Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Sinus, Kosinus und Tangens sind Verhältnisse zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck, die nur vom Winkel abhängen. Mit ihnen berechnest du aus einem Winkel und einer Seite die anderen Seiten oder aus zwei Seiten die Winkel.

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3. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Zyklus 3, Gymnasium
Lehrplan 21: MA.2.A.3.k

Zwei Jugendliche auf einem Bergweg in den Alpen, eine zeigt hinauf zu einem steilen Felsgipfel.

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Das musst du wissen

Erklärung

Sinus, Kosinus und Tangens sind Seitenverhältnisse im . Sie hängen nur vom Winkel ab, nicht von der Grösse des Dreiecks. Damit berechnest du aus einem Winkel und einer Seite die anderen Seiten und aus zwei Seiten die Winkel.

Die Seiten vom Winkel aus

Du schaust von einem spitzen Winkel aus, hier α. Die liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Gegenkathete liegt α gegenüber. Die Ankathete liegt an α an.

Liegt der rechte Winkel bei C, ist für α die Seite a die Gegenkathete, b die Ankathete und c die Hypotenuse.

MerkeWechselst du den Winkel, tauschen Gegenkathete und Ankathete. Die Hypotenuse bleibt.

Rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C und dem Winkel α bei A. Von α aus ist a = 3 die Gegenkathete, b = 4 die Ankathete und c = 5 die Hypotenuse.

Die drei Verhältnisse

sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}

cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

Im Dreieck oben ist $sin α = \frac{3}{5} = 0.6$ , $cos α = \frac{4}{5} = 0.8$ und $tan α = \frac{3}{4} = 0.75$ .

MerkeEselsbrücke «GAGA Hühnerhof AG»: Sinus ist G durch H, Kosinus A durch H, Tangens G durch A.

Warum nur der Winkel zählt

Zwei rechtwinklige Dreiecke mit demselben Winkel α sind ähnlich: Das eine ist eine Vergrösserung des anderen. Darum haben ihre Seiten dieselben Verhältnisse.

Im Dreieck mit 3, 4 und 5 ist $sin α = \frac{3}{5}$ . Im doppelt so grossen Dreieck mit 6, 8 und 10 ist $sin α = \frac{6}{10}$ , also wieder 0.6. Der Taschenrechner kennt diese Werte für jeden Winkel.

Eine Seite berechnen

Schreib die passende Formel auf und setze ein. Steht die gesuchte Seite oben im Bruch, multiplizierst du. Steht sie unten, teilst du.

Mit c=10 cm und α=30° ist $a = c \cdot sin α = 10 \cdot 0.5 = 5$ cm. Umgekehrt: Mit a=5 cm ist $c = a : sin α = 5 : 0.5 = 10$ cm.

MerkeGesuchte Seite im Zähler: mal. Gesuchte Seite im Nenner: geteilt.

Rechtwinkliges Dreieck mit α = 30° bei A und dem rechten Winkel bei C. Die Hypotenuse c ist 10 cm lang, die Gegenkathete a ist 5 cm lang.

Einen Winkel berechnen

Kennst du zwei Seiten, rechnest du zuerst ihr Verhältnis aus. Den Winkel dazu gibt die Umkehrtaste $sin^{- 1}$ , $cos^{- 1}$ oder $tan^{- 1}$ , meist über SHIFT oder 2nd.

Mit a=3 und b=4 ist $tan α = 0.75$ . Der Taschenrechner gibt $tan^{- 1} (0.75) \approx 36.8 7^{\circ}$ .

MerkeStell den Taschenrechner auf DEG (Grad), nicht auf RAD.

Rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 3 und b = 4. Der Winkel α bei A ist etwa 36.87°.

Werte, die du kennen solltest

Einige Werte sind exakt: $sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $tan 4 5^{\circ} = 1$ , $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ und $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ .

Sinus und Kosinus liegen zwischen 0 und 1, weil die Hypotenuse die längste Seite ist. Es gilt $sin α = cos β$ , denn die Gegenkathete von α ist die Ankathete von β. Mit Pythagoras folgt $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .

