Kosinussatz

Der Kosinussatz verbindet in jedem Dreieck die drei Seiten mit einem Winkel. Mit ihm berechnest du aus zwei Seiten und dem Winkel dazwischen die dritte Seite oder aus drei Seiten einen Winkel.

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1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche sitzen auf einer Bank über einem See, einer zeigt übers Wasser zu einem kleinen Bootshaus.

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Das musst du wissen

Erklärung

Der Kosinussatz verbindet in jedem Dreieck die drei Seiten mit einem Winkel, auch wenn es keinen rechten Winkel hat. Er lautet $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ . Suchst du eine Seite, ziehst du am Schluss die Wurzel; suchst du einen Winkel, nimmst du am Schluss die Umkehrtaste $cos^{- 1}$ .

Die Formel in drei Fassungen

Im Dreieck ABC liegt die Seite a der Ecke A gegenüber, b der Ecke B und c der Ecke C. Der Winkel α liegt bei A, β bei B und γ bei C.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

Es ist immer derselbe Satz, nur mit anderen Buchstaben.

MerkeLinks steht die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt. Rechts stehen die zwei anderen Seiten, die den Winkel einschliessen.

Dreieck ABC mit den Winkeln α bei A, β bei B und γ bei C. Die Seite c verbindet A und B und liegt dem Winkel γ gegenüber.

Wann du den Kosinussatz brauchst

Der Kosinussatz hilft in zwei Fällen:

Du kennst zwei Seiten und den Winkel dazwischen (SWS). Dann berechnest du die dritte Seite.
Du kennst alle drei Seiten (SSS). Dann berechnest du einen Winkel.

Kennst du dagegen eine Seite, den Winkel, der ihr gegenüberliegt, und noch eine Seite oder einen Winkel, ist meist der schneller.

Einen Winkel berechnen

Für einen Winkel stellst du die Formel nach dem um:

cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

Danach liefert die Umkehrtaste den Winkel: $γ = cos^{- 1} (\dots)$ . Weil jeder Winkel im Dreieck zwischen 0° und 180° liegt, gibt es genau eine Lösung. Ist der Bruch negativ, ist γ ein stumpfer Winkel.

Warum negativ? Über 90° ist der Kosinus am festgelegt: $cos γ = - cos (18 0^{\circ} - γ)$ , also $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - 0.5$ .

Dreieck mit den Seiten a = 5, b = 3 und c = 7. Der Winkel γ bei C ist stumpf: cos γ = −0.5, also γ = 120°.

Der Satz des Pythagoras als Sonderfall

Ist γ=90°, dann ist $cos γ = 0$ und der letzte Teil fällt weg: c²=a²+b². Das ist der .

Der Teil $- 2 ab cos γ$ ist also eine Korrektur. Bei einem spitzen γ ist $cos γ$ positiv und c² wird kleiner als a²+b². Bei einem stumpfen γ ist $cos γ$ negativ und c² wird grösser.

MerkeSpitzer Winkel: c²<a²+b². Rechter Winkel: c²=a²+b². Stumpfer Winkel: c²>a²+b².

Warum der Satz stimmt

Zeichne von B aus die Höhe h auf die Seite b. Ihr Fusspunkt D teilt b in zwei Stücke: $\overline{C D} = a cos γ$ und $\overline{D A} = b - a cos γ$ . Ausserdem ist $h = a sin γ$ .

Im ABD gilt Pythagoras:

c^{2} = h^{2} + (b - a cos γ)^{2} = a^{2} sin^{2} γ + b^{2} - 2 ab cos γ + a^{2} cos^{2} γ

Weil $sin^{2} γ + cos^{2} γ = 1$ ist, bleibt $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ .

