Einheitskreis und Bogenmass

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Zu jedem Winkel gehört ein Punkt darauf, und seine Koordinaten sind Kosinus und Sinus. So bekommen auch Winkel über 90° einen Sinus, und Winkel lassen sich im Bogenmass messen.

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1. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Kinder und Jugendliche winken aus den Gondeln eines Riesenrads auf einem Herbstmarkt in einer Altstadt, davor spazieren Familien.

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Das musst du wissen

Erklärung

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, sein Mittelpunkt liegt im Ursprung. Zu jedem Winkel α gehört ein Punkt auf dem Kreis mit den Koordinaten $(cos α ∣ sin α)$ . Daraus liest du Werte und ab, und mit dem Bogenmass misst du Winkel als Länge.

So ist der Einheitskreis aufgebaut

Der Winkel α beginnt an der positiven x-Achse und dreht sich gegen den . Wo sein zweiter Schenkel den Kreis trifft, liegt der Punkt P.

Von P fällst du ein Lot auf die x-Achse. So entsteht ein mit der 1.

Einheitskreis mit Radius 1 und dem Winkel 60°: Der Punkt auf dem Kreis liegt 0.5 nach rechts, das ist cos 60°. Nach oben liegt er etwa 0.87 hoch, das ist sin 60°.

Sinus und Kosinus als Koordinaten

Im Dreieck ist $sin α = \frac{Gegenkathete}{1}$ und $cos α = \frac{Ankathete}{1}$ . Die Höhe von P ist also $sin α$ , der Abstand nach rechts $cos α$ .

Weil P auf dem Kreis liegt, gilt nach Pythagoras $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .

Merke $P (cos α ∣ sin α)$ : zuerst nach rechts, dann nach oben.

Vorzeichen in den vier Quadranten

Die Achsen teilen den Kreis in vier . Die Vorzeichen von x und y sind die Vorzeichen von Kosinus und Sinus.

Quadrant	Winkel	$cos α$	$sin α$
I	0° bis 90°	+	+
II	90° bis 180°	−	+
III	180° bis 270°	−	−
IV	270° bis 360°	+	−

Einheitskreis mit dem Winkel 150°: Der Punkt liegt im II. Quadranten links oben. Die Strecke für cos α zeigt nach links, also ist cos 150° negativ, sin 150° ist positiv.

Grosse Winkel auf spitze zurückführen

Spiegelst du einen Punkt an einer Achse, ändert sich ein Vorzeichen. Drehst du ihn um 180° um den Ursprung, ändern sich beide. Darum gilt:

$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$
$sin (18 0^{\circ} + α) = - sin α$ , $cos (18 0^{\circ} + α) = - cos α$
$sin (36 0^{\circ} - α) = - sin α$ , $cos (36 0^{\circ} - α) = cos α$

Nach 360° wiederholt sich alles. Ein negativer Winkel dreht im Uhrzeigersinn.

MerkeErst den spitzen Winkel suchen, dann das Vorzeichen aus dem Quadranten nehmen.

Tangens am Einheitskreis

Es gilt $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ . Am Kreis siehst du ihn an der senkrechten Tangente bei x=1: Verlängerst du den Schenkel zu einer Geraden durch den Ursprung, trifft sie die Tangente in der Höhe $tan α$ .

Bei 90° und 270° ist $cos α = 0$ , dort gibt es keinen . Positiv ist er im I. und III. Quadranten.

Bogenmass: Winkel als Länge

Im Bogenmass misst du einen Winkel als Länge des Bogens am Einheitskreis. Der ganze Umfang ist 2π, also ist 360°=2π und 180°=π. Die Einheit heisst Radiant (rad).

Umrechnen: x=α·π180° und α=x·180°π. Am Kreis mit Radius r ist der Bogen b=r·x.

Merke180°=π. Taschenrechner: DEG für Grad, RAD für Bogenmass.