Sinus, Kosinus und Tangens: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Wechselst du den Winkel, tauschen Gegenkathete und Ankathete. Die Hypotenuse bleibt. Beispiel: = 5/13, = 12/13 und = 5/12. — Merkblatt Sinus, Kosinus und Tangens: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕Der Taschenrechner zeigt $sin 30 \approx - 0.988$ , und man rechnet damit weiter.
✓Er steht auf RAD (). Stell ihn auf DEG, dann ist $sin 3 0^{\circ} = 0.5$ .
✕Rechter Winkel bei C, gesucht a mit β: $a = c \cdot sin β$ .
✓Von β aus ist a die Ankathete. Richtig ist $a = c \cdot cos β$ .
✕ $sin α = \frac{a}{c}$ , also $c = a \cdot sin α$ .
✓c steht im Nenner, darum teilst du: $c = a : sin α$ . Kontrolle: Die Hypotenuse muss die längste Seite sein.
✕Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse in einem Dreieck ohne rechten Winkel verwenden.
✓Die Verhältnisse gelten nur im rechtwinkligen Dreieck. Sonst brauchst du den oder den Kosinussatz, oder du zerlegst das Dreieck mit einer Höhe.

Begriffe zum Nachschlagen

Hypotenuse: Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Gegenkathete: Die Kathete, die dem betrachteten Winkel gegenüberliegt.
Ankathete: Die Kathete, die am betrachteten Winkel anliegt.
Sinus: Gegenkathete durch Hypotenuse, geschrieben $sin α$ .
Kosinus: Ankathete durch Hypotenuse, geschrieben $cos α$ . Oft auch Cosinus geschrieben.
Tangens: Gegenkathete durch Ankathete, geschrieben $tan α$ .
Umkehrtaste: Die Taste $sin^{- 1}$ , $cos^{- 1}$ oder $tan^{- 1}$ auf dem Taschenrechner. Sie macht aus einem Verhältnis wieder den Winkel.
Bogenmass: Ein Winkel, gemessen als Länge des Bogens am Kreis mit Radius 1. Ein halber Kreis ist π, also 180°=π.
Sinussatz: In jedem Dreieck gibt jede Seite geteilt durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels dieselbe Zahl: $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$ .

Noch unsicher? Zuerst lernen:Satz des Pythagoras Ähnlichkeit, Kongruenz und Satz des Thales

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Die drei Verhältnisse aufstellen

Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei C. Es ist a=5 cm, b=12 cm und c=13 cm. Berechne $sin α$ , $cos α$ und $tan α$ .

Rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C: Gegenkathete a = 5 cm, Ankathete b = 12 cm, Hypotenuse c = 13 cm.

Lösung Schritt für Schritt

Vom Winkel α bei A aus ist a die Gegenkathete, b die Ankathete und c die Hypotenuse.
Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse: $sin α = \frac{5}{13} \approx 0.3846$
Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse: $cos α = \frac{12}{13} \approx 0.9231$
Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete: $tan α = \frac{5}{12} \approx 0.4167$

$sin α = \frac{5}{13}$ , $cos α = \frac{12}{13}$ und $tan α = \frac{5}{12}$

Beispiel 2Zwei Seiten aus Winkel und Hypotenuse

Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei C. Es ist c=25 cm und α=40°. Berechne die a und b.

Rechtwinkliges Dreieck mit α = 40° bei A und der Hypotenuse c = 25 cm. Gesucht sind die Katheten a und b.

Lösung Schritt für Schritt

a ist die Gegenkathete von α, c die Hypotenuse. Das passt zum Sinus: $sin 4 0^{\circ} = \frac{a}{25}$
Mal 25 rechnen, damit a allein steht: $a = 25 \cdot sin 4 0^{\circ} \approx 25 \cdot 0.6428 = 16.07$
b ist die Ankathete. Das passt zum Kosinus: $b = 25 \cdot cos 4 0^{\circ} \approx 25 \cdot 0.7660 = 19.15$
Kontrolle mit Pythagoras:16.07²+19.15²≈625=25²

a≈16.07 cm und b≈19.15 cm

Beispiel 3Wie hoch ist der Kirchturm?

