn die Zahl auf 4 oder 6 endet. Also kommen 14 und 16 in Frage.
196 liegt näher bei 100 als bei 400. Probiere zuerst 14:14·14=196

$196 = 14$

Beispiel 2Eine Wurzel schätzen

Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt $90$ ? Schätze auf eine Stelle nach dem Punkt.

Zahlenstrahl von 8 bis 11: √90 liegt zwischen 9 = √81 und 10 = √100, ungefähr in der Mitte.

Die Quadratzahlen um 90 sind 81 und 100:81<90<100
Also liegt die Wurzel zwischen den Wurzeln dieser zwei Zahlen: $9 < 90 < 10$
90 liegt ungefähr in der Mitte zwischen 81 und 100. Probiere 9.5:9.5·9.5=90.25
Das ist nur ganz wenig zu viel. Der Taschenrechner zeigt 9.4868 …, gerundet 9.5.

$90$ liegt zwischen 9 und 10, ungefähr bei 9.5, denn 9.5²=90.25.

Beispiel 3Ein Gehege für Kaninchen

Ein Mädchen baut im Garten aus Holzpfosten und Drahtgitter ein Gehege für zwei Kaninchen.

Lara aus Luzern baut für ihre Kaninchen ein quadratisches Gehege mit 6.25 Fläche. Wie lang ist eine Seite? Wie viele Meter Gitter braucht sie rundherum?

Die Fläche eines Quadrats ist Seite mal Seite. Die Seite ist also die Wurzel aus der Fläche: $s = 6.25$
Rechne zuerst ohne Punkt: $625 = 25$ . 6.25 hat zwei Stellen nach dem Punkt, die Wurzel eine: $6.25 = 2.5$
Probe:2.5·2.5=6.25
Das Gitter geht um alle vier Seiten:4·2.5=10

Eine Seite ist 2.5 m lang. Lara braucht 10 m Gitter.

Beispiel 4Eine Wurzel teilweise ziehen

Vereinfache $72$ .

Suche die grösste Quadratzahl, die in 72 aufgeht. 4, 9 und 36 gehen, die grösste ist 36:72=36·2
Teile die Wurzel auf zwei Wurzeln auf: $72 = 36 \cdot 2$
Zieh die Wurzel aus der Quadratzahl. Die $2$ bleibt stehen: $36 \cdot 2 = 62$
Kontrolle mit dem Taschenrechner: 6·1.414≈8.49 und $72 \approx 8.49$ .

$72 = 62$

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
$81$
Lösung zeigen
Ergebnis: 9
Quadrat mit Fläche 81: Seine Seite ist 9 lang, denn 9 · 9 = 81.
1. Welche Zahl mal sich selbst gibt 81?
2. 9·9=81
3. Also ist $81 = 9$ .
2
$144$
Lösung zeigen
Ergebnis: 12
1. Welche Zahl mal sich selbst gibt 144?
2. 12·12=144
3. Also ist $144 = 12$ .
3
$2500$
Lösung zeigen
Ergebnis: 50
1. Lass die zwei Nullen weg: $25 = 5$ .
2. Für die zwei Nullen kommt eine Null ans Ergebnis: 50.
3. Probe: 50·50=2500.
4
Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt $30$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: Zwischen 5 und 6, denn 25<30<36.
Zahlenstrahl von 4 bis 7: √30 liegt zwischen 5 = √25 und 6 = √36.
1. Quadratzahl unter 30: 25=5².
2. Quadratzahl über 30: 36=6².
3. Also liegt $30$ zwischen 5 und 6.
5
Ein Quadrat hat 121 cm² Fläche. Wie lang ist eine Seite?
Lösung zeigen
Ergebnis: 11 cm
Quadrat mit 121 cm² Fläche: Seine Seite ist 11 cm lang.
1. Die Seite ist die Wurzel aus der Fläche: $121$ .
2. 11·11=121
3. Eine Seite ist 11 cm lang.

6
$0.25$
Lösung zeigen
Ergebnis: 0.5
1. Ohne Punkt: $25 = 5$ .
2. 0.25 hat zwei Stellen nach dem Punkt, das Ergebnis eine: 0.5.
3. Probe: 0.5·0.5=0.25.
7
$\frac{49}{64}$
Lösung zeigen
Ergebnis: 78
1. Wurzel aus dem Zähler: $49 = 7$ .
2. Wurzel aus dem Nenner: $64 = 8$ .
3. Ergebnis 78.
8
$3343$
Lösung zeigen
Ergebnis: 7
1. Gesucht ist die Zahl, die dreimal mit sich selbst 343 gibt.
2. 7·7·7=343
3. Also ist $3343 = 7$ .
9
Schätze $200$ auf eine ganze Zahl genau.
Lösung zeigen
Ergebnis: $200 \approx 14$ , denn 14²=196 liegt ganz nah bei 200.
1. 14²=196 und 15²=225.
2. 200 liegt zwischen 196 und 225, viel näher bei 196.
3. Also ist $200 \approx 14$ (genauer 14.14).
10
Ein quadratischer Teppich im Wohnzimmer hat 6.76 m² Fläche. Wie lang ist eine Seite?
Lösung zeigen
Ergebnis: 2.6 m
1. Die Seite ist $6.76$ .
2. Ohne Punkt: $676 = 26$ , denn 26·26=676.
3. Eine Stelle nach dem Punkt: Die Seite ist 2.6 m lang.