Einheitskreis und Bogenmass: Übersicht mit Tabelle Vorzeichen in den vier Quadranten; Sinus und Kosinus als Koordinaten; Grosse Winkel auf spitze zurückführen. — Einheitskreis und Bogenmass auf einen Blick: Vorzeichen in den vier Quadranten als Tabelle und die wichtigsten Regeln.

Häufige Fehler

✕ $cos 12 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
✓120° liegt im II. Quadranten, dort ist der Kosinus negativ: $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
✕60° ins Bogenmass: 60·180π≈3438
✓Grad mal π180: 60°=60·π180=π3≈1.05.
✕Der Taschenrechner zeigt $sin 30 \approx - 0.988$ , also stimmt die Tabelle nicht.
✓Er steht auf RAD und rechnet mit 30 Radiant. Auf DEG umstellen, dann ist $sin 3 0^{\circ} = 0.5$ .
✕ $tan 9 0^{\circ} = 1$
✓Bei 90° ist $cos 9 0^{\circ} = 0$ . Durch 0 teilt man nicht: $tan 9 0^{\circ}$ gibt es nicht.

Begriffe zum Nachschlagen

Einheitskreis: Kreis mit Radius 1 um den Ursprung (0|0).
Quadrant: Eines der vier Felder, in die x-Achse und y-Achse die Ebene teilen. Gezählt wird gegen den Uhrzeigersinn, I liegt rechts oben.
Bogenmass: Ein Winkel, gemessen als Länge des Bogens am Einheitskreis. 180°=π.
Radiant: Die Einheit im Bogenmass, kurz rad. 1 rad≈57.3°.
Tangente: Eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Sinus, Kosinus und Tangens Koordinatensystem Kreis: Umfang und Fläche

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Grad ins Bogenmass umrechnen

Rechne 135° ins Bogenmass um.

Lösung Schritt für Schritt

Multipliziere mit π180°.135°·π180°=135180 π
Kürze den Bruch durch 45.135180=34
Als Dezimalzahl zur Kontrolle:34π≈2.36

135°=34π=3π4≈2.36

Beispiel 2Einen Wert am Einheitskreis ablesen

Bestimme $cos 24 0^{\circ}$ ohne Taschenrechner.

Einheitskreis mit dem Winkel 240°: Der Punkt liegt im III. Quadranten links unten. Er liegt 0.5 links der y-Achse, also ist cos 240° negativ.

Lösung Schritt für Schritt

240° liegt 60° hinter 180°, also im III. Quadranten.240°=180°+60°
Im III. Quadranten ist der Kosinus negativ. $cos 24 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ}$
Den Wert für 60° kennst du: $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

$cos 24 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

Beispiel 3Gondel im Riesenrad

Eine Familie sitzt in einer Gondel des Riesenrads und schaut auf die Altstadt hinunter.

Ein Riesenrad an der Herbstmesse hat einen Radius von 20 m. Eine Gondel startet auf der Höhe der Achse ganz rechts und dreht sich gegen den Uhrzeigersinn um 150°. Wie hoch über der Achse ist sie jetzt, und welchen Weg hat sie zurückgelegt?

Lösung Schritt für Schritt

Das Riesenrad ist ein Kreis mit r=20 m. Die Höhe über der Achse ist $r \cdot sin α$ . $h = 20 \cdot sin 15 0^{\circ}$
150°=180°−30°, der Sinus bleibt gleich. $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Höhe ausrechnen:h=20·12=10 m
Für den Weg den Winkel ins Bogenmass umrechnen und mit dem Radius multiplizieren.b=20·150180 π=503 π≈52.4 m

Die Gondel ist 10 m über der Achse. Sie ist etwa 52.4 m weit gefahren.

Beispiel 4Wie weit dreht sich das Velorad?

Ein Mädchen schiebt sein Velo über einen gepflasterten Platz in einer Schweizer Altstadt.

Das Hinterrad von Linas Velo hat einen Radius von 35 cm. Sie schiebt das Velo in Chur 1.40 m weit über den Platz. Um welchen Winkel dreht sich das Rad, im Bogenmass und in Grad?

