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Fokus Nachhilfe

Aufnahmeprüfung Gymnasium Bern 2024 Mathematik II 8. Schuljahr

Die Original-Prüfung Mathematik II der Aufnahmeprüfung 2024 fürs Gymnasium im Kanton Bern (GYM1, Serie aus dem 8. Schuljahr), zum Lösen am Bildschirm abgeschrieben, mit Lösungsweg zu jeder Aufgabe.

Gleichung zu Eintrittspreisen, Dreiecke zählen, Würfelnetz, Wasserpegel-Diagramm, graue Dreiecke im Quadrat, Kombinatorik mit Kugeln, Füllen eines Bassins, Streichholzmuster mit Term und ein Würfel-Gebäude aus verschiedenen Perspektiven.

Quelle: Kanton Bern, Bildungs- und Kulturdirektion. Original: Aufgaben (PDF), Lösungen (PDF). Abschrift und Lösungswege: Fokus Nachhilfe.

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PDF mit Lösungen

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Kanton Bern · Aufnahmeprüfung Gymnasium 20248. Schuljahr · GYM1

Mathematik II

60 Minuten · 9 Aufgaben · 31 Punkte

  • 60 Minuten
  • Taschenrechner erlaubt (nicht programmierbar, ohne Gleichungslöser)
  • Geodreieck, Zirkel und Lineal erlaubt
  • Alle Berechnungen und Begründungen angeben

Aufgabe 1: Besucher im Wasserpark

4 Punkte

Im Wasserpark «Aquamarin» gelten folgende Eintrittspreise:

Kinder bis 12 Jahre CHF 12
Jugendliche CHF 16
Erwachsene CHF 44

Gestern waren doppelt so viele Jugendliche wie Kinder im Wasserpark und 28 Erwachsene mehr als Kinder. Der Park hat mit den Eintritten insgesamt CHF 5896 eingenommen, wobei alle Anwesenden bezahlt haben. Berechne, wie viele Kinder, wie viele Jugendliche und wie viele Erwachsene den Wasserpark gestern besucht haben. Für die volle Punktezahl muss die Lösung auf einer Gleichung beruhen.

4 Punkte

Aufgabe 2: Dreiecke in einer Figur

1 Punkt

Wie viele Dreiecke sind in der Figur unten ersichtlich?

1 PunktAbbildung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3: Würfel und Würfelnetz

4 Punkte

In der Abbildung links sieht man einen Würfel, der auf der Deckfläche mit dem Buchstaben «» beschriftet ist. Die linke Aussenseite des Würfels ist grau eingefärbt und mit einer Diagonalen und dem Punkt gekennzeichnet. In der Abbildung rechts ist das Netz des Würfels dargestellt.

Abbildung zu Aufgabe 3
a)

Im Netz ist eine Kante fett eingezeichnet. Zeichne die Kante im Würfel ein.

1 Punkt
b)

Zeichne die Ecke im Netz ein.

1 Punkt
c)

Zeichne den Buchstaben „“ im Netz ein. Achte dabei auf die korrekte Lage des Buchstabens.

2 Punkte

Aufgabe 4: Wasserpegel eines Stausees

4 Punkte

Im folgenden Bild ist der zeitliche Verlauf des Wasserpegels eines Stausees während eines Tages zu sehen. Der Wasserspiegel ist die Höhe der Wasseroberfläche über dem Meeresniveau.

Abbildung zu Aufgabe 4
a)

In welchem Zeitraum veränderte sich der Wasserspiegel am schnellsten (unabhängig davon, ob er stieg oder sank)?

1 Punkt
Uhr
Uhr
b)

Wie gross ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Wasserpegel um 4 Uhr morgens bewegte? (Angabe z.B. im m/h.)

1 Punkt
m/h
c)

Von 12 bis 13 Uhr flossen 0.75 Millionen Kubikmeter Wasser in den Stausee. Wie gross ist die Wasseroberfläche des Stausees (Fläche mit Luftkontakt)? Nimm dabei an, dass diese Fläche im betrachteten Zeitraum gleich blieb. Gib das Resultat in Quadratkilometern an.

