Sinussatz

Der Sinussatz verbindet in jedem Dreieck die Seiten mit den gegenüberliegenden Winkeln: Seite durch Sinus des Gegenwinkels ist überall gleich. Damit berechnest du fehlende Seiten und Winkel auch ohne rechten Winkel.

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1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Gymnasium

Zwei Jugendliche stehen an verschiedenen Stellen in einem Alpental und zeigen beide auf denselben Berggipfel.

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Das musst du wissen

Erklärung

Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck, nicht nur im rechtwinkligen. Jede Seite geteilt durch den des gegenüberliegenden Winkels gibt dieselbe Zahl. Mit einem bekannten Paar aus Seite und Gegenwinkel rechnest du die fehlenden Stücke aus.

Bezeichnungen im Dreieck

Die Ecken heissen A, B und C. Der Winkel bei A heisst α, bei B β, bei C γ.

Die Seite a liegt der Ecke A gegenüber, b der Ecke B und c der Ecke C. Seite a und Winkel α bilden also ein Paar, das sich gegenüberliegt.

MerkeGleicher Buchstabe heisst gegenüber: a liegt α gegenüber, b liegt β gegenüber, c liegt γ gegenüber.

Dreieck ohne rechten Winkel mit den Ecken A, B und C und den Winkeln α, β und γ. Seite a liegt A gegenüber, b liegt B gegenüber, c liegt C gegenüber.

Die Formel

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

Du brauchst immer nur zwei Teile davon, zum Beispiel $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β}$ . Gleichwertig ist die Form $a : b = sin α : sin β$ : Die Seiten verhalten sich wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel.

MerkeEine Seite geteilt durch den Sinus ihres Gegenwinkels gibt in einem Dreieck immer dieselbe Zahl.

Warum er gilt

Zeichne die Höhe h von C auf die Seite c. Sie teilt das Dreieck in zwei .

Im linken ist b die , also $h = b \cdot sin α$ . Im rechten ist a die Hypotenuse, also $h = a \cdot sin β$ . Beides ist dieselbe Höhe: $b \cdot sin α = a \cdot sin β$ . Teilst du durch $sin α \cdot sin β$ , steht der Sinussatz da.

Dasselbe Dreieck mit der Höhe h von C auf die Seite c. Links ist h = b · sin α, rechts ist h = a · sin β.

Wann du den Sinussatz brauchst

Du brauchst ein Paar: eine Seite und den Winkel gegenüber. Dazu eine dritte Angabe.

Seite und zwei Winkel: Den dritten Winkel gibt die , dann die Seiten.
Zwei Seiten und der Winkel gegenüber einer davon: Damit findest du den Winkel gegenüber der anderen.

Zwei Seiten mit Winkel dazwischen oder drei Seiten: Dann hilft der Kosinussatz.

MerkeKein Paar aus Seite und Gegenwinkel, kein Sinussatz.

Achtung beim Winkel: zwei Lösungen

Suchst du einen Winkel, gibt $sin^{- 1}$ nur den spitzen Winkel $β_{1}$ . Denselben Sinus hat $β_{2} = 18 0^{\circ} - β_{1}$ , zum Beispiel $sin 3 0^{\circ} = sin 15 0^{\circ} = 0.5$ .

Liegt der gegebene Winkel der längeren der zwei Seiten gegenüber, gibt es genau eine Lösung.

Liegt er der kürzeren gegenüber, prüfe $β_{1}$ und $β_{2}$ mit der Winkelsumme: Es gibt zwei, eine oder keine Lösung. Ist der Sinus grösser als 1, gibt es kein Dreieck.

MerkeDer grösseren Seite liegt der grössere Winkel gegenüber. Damit prüfst du jede Lösung.

Die gemeinsame Zahl und der Umkreis

Die Zahl $\frac{a}{sin α}$ hat eine Bedeutung: Sie ist der Durchmesser des Umkreises, also $\frac{a}{sin α} = 2 r$ .

Beispiel: Ist a=6 cm und α=30°, dann ist 60.5=12. Der Umkreis hat den Durchmesser 12 cm und den Radius 6 cm.

Sinussatz: Merkblatt mit Regel und Beispiel. Gleicher Buchstabe heisst gegenüber: a liegt gegenüber, b liegt gegenüber, c liegt gegenüber. Eine Seite geteilt durch den Sinus ihres Gegenwinkels gibt in einem Dreieck immer dieselbe Zahl. — Merkblatt Sinussatz: Regel und Beispiel.