11
$8 \cdot 18$
Lösung zeigen
Ergebnis: 12
1. Unter einer Wurzel multiplizieren: $8 \cdot 18 = 144$ .
2. $144 = 12$
12
$98 : 2$
Lösung zeigen
Ergebnis: 7
1. Unter einer Wurzel dividieren: $98 : 2 = 49$ .
2. $49 = 7$
13
Vereinfache $48$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $48 = 43$
1. Grösste Quadratzahl, die in 48 aufgeht: 16, denn 48=16·3.
2. $48 = 16 \cdot 3$
3. $16 = 4$ , also $43$ .
14
$3 - 216$
Lösung zeigen
Ergebnis: −6
1. Ohne Vorzeichen: 6·6·6=216.
2. Eine negative Zahl hoch 3 bleibt negativ: (−6)·(−6)·(−6)=−216.
3. Also ist $3 - 216 = - 6$ .
15
$3 0.008$
Lösung zeigen
Ergebnis: 0.2
1. Ohne Punkt: $38 = 2$ .
2. 0.008 hat drei Stellen nach dem Punkt, die Kubikwurzel einen Drittel davon, also eine.
3. Probe: 0.2·0.2·0.2=0.008.

Rät dein Kind bei Wurzeln noch oder teilt einfach durch 2, übt eine Lehrperson mit ihm Quadratzahlen und das Schätzen, bis es sicher sitzt. Mathematik-Nachhilfe für die 1. bis 3. Sek

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Üben ohne Ende

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Unbegrenzt neue Aufgaben, mit Rückmeldung und Rechenweg. Stufe 1 übt Quadratzahlen und Schätzen, Stufe 2 Dezimalzahlen, Brüche und Kubikwurzeln, Stufe 3 die Wurzelgesetze.

√1=

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

Mit dem Rechner kontrollieren

Wurzel-Rechner

Quadrat-, Kubik- und n-te Wurzel

Wurzel√50≈7.0711

vereinfacht√50=5 · √2

Rechenweg

50 liegt zwischen 7 · 7 = 49 und 8 · 8 = 64. Also liegt die Wurzel zwischen 7 und 8.
7<√50<8
Teilweise Wurzel ziehen: 50 = 25 · 2, und √25 = 5.
√50=√(25 · 2)=5 · √2
Die Wurzel geht nicht auf. Mit dem Taschenrechner, auf vier Stellen gerundet:
√50≈7.0711

Beispiele

Zum Wurzel-Rechner mit Anleitung →

Geschafft? So geht es weiter

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Nächstes ThemaSatz des PythagorasIm rechtwinkligen Dreieck ergeben die Quadrate der zwei kurzen Seiten zusammen das Quadrat der längsten Seite: a² + b² = c². Damit berechnest du eine fehlende Seite, wenn du die beiden anderen kennst.2. Sek

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 1. Sek - 3. Sek
Zyklus: Zyklus 3
Fach: Mathematik

Quadratwurzeln kommen meist in der 1. oder 2. Sek, kurz vor dem Satz des Pythagoras. Kubikwurzeln und das Rechnen mit Wurzeln folgen in der 2. und 3. Sek, vor allem im höheren Niveau.

MA.1.A.1.iWissen, was Quadrat und Quadratwurzel bedeuten, das Wurzelzeichen lesen und schreiben und Wurzeln aus Quadratzahlen nennen.
MA.1.A.3.iQuadrat- und Kubikwurzeln im Kopf, durch Eingrenzen oder mit dem Taschenrechner bestimmen.
MA.1.A.3.jRechnungen mit Quadratwurzeln vereinfachen: Wurzeln zusammen multiplizieren oder dividieren und eine Wurzel teilweise ziehen.
MA.1.A.1.kDie Kubikwurzel als dritte Wurzel kennen und von der Quadratwurzel unterscheiden.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man Wurzeln ziehen?

Nach Lehrplan 21 gehören Wurzeln in den Zyklus 3. Quadratwurzeln kommen meist in der 1. oder 2. Sek, Kubikwurzeln und das Rechnen mit Wurzeln später, vor allem im höheren Niveau. Je nach Kanton und Lehrmittel kann es ein Semester früher oder später sein.

Darf man Wurzeln mit dem Taschenrechner ausrechnen?

Für Wurzeln, die nicht aufgehen, ja: Die rechnest du mit dem Taschenrechner und rundest. Die Wurzeln aus den Quadratzahlen bis 400 und das Eingrenzen zwischen zwei ganzen Zahlen solltest du aber im Kopf können.

Gibt es eine Wurzel aus einer negativen Zahl?

Eine Quadratwurzel nicht, denn jede Zahl mal sich selbst ist positiv oder null. Eine Kubikwurzel schon: $3 - 27 = - 3$ , weil (−3)·(−3)·(−3)=−27.

Ist die Wurzel aus 9 gleich 3 oder −3?

Das Wurzelzeichen meint nie die negative Zahl, also $9 = 3$ . Zwar gibt auch (−3)·(−3) die Zahl 9, aber das Wurzelzeichen steht nur für die positive Lösung. Darum hat erst eine Gleichung wie x²=9 zwei Lösungen: 3 und −3.