Kosinussatz: Merkblatt mit Formel und Beispiel. a² = b² + c² - 2bc. b² = a² + c² - 2ac. c² = a² + b² - 2ab. Links steht die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt. Rechts stehen die zwei anderen Seiten, die den Winkel einschliessen. Beispiel: c² = 49, also ist c = 7 cm. — Merkblatt Kosinussatz: Formel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $c^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos 6 0^{\circ} = (89 - 80) \cdot 0.5 = 4.5$
✓Punkt vor Strich: zuerst $2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos 6 0^{\circ} = 40$ , dann 89−40=49.
✕c²=49, also c=49 cm.
✓Am Schluss die : $c = 49 = 7$ cm.
✕Für die Seite c wird der Winkel α eingesetzt: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos α$ .
✓Zu c gehört der Winkel γ, der c gegenüberliegt und zwischen a und b liegt.
✕Bei γ=120°: c²=9+25−15=19.
✓ $cos 12 0^{\circ} = - 0.5$ , also wird −2·3·5·(−0.5)=+15 und c²=9+25+15=49.

Begriffe zum Nachschlagen

Kosinus: Im rechtwinkligen Dreieck Ankathete durch Hypotenuse, geschrieben $cos γ$ . Im Kosinussatz ist es der Kosinus des Winkels zwischen zwei Seiten.
eingeschlossener Winkel: Der Winkel zwischen zwei Seiten, also dort, wo sie sich treffen. Zwischen a und b liegt γ.
stumpfer Winkel: Ein Winkel zwischen 90° und 180°. Sein Kosinus ist negativ.
Umkehrtaste: Die Taste $cos^{- 1}$ auf dem Taschenrechner. Sie macht aus dem Kosinus wieder den Winkel.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Sinus, Kosinus und Tangens Satz des Pythagoras

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Die dritte Seite aus SWS

Im Dreieck ABC ist a=5 cm, b=8 cm und γ=60°. Berechne die Seite c.

Dreieck mit a = 5 cm, b = 8 cm und dem Winkel γ = 60° zwischen ihnen. Gesucht ist die Seite c von A nach B.

Lösung Schritt für Schritt

Du kennst zwei Seiten und den Winkel dazwischen. Zu c gehört die Fassung mit γ: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$
Einsetzen, mit $cos 6 0^{\circ} = 0.5$ :c²=5²+8²−2·5·8·0.5
Punkt vor Strich rechnen:c²=25+64−40=49
Wurzel ziehen: $c = 49 = 7$

c²=49, also ist c=7 cm.

Beispiel 2Einen Winkel aus drei Seiten

Ein Dreieck hat die Seiten a=5 cm, b=3 cm und c=7 cm. Berechne den Winkel γ.

Dreieck mit a = 5 cm, b = 3 cm und c = 7 cm. Der Winkel γ liegt bei C, gegenüber der längsten Seite c.

Lösung Schritt für Schritt

Du kennst alle drei Seiten. Stell die Formel nach $cos γ$ um: $cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$
Einsetzen: $cos γ = \frac{25 + 9 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{- 15}{30} = - 0.5$
Der Kosinus ist negativ, also ist γ stumpf. Die Umkehrtaste liefert: $γ = cos^{- 1} (- 0.5) = 12 0^{\circ}$

$cos γ = - 0.5$ , also ist γ=120°.

Beispiel 3Quer über den See

Ein Mädchen steht auf einer Wiese am Seeufer und schaut zu einem Bootshaus und zu einer Badestelle mit Holzsteg.

Lina steht am Ufer des Sihlsees. Bis zum Bootshaus sind es 450 m, bis zur Badestelle 620 m. Zwischen den beiden Richtungen misst sie einen Winkel von 52°. Wie weit sind Bootshaus und Badestelle voneinander entfernt?

Dreieck aus Linas Standort C, dem Bootshaus und der Badestelle. Die Strecken 450 m und 620 m schliessen den Winkel 52° ein.

Lösung Schritt für Schritt

Lina steht in der Ecke mit dem Winkel. Die zwei Strecken und der Winkel dazwischen sind bekannt, also SWS.
Einsetzen, mit $cos 5 2^{\circ} \approx 0.6157$ :c²=450²+620²−2·450·620·0.6157
Ausrechnen:c²=202'500+384'400−343'560.6=243'339.4
Wurzel ziehen:c≈493.3

c²≈243'339.4, also sind Bootshaus und Badestelle etwa 493.3 m voneinander entfernt.