Häufige Fehler

✕ $\frac{a}{sin β} = \frac{b}{sin α}$ , also Seite und Winkel über Kreuz.
✓Zu jeder Seite gehört der Winkel, der ihr gegenüber liegt: $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β}$ .
✕ $sin β = 0.5$ , also ist β=30°, fertig.
✓Auch β=150° hat den Sinus 0.5. Prüfe mit der Winkelsumme und der Regel «grössere Seite, grösserer Winkel», ob die zweite Lösung passt.
✕Gegeben a, b und γ (der Winkel dazwischen), und man setzt in den Sinussatz ein.
✓Zu γ fehlt die Gegenseite c, also gibt es kein Paar. Rechne zuerst c mit dem Kosinussatz.
✕Der Taschenrechner steht auf RAD, und $sin 50$ gibt etwa −0.26.
✓Stell ihn auf DEG. Dann ist $sin 5 0^{\circ} \approx 0.766$ .

Begriffe zum Nachschlagen

Sinussatz: $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$ , gültig in jedem Dreieck.
Gegenwinkel: Der Winkel, der einer Seite gegenüberliegt. Der Gegenwinkel von a ist α.
Umkreis: Der Kreis durch alle drei Ecken des Dreiecks. Sein Durchmesser ist $\frac{a}{sin α}$ .
Winkelsumme: Die drei Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°.
Sinus: Im rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete durch Hypotenuse. Für Winkel im Dreieck (bis 180°) gibt der Taschenrechner den Sinus direkt.

Noch unsicher? Zuerst lernen:Sinus, Kosinus und Tangens Winkelsumme im Dreieck und Vieleck

So geht's

Beispiele Schritt für Schritt

Beispiel 1Zwei Seiten aus einer Seite und zwei Winkeln

Im Dreieck ABC ist c=8 cm, α=50° und β=60°. Berechne γ, a und b.

Dreieck mit c = 8 cm zwischen A und B, α = 50° bei A, β = 60° bei B und γ = 70° bei C.

Lösung Schritt für Schritt

Den dritten Winkel gibt die Winkelsumme:γ=180°−50°−60°=70°
Jetzt hast du das Paar c und γ. Sinussatz für a: $\frac{a}{sin 5 0 ^{\circ}} = \frac{8}{sin 7 0 ^{\circ}}$
Mal $sin 5 0^{\circ}$ rechnen: $a = \frac{8 \cdot sin 5 0 ^{\circ}}{sin 7 0 ^{\circ}} \approx \frac{8 \cdot 0.7660}{0.9397} \approx 6.52$
Genauso für b: $b = \frac{8 \cdot sin 6 0 ^{\circ}}{sin 7 0 ^{\circ}} \approx \frac{8 \cdot 0.8660}{0.9397} \approx 7.37$
Kontrolle: Der grösste Winkel γ liegt der grössten Seite c gegenüber, der kleinste Winkel α der kleinsten Seite a.

γ=70°, a≈6.52 cm und b≈7.37 cm

Beispiel 2Einen Winkel berechnen

Im Dreieck ABC ist a=10 cm, b=7 cm und α=65°. Berechne β und γ.

Dreieck mit α = 65° bei A, der Seite a = 10 cm gegenüber und der Seite b = 7 cm. Gesucht ist β bei B.

Lösung Schritt für Schritt

Das Paar ist a und α. Sinussatz mit b und β: $\frac{sin β}{7} = \frac{sin 6 5 ^{\circ}}{10}$
Mal 7 rechnen: $sin β = \frac{7 \cdot 0.9063}{10} = 0.63441$
Mit der Umkehrtaste: $β = sin^{- 1} (0.63441) \approx 39.3 8^{\circ}$
Die zweite Lösung 180°−39.38°=140.62° passt nicht, denn mit 65° wären es schon über 180°. Das war klar: α liegt der längeren Seite gegenüber.
Winkelsumme für γ:γ=180°−65°−39.38°=75.62°

β≈39.38° und γ≈75.62°

Beispiel 3Wie weit ist das Segelboot?

Zwei Jugendliche stehen an einem Seeufer, eine peilt mit einem Messgerät auf einem Stativ zu einem Segelboot auf dem See.

Mia und Jonas stecken am Ufer des Zugersees zwei Punkte A und B ab, 300 m voneinander entfernt. Ein Segelboot C liegt vor Anker. Bei A messen sie zwischen der Strecke AB und der Richtung zum Boot 70°, bei B 80°. Wie weit ist das Boot von A entfernt?

