Trigonometrie

Trigonometrie verbindet Winkel und Seitenlängen im Dreieck. Hier findest du alles von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck über Sinus- und Kosinussatz bis zum Einheitskreis und den trigonometrischen Funktionen.

3. Sek - 2. Jahr Gymnasium

Themen

1.–3. SekGymnasium

1.–3. Sek

Sinus, Kosinus und Tangens3. Sek - 1. Jahr Gymnasium

Gymnasium

Sinus, Kosinus und Tangens3. Sek - 1. Jahr Gymnasium

Sinussatz1. Jahr Gymnasium

Kosinussatz1. Jahr Gymnasium

Einheitskreis und Bogenmass1. Jahr Gymnasium

Sinusfunktion und Winkelfunktionen1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium · folgt

Das Wichtigste in Kürze

Die Trigonometrie berechnet in Dreiecken fehlende Seiten und Winkel. Im rechtwinkligen Dreieck hängen die Seitenverhältnisse nur vom Winkel ab, und diese Verhältnisse heissen Sinus, Kosinus und Tangens. Damit beginnst du meist in der 3. Sek oder im 1. Gymnasium; danach kommen beliebige Dreiecke und die Winkelfunktionen am Einheitskreis.

Rechtwinklige Dreiecke

Vom Winkel α aus gesehen liegt eine Kathete gegenüber (Gegenkathete) und eine an ihm (Ankathete), die längste Seite ist die Hypotenuse. Dann gilt $sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ , $cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ und $tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ . Kennst du einen Winkel und eine Seite, findest du jede andere Seite.

Beliebige Dreiecke

Fehlt der rechte Winkel, helfen zwei Sätze:

Sinussatz: $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$ , wenn du eine Seite und den gegenüberliegenden Winkel kennst.
Kosinussatz: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ , wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen oder alle drei Seiten kennst. Für γ=90° wird er zum Satz des Pythagoras.

Vom Dreieck zur Funktion

Am Einheitskreis, einem Kreis mit Radius 1, sind Sinus und Kosinus die Koordinaten eines Punkts auf dem Kreis. So bekommen auch Winkel über 90° und negative Winkel einen Sinus. Misst du den Winkel im Bogenmass (180°=π), entstehen die Sinus- und Kosinuskurve, die sich alle 2π wiederholen.

Für die Aufnahmeprüfung ins Gymnasium: Gymiprüfungen der letzten Jahre mit Lösungen

Trigonometrie-Rechner

Sinus, Kosinus, Tangens im Dreieck

Seitena=5 cm,b≈8.6603 cm,c=10 cm

Winkelα=30°,β=60°,γ=90°

FlächeA≈21.6506 cm²

Rechenweg

sin α = Gegenkathete : Hypotenuse, also a = c · sin α.
a=10·sin 30°=5 cm
cos α = Ankathete : Hypotenuse, also b = c · cos α.
b=10·cos 30°≈8.6603 cm
Der rechte Winkel hat 90°, zusammen sind es 180°: β = 90° − α.
β=90°−30°=60°
Die Katheten stehen senkrecht aufeinander, darum ist die Fläche a · b : 2.
A=5·8.6603:2≈21.6506 cm²

Beispiele

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