Ein Mädchen steht auf einer grünen Wiese und schaut zur Spitze eines hohen Dorfkirchturms hinauf.

Lina steht auf einer Wiese im Emmental, 50 m vom Kirchturm entfernt. Sie peilt die Turmspitze unter einem Winkel von 35° zur Waagrechten an. Ihre Augen sind 1.5 m über dem Boden. Wie hoch ist der Turm?

Lösung Schritt für Schritt

Mach eine Skizze. Der Abstand von 50 m ist die Ankathete des Winkels 35°, die Höhe h über Linas Augen die Gegenkathete.
Gegenkathete und Ankathete: Das ist der Tangens. $tan 3 5^{\circ} = \frac{h}{50}$
Nach h auflösen: $h = 50 \cdot tan 3 5^{\circ} \approx 50 \cdot 0.7002 = 35.01$
Die Augenhöhe kommt dazu:35.01+1.5=36.51

Der Turm ist etwa 36.51 m hoch, also rund 36.5 m.

Beispiel 4Wie steil ist die Passstrasse?

Ein Jugendlicher fährt mit dem Velo eine kurvige Passstrasse in den Alpen hinauf, daneben weiden Kühe.

Eine Passstrasse steigt auf 400 m waagrechter Strecke um 36 m. Welchen Winkel bildet sie mit der Waagrechten?

Lösung Schritt für Schritt

Die Höhe von 36 m ist die Gegenkathete, die waagrechte Strecke von 400 m die Ankathete.
Gegenkathete durch Ankathete ist der Tangens: $tan α = \frac{36}{400} = 0.09$
Mit der Umkehrtaste den Winkel bestimmen: $α = tan^{- 1} (0.09) \approx 5.1 4^{\circ}$
Auf dem Strassenschild steht dafür 9 % : Das ist $tan α \cdot 100$ , nicht der Winkel.

$tan α = 0.09$ , die Strasse steigt also unter etwa 5.14°.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Rechter Winkel bei C, a=3, b=4, c=5. Berechne $sin α$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $sin α = \frac{3}{5} = 0.6$
Dreieck mit dem rechten Winkel bei C: Gegenkathete a = 3, Hypotenuse c = 5, also sin α = 3/5.
1. a ist die Gegenkathete von α, c die Hypotenuse.
2. $sin α = \frac{3}{5} = 0.6$
2
Rechter Winkel bei C, a=8, b=15, c=17. Berechne $cos α$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $cos α = \frac{15}{17} \approx 0.8824$
Dreieck mit dem rechten Winkel bei C: Ankathete b = 15, Hypotenuse c = 17, also cos α = 15/17.
1. b ist die Ankathete von α, c die Hypotenuse.
2. $cos α = \frac{15}{17} \approx 0.8824$
3
Rechter Winkel bei C, a=7, b=24, c=25. Berechne $tan α$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $tan α = \frac{7}{24} \approx 0.2917$
Flaches Dreieck mit dem rechten Winkel bei C: Gegenkathete a = 7, Ankathete b = 24, also tan α = 7/24.
1. a ist die Gegenkathete, b die Ankathete von α.
2. $tan α = \frac{7}{24} \approx 0.2917$
4
Rechter Winkel bei C, a=9, b=12, c=15. Berechne $sin β$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $sin β = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$
Dreieck mit dem rechten Winkel bei C und dem Winkel β bei B. Von β aus ist b = 12 die Gegenkathete, c = 15 die Hypotenuse.
1. Der Winkel β liegt bei B. Von dort aus ist b die Gegenkathete.
2. $sin β = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$
5
Rechter Winkel bei C, c=12 cm und α=30°. Berechne a.
Lösung zeigen
Ergebnis: a=6 cm
1. a ist die Gegenkathete, c die Hypotenuse: Das ist der Sinus.
2. $a = 12 \cdot sin 3 0^{\circ} = 12 \cdot 0.5 = 6$ cm