Beispiel 4Das Schiff ändert den Kurs

Ein weisses Kursschiff fährt auf einem See zwischen steilen grünen Bergen, sein Kielwasser zeigt, wo es die Richtung geändert hat.

Ein Kursschiff fährt von Luzern aus 6 km geradeaus. Dann ändert es seinen Kurs um 35° und fährt noch 4 km. Wie weit ist es jetzt in Luftlinie von Luzern entfernt?

Dreieck aus Luzern, dem Punkt C, wo das Schiff abdreht, und dem Schiff. Bei C schliessen die Strecken 6 km und 4 km den Winkel 145° ein.

Lösung Schritt für Schritt

Der Kurs ändert sich um 35°. Im Dreieck liegt an der Stelle, wo das Schiff abdreht, der Nebenwinkel dazu:γ=180°−35°=145°
Einsetzen, mit $cos 14 5^{\circ} \approx - 0.8192$ :c²=6²+4²−2·6·4·(−0.8192)
Minus mal Minus gibt Plus:c²≈36+16+39.32=91.32
Wurzel ziehen:c≈9.56

c²≈91.32, also ist das Schiff etwa 9.56 km von Luzern entfernt.

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
a=3 cm, b=4 cm, γ=90°. Berechne c mit dem Kosinussatz.
Lösung zeigen
Ergebnis: c²=25, also c=5 cm
Dreieck mit a = 3 cm, b = 4 cm und dem rechten Winkel γ bei C. Die Seite c liegt dem rechten Winkel gegenüber.
1. $cos 9 0^{\circ} = 0$ , der letzte Teil fällt weg.
2. c²=9+16−0=25
3. $c = 25 = 5$ cm. Das ist Pythagoras.
2
a=6 cm, b=10 cm, γ=60°. Berechne c.
Lösung zeigen
Ergebnis: c²=76, also c≈8.72 cm
Dreieck mit a = 6 cm, b = 10 cm und dem Winkel γ = 60° dazwischen. Gesucht ist c.
1. c²=36+100−2·6·10·0.5
2. c²=136−60=76
3. $c = 76 \approx 8.72$ cm
3
b=3 cm, c=8 cm, α=60°. Berechne a.
Lösung zeigen
Ergebnis: a²=49, also a=7 cm
Dreieck mit b = 3 cm, c = 8 cm und dem Winkel α = 60° bei A zwischen ihnen. Gesucht ist a.
1. Zu a gehört α: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α$
2. a²=9+64−2·3·8·0.5=73−24=49
3. a=7 cm
4
Ein Dreieck hat die Seiten a=5 cm, b=7 cm, c=8 cm. Berechne den Winkel β.
Lösung zeigen
Ergebnis: $cos β = 0.5$ , also β=60°
Dreieck mit a = 5 cm, b = 7 cm und c = 8 cm. Der Winkel β liegt bei B, gegenüber der Seite b.
1. $cos β = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}$
2. $cos β = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = 0.5$
3. $β = cos^{- 1} (0.5) = 6 0^{\circ}$
5
a=10 cm, b=6 cm und $cos γ = 0.25$ . Berechne c.
Lösung zeigen
Ergebnis: c²=106, also c≈10.30 cm
1. c²=100+36−2·10·6·0.25
2. c²=136−30=106
3. $c = 106 \approx 10.30$ cm