Lösung Schritt für Schritt

Mach eine Skizze. Die Seite AB ist c = 300 m. Gesucht ist AC, das ist die Seite b gegenüber von B.
Der Winkel beim Boot folgt aus der Winkelsumme:γ=180°−70°−80°=30°
Das Paar ist c und γ. Sinussatz für b: $\frac{b}{sin 8 0 ^{\circ}} = \frac{300}{sin 3 0 ^{\circ}}$
Nach b auflösen:b=300·0.98480.5=590.88

Das Boot ist etwa 590.88 m von A entfernt, also rund 591 m.

Beispiel 4Zwei Dreiecke passen

Im Dreieck ABC ist a=5 cm, c=7 cm und α=40°. Berechne γ.

Die erste Lösung: Dreieck mit c = 7 cm, α = 40° bei A, a = 5 cm und γ = 64.15° bei C.

Lösung Schritt für Schritt

Das Paar ist a und α. Sinussatz mit c und γ: $sin γ = \frac{7 \cdot sin 4 0 ^{\circ}}{5} = \frac{7 \cdot 0.6428}{5} = 0.89992$
Der Taschenrechner gibt den spitzen Winkel: $γ_{1} = sin^{- 1} (0.89992) \approx 64.1 5^{\circ}$
Die zweite Lösung: $γ_{2} = 18 0^{\circ} - 64.1 5^{\circ} = 115.8 5^{\circ}$
Prüfen: 40°+115.85°=155.85° ist kleiner als 180°, also bleibt Platz für β. Hier liegt α der kürzeren Seite gegenüber.
Für jede Lösung gibt es ein eigenes β: $β_{1} \approx 75.8 5^{\circ}, β_{2} \approx 24.1 5^{\circ}$

Zwei Dreiecke: $γ_{1} \approx 64.1 5^{\circ}$ oder $γ_{2} \approx 115.8 5^{\circ}$

Jetzt du

Übungen mit Lösungen

Fang beim Einstieg an. Klapp die Lösung erst auf, wenn du selbst gerechnet hast. Steckst du fest, gibt Fox dir einen Tipp.

Einstieg5Üben5Knacknüsse5

1
Im Dreieck ABC ist a=4 cm, α=30° und β=90°. Berechne b mit dem Sinussatz.
Lösung zeigen
Ergebnis: b=8 cm
Dreieck mit α = 30° bei A und β = 90° bei B. Die Seite a = 4 cm liegt α gegenüber, b = 8 cm liegt β gegenüber.
1. $\frac{b}{sin 9 0 ^{\circ}} = \frac{4}{sin 3 0 ^{\circ}}$
2. b=4·10.5=8 cm
2
Im Dreieck ABC ist a=6 cm, α=30° und γ=50°. Berechne c.
Lösung zeigen
Ergebnis: $\frac{a}{sin α} = 12$ , also $c = 12 \cdot sin 5 0^{\circ} \approx 9.19$ cm
Dreieck mit α = 30° bei A und γ = 50° bei C. Die Seite c liegt γ gegenüber und ist etwa 9.19 cm lang.
1. Das Paar ist a und α: $\frac{a}{sin α} = \frac{6}{0.5} = 12$
2. $c = 12 \cdot sin 5 0^{\circ} \approx 12 \cdot 0.766 \approx 9.19$ cm
3
Im Dreieck ABC ist b=5 cm, β=30° und α=45°. Berechne a.
Lösung zeigen
Ergebnis: $\frac{b}{sin β} = 10$ , also $a = 10 \cdot sin 4 5^{\circ} \approx 7.07$ cm
Dreieck mit α = 45° bei A und β = 30° bei B. Die Seite b = 5 cm liegt β gegenüber, a liegt α gegenüber.
1. Das Paar ist b und β: $\frac{b}{sin β} = \frac{5}{0.5} = 10$
2. $a = 10 \cdot sin 4 5^{\circ} \approx 10 \cdot 0.7071 \approx 7.07$ cm
4
Im Dreieck ABC ist a=8 cm, b=4 cm und α=90°. Berechne $sin β$ und β.
Lösung zeigen
Ergebnis: $sin β = 0.5$ , also β=30°
1. $\frac{sin β}{4} = \frac{sin 9 0 ^{\circ}}{8}$
2. $sin β = \frac{4 \cdot 1}{8} = 0.5$
3. $β = sin^{- 1} (0.5) = 3 0^{\circ}$ . 150° geht nicht, weil schon α=90° ist.
5
Im Dreieck ABC ist a=12 cm, b=6 cm und α=30°. Berechne β.
Lösung zeigen
Ergebnis: $sin β = 0.25$ , also β≈14.48°
1. $sin β = \frac{6 \cdot sin 3 0 ^{\circ}}{12} = \frac{6 \cdot 0.5}{12} = 0.25$
2. $β = sin^{- 1} (0.25) \approx 14.4 8^{\circ}$
3. Nur eine Lösung, denn α liegt der längeren Seite gegenüber.