Lösung Schritt für Schritt

Das Rad rollt ohne zu rutschen. Der Weg am Boden ist so lang wie der Bogen am Rad.b=r·x
Nach dem Winkel auflösen, beide Längen in cm:x=br=14035=4
In Grad umrechnen:4·180°π≈229°

Das Rad dreht sich um 4 rad, das sind etwa 229°.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse4

1
Rechne 90° ins Bogenmass um.
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Ergebnis: 90°=12π=π2
Einheitskreis mit dem Winkel 90°: Der Schenkel zeigt senkrecht nach oben. Der Bogen dazwischen ist ein Viertel des Umfangs 2π, also π/2 lang.
1. 90°·π180°=90180 π
2. Kürzen: 90180=12, also π2.
2
Welche Koordinaten hat der Punkt zum Winkel 180° auf dem Einheitskreis?
Lösung zeigen
Ergebnis: P(−1|0)
Einheitskreis mit dem Winkel 180°: Der Schenkel zeigt nach links und trifft den Kreis auf der x-Achse bei −1. Die Höhe ist 0.
1. Bei 180° zeigt der Schenkel genau nach links.
2. Der Punkt liegt 1 links vom Ursprung auf der x-Achse.
3. Also $cos 18 0^{\circ} = - 1$ und $sin 18 0^{\circ} = 0$ .
3
Rechne π3 in Grad um.
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Ergebnis: π3=60°
Einheitskreis mit dem Winkel 60°: Der Bogen von der x-Achse bis zum Punkt ist π/3 lang, ein Sechstel des Umfangs.
1. Setze für π einfach 180° ein.
2. 180°:3=60°
4
Wie gross ist $sin 27 0^{\circ}$ ?
Lösung zeigen
Ergebnis: $sin 27 0^{\circ} = - 1$
Einheitskreis mit dem Winkel 270°: Der Schenkel zeigt senkrecht nach unten. Der Punkt liegt ganz unten auf dem Kreis, 1 unter dem Ursprung.
1. Bei 270° zeigt der Schenkel senkrecht nach unten.
2. Der Punkt ist P(0|−1), seine Höhe ist −1.
5
In welchem Quadranten liegt der Punkt zu 300°? Sind Sinus und Kosinus dort positiv oder negativ?
Lösung zeigen
Ergebnis: Im IV. Quadranten, denn 300°=360°−60°. Kosinus positiv, Sinus negativ.
1. 300° liegt zwischen 270° und 360°: IV. Quadrant, rechts unten.
2. Rechts heisst x positiv, also $cos 30 0^{\circ} > 0$ .
3. Unten heisst y negativ, also $sin 30 0^{\circ} < 0$ .

6
Rechne 225° ins Bogenmass um.
Lösung zeigen
Ergebnis: 225°=54π=5π4≈3.93
1. 225°·π180°=225180 π
2. Kürzen durch 45: 225180=54
7
Rechne 5π6 in Grad um.
Lösung zeigen
Ergebnis: 5π6=150°
1. π durch 180° ersetzen: 5·180°6
2. 900°:6=150°
8
Bestimme $sin 21 0^{\circ}$ ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
Ergebnis: $sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$
1. 210°=180°+30°, III. Quadrant.
2. Dort ist der Sinus negativ: $sin 21 0^{\circ} = - sin 3 0^{\circ}$ .
3. $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
9
Bestimme $tan 13 5^{\circ}$ ohne Taschenrechner.
Lösung zeigen
Ergebnis: $tan 13 5^{\circ} = - 1$
1. 135°=180°−45°, II. Quadrant.
2. Dort sind Sinus und Kosinus gleich lang, aber der Kosinus ist negativ.
3. $tan 13 5^{\circ} = \frac{sin 13 5 ^{\circ}}{cos 13 5 ^{\circ}} = - 1$
10
Ein Kreis hat den Radius 6 cm. Wie lang ist der Bogen zum Winkel π3?
Lösung zeigen
Ergebnis: b=2π≈6.28 cm
1. Bogen = Radius mal Winkel im Bogenmass: b=r·x
2. b=6·π3=2π
3. 2π≈6.28 cm