6
a=7 cm, b=9 cm, γ=40°. Berechne c auf zwei Stellen genau.
Lösung zeigen
Ergebnis: c²≈33.48, also c≈5.79 cm
1. $cos 4 0^{\circ} \approx 0.7660$
2. c²=49+81−126·0.7660≈130−96.52=33.48
3. c≈5.79 cm
7
Ein Dreieck hat die Seiten a=8 cm, b=5 cm, c=7 cm. Berechne α.
Lösung zeigen
Ergebnis: $cos α = \frac{1}{7} \approx 0.1429$ , also α≈81.79°
1. $cos α = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$
2. $cos α = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$
3. $α = cos^{- 1} (\frac{1}{7}) \approx 81.7 9^{\circ}$
8
a=5 cm, b=6 cm, γ=110°. Berechne c.
Lösung zeigen
Ergebnis: c²≈81.52, also c≈9.03 cm
1. $cos 11 0^{\circ} \approx - 0.3420$ , negativ, weil γ stumpf ist.
2. c²=25+36−60·(−0.3420)=61+20.52=81.52
3. c≈9.03 cm
9
Ein dreieckiges Gartenbeet in Frauenfeld hat die Seiten 5 m, 6 m und 8 m. Wie gross ist sein grösster Winkel?
Lösung zeigen
Ergebnis: $cos γ = - 0.05$ , also ist der grösste Winkel etwa 92.87°
1. Der grösste Winkel liegt der längsten Seite gegenüber, also 8 m.
2. $cos γ = \frac{25 + 36 - 64}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{- 3}{60} = - 0.05$
3. $γ = cos^{- 1} (- 0.05) \approx 92.8 7^{\circ}$
10
Noah und Mia starten bei derselben Wegkreuzung im Emmental. Ihre geraden Wege bilden einen Winkel von 75°. Noah geht 3 km, Mia 5 km. Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Lösung zeigen
Ergebnis: c²≈26.24, also etwa 5.12 km
1. Die Wegkreuzung ist die Ecke mit dem Winkel: SWS.
2. c²=9+25−2·3·5·0.2588≈34−7.76=26.24
3. c≈5.12 km

11
Von einem Dreieck kennst du a=3 cm, b=8 cm und γ=60°. Berechne c und danach die Winkel α und β.
Lösung zeigen
Ergebnis: c²=49, also c=7 cm. $cos α = \frac{13}{14}$ , also α≈21.79° und β≈98.21°
1. SWS: $c^{2} = 9 + 64 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot cos 6 0^{\circ} = 73 - 24 = 49$ , also c=7 cm
2. SSS: $cos α = \frac{8 ^{2} + 7 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{104}{112} = \frac{13}{14}$ , also α≈21.79°
3. Winkelsumme: β=180°−60°−21.79°=98.21°
4. Kontrolle: $cos β = \frac{3 ^{2} + 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 7} = - \frac{1}{7}$ ist negativ, also ist β wirklich stumpf.
12
Von einem Dreieck kennst du a=7 cm, b=5 cm und α=60°. Berechne c mit dem Kosinussatz.
Lösung zeigen
Ergebnis: c=8 cm
1. $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α$ : 49=25+c²−5c
2. Umformen: c²−5c−24=0
3. Lösungsformel: $c = \frac{5 \pm 25 + 96}{2} = \frac{5 \pm 11}{2}$
4. c=8 oder c=−3. Eine Länge ist positiv, also c=8 cm.
13
Ein hat die Seiten 6 cm und 4 cm und einen Winkel von 50°. Wie lang ist die längere Diagonale?
Lösung zeigen
Ergebnis: d²≈82.85, also d≈9.10 cm
1. Die längere Diagonale liegt dem stumpfen Winkel gegenüber: 180°−50°=130°.
2. $d^{2} = 36 + 16 - 48 \cdot cos 13 0^{\circ} = 52 - 48 \cdot (- 0.6428) \approx 52 + 30.85 = 82.85$
3. d≈9.10 cm
14
Ist ein Dreieck mit den Seiten 7 cm, 8 cm und 12 cm spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig? Entscheide ohne Winkel auszurechnen.
Lösung zeigen
Ergebnis: 7²+8²−12²=−31, also stumpfwinklig
1. Nur der Winkel gegenüber der längsten Seite kann stumpf sein.
2. 7²+8²−12²=49+64−144=−31
3. Der Zähler von $cos γ$ ist negativ, also ist γ stumpf.
15
Eine Fussballerin steht 16 m vom linken und 18 m vom rechten Torpfosten entfernt. Das Tor ist 7.32 m breit. Unter welchem Winkel sieht sie das Tor?
Lösung zeigen
Ergebnis: Zähler 256+324−53.58=526.42, also $cos γ \approx 0.9139$ und γ≈23.95°
1. Die Spielerin steht in der Ecke mit dem gesuchten Winkel, die Torbreite liegt ihm gegenüber.
2. $cos γ = \frac{1 6 ^{2} + 1 8 ^{2} - 7.3 2 ^{2}}{2 \cdot 16 \cdot 18} \approx \frac{526.42}{576} \approx 0.9139$
3. $γ = cos^{- 1} (0.9139) \approx 23.9 5^{\circ}$