6
Rechter Winkel bei C, c=25 m und α=55°. Berechne b.
Lösung zeigen
Ergebnis: b≈14.34 m
1. b ist die Ankathete von α: Das ist der Kosinus.
2. $b = 25 \cdot cos 5 5^{\circ} \approx 25 \cdot 0.5736 = 14.34$ m
7
Rechter Winkel bei C, b=20 cm und α=20°. Berechne a.
Lösung zeigen
Ergebnis: a≈7.28 cm
1. a ist die Gegenkathete, b die Ankathete: Das ist der Tangens.
2. $tan 2 0^{\circ} = \frac{a}{20}$
3. $a = 20 \cdot tan 2 0^{\circ} \approx 20 \cdot 0.3640 = 7.28$ cm
8
Rechter Winkel bei C, a=6 cm und α=30°. Berechne die Hypotenuse c.
Lösung zeigen
Ergebnis: c=12 cm
1. $sin 3 0^{\circ} = \frac{6}{c}$
2. c steht im Nenner, also teilen: $c = 6 : sin 3 0^{\circ} = 6 : 0.5 = 12$ cm
3. Kontrolle: Die Hypotenuse ist länger als a.
9
Rechter Winkel bei C, a=4 cm und c=8 cm. Wie gross ist α?
Lösung zeigen
Ergebnis: $sin α = 0.5$ , also α=30°
1. Gegenkathete durch Hypotenuse: $sin α = \frac{4}{8} = 0.5$
2. $α = sin^{- 1} (0.5) = 3 0^{\circ}$
10
Rechter Winkel bei C, a=9 m und b=12 m. Wie gross ist α?
Lösung zeigen
Ergebnis: $tan α = 0.75$ , also α≈36.87°
1. Gegenkathete durch Ankathete: $tan α = \frac{9}{12} = 0.75$
2. $α = tan^{- 1} (0.75) \approx 36.8 7^{\circ}$

11
Ein Drachen hängt an einer 100 m langen, straff gespannten Schnur. Die Schnur bildet mit der Waagrechten einen Winkel von 65°. Deine Hand hält die Schnur 1.2 m über dem Boden. Wie hoch über dem Boden fliegt der Drachen?
Lösung zeigen
Ergebnis: etwa 91.83 m
1. Die Schnur ist die Hypotenuse, die Höhe über deiner Hand die Gegenkathete des Winkels 65°.
2. $h = 100 \cdot sin 6 5^{\circ} \approx 100 \cdot 0.9063 = 90.63$ m über der Hand
3. Die Höhe der Hand dazuzählen: 90.63+1.2=91.83 m
12
Ein gleichschenkliges Dreieck hat Schenkel von 10 cm und von 50°. Wie lang ist die Höhe auf die Basis?
Lösung zeigen
Ergebnis: h≈7.66 cm
1. Die Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Darin ist der Schenkel die Hypotenuse.
2. Die Höhe liegt dem Basiswinkel gegenüber: $h = 10 \cdot sin 5 0^{\circ} \approx 10 \cdot 0.7660 = 7.66$ cm
13
Eine Rampe ist 5 m lang und führt 0.4 m hoch. Welchen Winkel bildet sie mit dem Boden?
Lösung zeigen
Ergebnis: $sin α = 0.08$ , also α≈4.59°
1. Die Rampe ist die Hypotenuse, die Höhe die Gegenkathete.
2. $sin α = 0.4 : 5 = 0.08$
3. $α = sin^{- 1} (0.08) \approx 4.5 9^{\circ}$
14
Rechter Winkel bei C, c=14 cm und β=60°. Berechne a.
Lösung zeigen
Ergebnis: a=7 cm
1. Vom Winkel β bei B aus ist a die Ankathete.
2. $a = 14 \cdot cos 6 0^{\circ} = 14 \cdot 0.5 = 7$ cm
15
Von einem spitzen Winkel weisst du: $sin α = 0.6$ . Berechne $cos α$ , ohne den Winkel auszurechnen.
Lösung zeigen
Ergebnis: $cos^{2} α = 0.64$ , also $cos α = 0.8$
1. Es gilt $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
2. $cos^{2} α = 1 - 0. 6^{2} = 1 - 0.36 = 0.64$
3. $cos α = 0.64 = 0.8$