11
Es gilt $sin α = \frac{3}{5}$ , und α liegt im II. Quadranten. Bestimme $cos α$ und $tan α$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: $cos α = - \frac{4}{5}$ , $tan α = - \frac{3}{4}$
1. $cos^{2} α = 1 - sin^{2} α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
2. Im II. Quadranten ist der Kosinus negativ: $cos α = - \frac{4}{5}$ .
3. $tan α = \frac{3}{5} : (- \frac{4}{5}) = - \frac{3}{4}$
12
Finde alle Winkel zwischen 0° und 360° mit $sin α = - \frac{1}{2}$ .
Lösung zeigen
Ergebnis: α=210° und α=330°
1. Zu $sin α = \frac{1}{2}$ gehört der spitze Winkel 30°.
2. Negativ ist der Sinus im III. und IV. Quadranten.
3. 180°+30°=210° und 360°−30°=330°
13
In welchem Quadranten liegt der Winkel 2.5 rad? Rechne mit 1 rad≈57.3°.
Lösung zeigen
Ergebnis: 2.5·57.3°=143.25°, also im II. Quadranten.
1. 2.5·57.3°=143.25°
2. Das liegt zwischen 90° und 180°.
3. Kontrolle ohne Grad: π2≈1.57<2.5<π≈3.14
14
Der Punkt P(0.6|y) liegt auf dem Einheitskreis im IV. Quadranten. Bestimme y und den Winkel α auf eine Stelle nach dem Punkt.
Lösung zeigen
Ergebnis: y²=1−0.36=0.64, also y=−0.8 und α≈306.9°
1. Auf dem Einheitskreis gilt x²+y²=1: y²=1−0.36=0.64.
2. Im IV. Quadranten ist y negativ: y=−0.8.
3. $cos α = 0.6$ gibt im I. Quadranten 53.1°; im IV. ist α=360°−53.1°=306.9°.

Verwechselst du noch Grad und Bogenmass oder die Vorzeichen in den Quadranten? Eine Lehrperson geht den Einheitskreis mit dir an deinen eigenen Aufgaben durch. Nachhilfe in Mathematik für das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Einheitskreis und Bogenmass

So funktioniert der Trainer

Neue Fragen zum Einheitskreis mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt Grad und Bogenmass, Stufe 2 Werte und Vorzeichen, Stufe 3 grosse Winkel, Tangens und Gleichungen.

Wie viel sind 360° im Bogenmass?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Am Gymnasium meist im 1. oder 2. Jahr, nach Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck. Danach folgen die Sinuskurve und die anderen Winkelfunktionen.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Warum hat der Einheitskreis den Radius 1?

Weil dann die Hypotenuse des Dreiecks 1 ist. Sinus und Kosinus sind Bruchteile davon, also genau die Koordinaten des Punkts. Bei einem anderen Radius müsstest du jedes Mal durch r teilen.

Wann braucht man Bogenmass statt Grad?

Immer, wenn Winkel als Zahl in einer Funktion stehen, etwa bei $sin x$ als Funktion, beim Ableiten und in der Physik bei Drehungen und Schwingungen. In der Dreiecksberechnung bleibst du meist bei Grad.

Wie rechne ich Grad in Bogenmass um?

Multipliziere den Winkel in Grad mit π und teile durch 180. Für den Rückweg multiplizierst du mit 180 und teilst durch π. Beispiel: 60°=π3.

Was heisst rad auf dem Taschenrechner?

RAD heisst, der Rechner liest Winkel im Bogenmass. Für Grad muss DEG eingestellt sein. Viele falsche Ergebnisse kommen nur vom falschen Modus.