6
Im Dreieck ABC ist c=12 cm, α=35° und β=75°. Berechne γ und a.
Lösung zeigen
Ergebnis: γ=70° und a≈7.32 cm
1. γ=180°−35°−75°=70°
2. $a = \frac{12 \cdot sin 3 5 ^{\circ}}{sin 7 0 ^{\circ}} \approx \frac{12 \cdot 0.5736}{0.9397} \approx 7.32$ cm
7
Im Dreieck ABC ist b=9 cm, α=52° und β=68°. Berechne c.
Lösung zeigen
Ergebnis: γ=60°, c≈8.41 cm
1. γ=180°−52°−68°=60°
2. $c = \frac{9 \cdot sin 6 0 ^{\circ}}{sin 6 8 ^{\circ}} \approx \frac{9 \cdot 0.8660}{0.9272} \approx 8.41$ cm
8
Im Dreieck ABC ist a=8 cm, c=6 cm und α=70°. Berechne γ und β.
Lösung zeigen
Ergebnis: γ≈44.81° und β≈65.19°
1. $sin γ = \frac{6 \cdot sin 7 0 ^{\circ}}{8} \approx \frac{6 \cdot 0.9397}{8} \approx 0.7048$
2. $γ = sin^{- 1} (0.7048) \approx 44.8 1^{\circ}$ ; die zweite Lösung fällt weg, weil α der längeren Seite gegenüberliegt.
3. β=180°−70°−44.81°=65.19°
9
Im Dreieck ABC ist b=20 m, c=14 m und β=110°. Berechne γ und α.
Lösung zeigen
Ergebnis: γ≈41.13° und α≈28.87°
1. $sin γ = \frac{14 \cdot sin 11 0 ^{\circ}}{20} \approx \frac{14 \cdot 0.9397}{20} \approx 0.6578$
2. $γ = sin^{- 1} (0.6578) \approx 41.1 3^{\circ}$ . Ein Dreieck hat höchstens einen stumpfen Winkel, also ist γ spitz.
3. α=180°−110°−41.13°=28.87°
10
Im Dreieck ABC ist a=7 cm, α=50° und γ=30°. Berechne β und b.
Lösung zeigen
Ergebnis: β=100° und b≈9.00 cm
1. β=180°−50°−30°=100°
2. $b = \frac{7 \cdot sin 10 0 ^{\circ}}{sin 5 0 ^{\circ}} \approx \frac{7 \cdot 0.9848}{0.7660} \approx 9.00$ cm

11
Im Dreieck ABC ist a=4 cm, b=5 cm und α=45°. Wie viele Dreiecke gibt es? Berechne β.
Lösung zeigen
Ergebnis: Zwei Dreiecke: $β_{1} \approx 62.1 1^{\circ}$ oder $β_{2} \approx 117.8 9^{\circ}$
1. $sin β = \frac{5 \cdot sin 4 5 ^{\circ}}{4} \approx \frac{5 \cdot 0.7071}{4} \approx 0.8839$
2. $β_{1} = sin^{- 1} (0.8839) \approx 62.1 1^{\circ}$ und $β_{2} = 18 0^{\circ} - 62.1 1^{\circ} = 117.8 9^{\circ}$
3. 45°+117.89°=162.89°<180°: Auch die zweite Lösung passt, es gibt zwei Dreiecke.
12
Im Dreieck ABC soll a=4 cm, b=10 cm und α=30° sein. Berechne $sin β$ . Was fällt dir auf?
Lösung zeigen
Ergebnis: $sin β = 1.25$ . Das ist grösser als 1, also gibt es kein solches Dreieck.
1. $sin β = \frac{10 \cdot 0.5}{4} = 1.25$
2. Der Sinus eines Winkels im Dreieck ist höchstens 1. Die Seite a ist zu kurz, um die dritte Ecke zu erreichen.
13
Im Dreieck ABC ist a=10 cm und α=30°. Wie gross ist der Radius des Umkreises?
Lösung zeigen
Ergebnis: r=10 cm
1. $\frac{a}{sin α} = 2 r$
2. 2r=100.5=20 cm
3. r=20:2=10 cm
14
Im flachen Talboden peilt Lea von Punkt A die Spitze P eines Bergs unter 30° zur Waagrechten an. Sie geht 500 m geradeaus auf den Berg zu bis B und peilt dort unter 60°. Wie hoch liegt die Spitze über dem Talboden? Die Augenhöhe lässt du weg.
Lösung zeigen
Ergebnis: h≈433.01 m, also rund 433 m
1. Im Dreieck ABP ist der Winkel bei A 30° und bei B 180°−60°=120°. Bei P bleiben 30°.
2. Sinussatz: $B P = \frac{500 \cdot sin 3 0 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = 500$ m
3. Im rechtwinkligen Dreieck unter P: $h = 500 \cdot sin 6 0^{\circ} \approx 500 \cdot 0.866 = 433$ m
15
Im Dreieck ABC ist a=6 cm, α=30° und β=45°. Berechne γ, b und c.
Lösung zeigen
Ergebnis: γ=105°, b≈8.49 cm und c≈11.59 cm
1. γ=180°−30°−45°=105° und $\frac{a}{sin α} = \frac{6}{0.5} = 12$
2. $b = 12 \cdot sin 4 5^{\circ} \approx 12 \cdot 0.7071 \approx 8.49$ cm
3. $c = 12 \cdot sin 10 5^{\circ} \approx 12 \cdot 0.9659 \approx 11.59$ cm
4. Kontrolle: Der stumpfe Winkel γ liegt der längsten Seite c gegenüber.