Verwechselt dein Kind Gegenkathete und Ankathete oder stellt die Formel falsch um, übt eine Lehrperson Schritt für Schritt mit ihm. Nachhilfe in Mathematik für die Sek und das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Sinus, Kosinus und Tangens

So funktioniert der Trainer

Fragen zu Seitennamen, Formeln und Winkeln, mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt die Begriffe, Stufe 2 die Verhältnisse mit Zahlen, Stufe 3 die Fallen wie den Winkel β und den RAD-Modus.

Welches Verhältnis ist der Tangens von α?

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Mit dem Rechner kontrollieren

Trigonometrie-Rechner

Sinus, Kosinus, Tangens im Dreieck

Seitena=5 cm,b≈8.6603 cm,c=10 cm

Winkelα=30°,β=60°,γ=90°

FlächeA≈21.6506 cm²

Rechenweg

sin α = Gegenkathete : Hypotenuse, also a = c · sin α.
a=10·sin 30°=5 cm
cos α = Ankathete : Hypotenuse, also b = c · cos α.
b=10·cos 30°≈8.6603 cm
Der rechte Winkel hat 90°, zusammen sind es 180°: β = 90° − α.
β=90°−30°=60°
Die Katheten stehen senkrecht aufeinander, darum ist die Fläche a · b : 2.
A=5·8.6603:2≈21.6506 cm²

Beispiele

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Für Eltern und Lehrpersonen

Lehrplan 21

Typische Klasse: 3. Sek - 1. Jahr Gymnasium
Stufe: Zyklus 3, Gymnasium
Fach: Mathematik

Meist im 1. Jahr Gymnasium oder in der 3. Sek im höheren Niveau, nach dem Satz des Pythagoras und der Ähnlichkeit. Danach folgen Sinussatz, Kosinussatz und der Einheitskreis.

MA.2.A.3.kIn ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken gleiche Seitenverhältnisse erkennen und damit fehlende Längen berechnen; Sinus, Kosinus und Tangens sind genau solche Verhältnisse.
MA.2.A.1.lDie Fachwörter Hypotenuse und Kathete kennen und die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks richtig benennen.
MA.2.A.3.hFehlende Seiten im rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras berechnen, etwa als Kontrolle eines Ergebnisses mit Sinus oder Kosinus.

Codes nach dem Lehrplan 21 der Deutschschweiz, Umschreibung in eigenen Worten. Wann genau das Thema drankommt, legt das Lehrmittel der Schule fest. Alle Themen nach Lehrplan 21

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man Sinus, Kosinus und Tangens?

Meist im 1. Jahr Gymnasium. Manche Sekundarschulen behandeln sie in der 3. Sek im höheren Niveau. Der Lehrplan 21 verlangt sie nicht ausdrücklich, darum hängt es von Schule und Kanton ab.

Was bedeutet GAGA HHAA?

Das ist eine Eselsbrücke, oft gelesen als «GAGA Hühnerhof AG». Oben stehen G, A, G, unten H, H, A: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus Ankathete durch Hypotenuse, Tangens Gegenkathete durch Ankathete.

Warum zeigt mein Taschenrechner falsche Werte?

Meist steht er auf RAD (Bogenmass) statt DEG (Grad). Dann gibt sin 30 etwa −0.988 statt 0.5. Stell den Modus auf DEG, bevor du mit Winkeln in Grad rechnest.

Gelten Sinus, Kosinus und Tangens auch in Dreiecken ohne rechten Winkel?

Als Seitenverhältnisse nur im rechtwinkligen Dreieck. In anderen Dreiecken rechnest du mit dem Sinussatz und dem Kosinussatz, oder du teilst das Dreieck mit einer Höhe in zwei rechtwinklige.