Verwechselst du noch, welcher Winkel zu welcher Seite gehört, oder geht das Minus beim stumpfen Winkel verloren? Eine Lehrperson rechnet deine eigenen Aufgaben mit dir durch. Nachhilfe in Mathematik für das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Kosinussatz

So funktioniert der Trainer

Fragen zum Kosinussatz mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt die Formel, Stufe 2 das Einsetzen mit einfachen Zahlen, Stufe 3 stumpfe Winkel und Fallen.

Ergänze: c² = a² + b² − 2ab · …

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Dreiecksrechner

Seiten, Winkel, Höhe und Fläche

FlächeA≈9.9216 cm²

Winkelα≈41.4096°,β≈55.7711°,γ≈82.8192°

Seitena=4 cm,b=5 cm,c=6 cm

Höhe auf chc≈3.3072 cm

UmfangU=15 cm

Rechenweg

Den Winkel α bekommst du mit dem Kosinussatz.
cos α=5² + 6² − 4²2 · 5 · 6=0.75→α≈41.4096°
Genauso den Winkel β.
cos β=4² + 6² − 5²2 · 4 · 6=0.5625→β≈55.7711°
Die drei Winkel ergeben zusammen 180°.
γ=180°−41.4096°−55.7711°≈82.8192°
Die Höhe auf c bekommst du im Teildreieck mit b: hc = b · sin α.
hc=5·sin 41.4096°≈3.3072 cm
Ein Dreieck ist halb so gross wie das Rechteck mit derselben Grundseite und Höhe.
A=c · hc : 2=6·3.3072:2≈9.9216 cm²
Der Umfang ist die Summe der drei Seiten.
U=4+5+6=15 cm

Beispiele

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Geschafft? So geht es weiter

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Für Eltern und Lehrpersonen

Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Meist im 1. oder 2. Jahr Gymnasium, nach Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck und zusammen mit dem Sinussatz.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

Wann nehme ich den Kosinussatz und wann den Sinussatz?

Den Kosinussatz nimmst du, wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen kennst oder alle drei Seiten. Den Sinussatz nimmst du, wenn du eine Seite und den Winkel kennst, der ihr gegenüberliegt, und dazu noch eine Seite oder einen Winkel.

In welcher Klasse lernt man den Kosinussatz?

Meist im 1. oder 2. Jahr Gymnasium, nach Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck. Oft kommt er zusammen mit dem Sinussatz.

Was hat der Kosinussatz mit dem Satz des Pythagoras zu tun?

Pythagoras ist ein Sonderfall davon. Bei einem rechten Winkel ist der Kosinus 0, und vom Kosinussatz bleibt genau c²=a²+b² übrig.

Kann es beim Kosinussatz zwei Lösungen geben?

Suchst du einen Winkel aus drei Seiten, gibt es immer genau eine Lösung. Zwei Lösungen sind nur möglich, wenn du eine Seite suchst und der bekannte Winkel nicht zwischen den bekannten Seiten liegt; dann entsteht eine quadratische Gleichung.

Kosinussatz

Erklärung

Die Formel in drei Fassungen

Wann du den Kosinussatz brauchst

Einen Winkel berechnen

Der Satz des Pythagoras als Sonderfall

Warum der Satz stimmt

Häufige Fehler

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Die dritte Seite aus SWS

Beispiel 2Einen Winkel aus drei Seiten

Beispiel 3Quer über den See

Beispiel 4Das Schiff ändert den Kurs

Übungen mit Lösungen

Trainer: Kosinussatz

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Rechenweg

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Einordnung

Häufige Fragen

Sinussatz

Einheitskreis

Kosinus

Satz des Pythagoras

Rechtwinkliges Dreieck

Wurzel ziehen

Parallelogramm