Weiss dein Kind nicht, wann der Sinussatz passt, oder übersieht es die zweite Lösung, übt eine Lehrperson die Fälle Schritt für Schritt mit ihm. Nachhilfe in Mathematik für das Gymnasium

Üben ohne Ende

Trainer: Sinussatz

So funktioniert der Trainer

Fragen zur Formel, zu passenden Paaren und zu Rechnungen, mit Erklärung nach jeder Antwort. Stufe 1 übt Formel und Paare, Stufe 2 das Rechnen, Stufe 3 die Fälle mit zwei oder keiner Lösung.

Gegeben sind a, b und der Winkel γ dazwischen. Welcher Satz hilft?

Löse die Aufgabe und drück «Prüfen» (oder Enter).

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Dreiecksrechner

Seiten, Winkel, Höhe und Fläche

FlächeA≈9.9216 cm²

Winkelα≈41.4096°,β≈55.7711°,γ≈82.8192°

Seitena=4 cm,b=5 cm,c=6 cm

Höhe auf chc≈3.3072 cm

UmfangU=15 cm

Rechenweg

Den Winkel α bekommst du mit dem Kosinussatz.
cos α=5² + 6² − 4²2 · 5 · 6=0.75→α≈41.4096°
Genauso den Winkel β.
cos β=4² + 6² − 5²2 · 4 · 6=0.5625→β≈55.7711°
Die drei Winkel ergeben zusammen 180°.
γ=180°−41.4096°−55.7711°≈82.8192°
Die Höhe auf c bekommst du im Teildreieck mit b: hc = b · sin α.
hc=5·sin 41.4096°≈3.3072 cm
Ein Dreieck ist halb so gross wie das Rechteck mit derselben Grundseite und Höhe.
A=c · hc : 2=6·3.3072:2≈9.9216 cm²
Der Umfang ist die Summe der drei Seiten.
U=4+5+6=15 cm

Beispiele

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Einordnung

Typische Klasse: 1. Jahr Gymnasium - 2. Jahr Gymnasium
Stufe: Gymnasium
Fach: Mathematik

Meist im 1. oder 2. Jahr Gymnasium, nach Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck und zusammen mit dem Kosinussatz.

Gut zu wissen

Häufige Fragen

In welcher Klasse lernt man den Sinussatz?

Meist im 1. oder 2. Jahr Gymnasium, kurz nach Sinus, Kosinus und Tangens. Der Lehrplan 21 der Volksschule verlangt ihn nicht.

Wann nehme ich den Sinussatz und wann den Kosinussatz?

Den Sinussatz, wenn du eine Seite und den gegenüberliegenden Winkel kennst. Den Kosinussatz, wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen oder alle drei Seiten kennst.

Warum gibt es manchmal zwei Lösungen?

Ein Winkel und sein Ergänzungswinkel zu 180° haben denselben Sinus. Liegt der gegebene Winkel der kürzeren Seite gegenüber, können beide Winkel ein Dreieck ergeben.

Gilt der Sinussatz auch im rechtwinkligen Dreieck?

Ja. Mit γ=90° ist $sin γ = 1$ , und aus $\frac{a}{sin α} = c$ wird $sin α = \frac{a}{c}$ , also Gegenkathete durch Hypotenuse.