2 Punkte
km²

Aufgabe 5: Graue Dreiecke im Quadrat

4 Punkte

Gegeben ist das abgebildete Quadrat.

Abbildung zu Aufgabe 5
a)

Berechne die Summe der Flächeninhalte der grauen Dreiecke. Die Längen sind in cm angegeben. (Die Skizze ist nicht massstabsgetreu).

3 Punkte
cm²
b)

Berechne den Anteil der grauen Fläche am Flächeninhalt des gesamten Quadrates. Gib das Resultat in Prozenten an und runde auf zwei Nachkommastellen genau.

1 Punkt
%

Aufgabe 6: Dreiergruppen aus Kugeln

1 Punkt

Es stehen 6 Kugeln zur Verfügung, wobei jeweils 2 Kugeln die gleiche Farbe haben. Drei Kugeln bilden zusammen eine Dreiergruppe. Wie viele unterschiedlich aussehende Dreiergruppen könnten hergestellt werden?

1 Punkt

Aufgabe 7: Bassin mit Zu- und Abfluss

4 Punkte

Ein Bassin hat eine Zuleitung und einen Abfluss. Der Bademeister möchte nun das leere Bassin füllen und öffnet die Zuleitung. Als das Bassin nach 20 Minuten erst zu 20% gefüllt ist, merkt er, dass der Abfluss bisher noch geöffnet war, und schliesst diesen sofort. Danach dauert es noch 1 Stunde, bis das Bassin gefüllt ist.

a)

In welcher Zeit könnte das leere Bassin durch die Zuleitung gefüllt werden, wenn der Abfluss von Anfang an geschlossen bleibt?

2 Punkte
min
b)

Welchen Bruchteil eines vollen Bassins entleert der Abfluss pro Minute?

2 Punkte

Aufgabe 8: Muster aus Streichhölzern

4 Punkte

a)

Mit Streichhölzern wird das folgende Muster aus Quadraten gelegt. In jedes Quadrat werden 2 Streichhölzer gelegt und auf diese Weise wird fortgefahren. Nachfolgend sind n = 3 Quadrate dargestellt. Wie viele Streichhölzer braucht man hierzu bei 3, 5 respektive 10 Quadraten?

2 PunkteAbbildung zu Aufgabe 8a
b)

Gib einen Term an, mit welchem man aus der Anzahl Quadrate (n) die Anzahl Streichhölzer berechnen kann.

1 Punkt
c)

Nun wird eine Figur wie folgt gelegt (es sind 3x3 Quadrate dargestellt). Wie viele Streichhölzer braucht man für eine Figur mit 6x6 Quadraten?

1 PunktAbbildung zu Aufgabe 8c

Aufgabe 9: Würfel-Gebäude aus Perspektiven

5 Punkte

Die folgenden beiden Bilder zeigen dasselbe Würfel-Gebäude aus verschiedenen Perspektiven. Jede Seite der quadratischen Bodenfläche, auf der das Gebäude steht, verläuft in einer der vier Himmelsrichtungen. Im linken Bild blickt man in Richtung Nordwesten. Links sind Norden (N) und Westen (W) eingetragen.

Abbildung zu Aufgabe 9
a)

In welche Richtung blickt man im rechten Bild? Fülle hierzu die drei leeren Kästchen korrekt aus (jeweils N, W, S oder O einfügen).

1 Punkt
Kästchen oben rechts
Kästchen unten links
Kästchen unten rechts
b)

Aus wie vielen Würfeln besteht das Würfel-Gebäude?

2 Punkte
c)

In den folgenden Würfel-Gebäuden sind die Würfel miteinander verklebt, so dass man sie als Ganzes hochheben und umdrehen kann. Zwei von diesen vier Gebäuden kann man (passend umgedreht) so auf das ursprüngliche Würfel-Gebäude stellen, dass dadurch ein grosser, vollständig ausgefüllter Würfel entsteht. Welche beiden müssen es sein?

Zur Erinnerung nochmals das originale Würfel-Gebäude (unterste Abbildung).

2 PunkteAbbildung zu Aufgabe 9cAbbildung zu Aufgabe 9cAbbildung zu Aufgabe 9c