Aufnahmeprüfung Gymnasium Bern 2023 Mathematik I 9. Schuljahr

• Zuerst kürzen: $\frac{22}{11}=2=\frac{6}{3}$.
• Klammer: $\frac{6}{3}+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$.
• Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst: $\frac{7}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{7}{5}$.

• Kürze zuerst: $\frac{30}{15}=2$ und $\frac{7}{49}=\frac{1}{7}$.
• $\left(2-\frac{1}{7}\right)\cdot \left(2+\frac{1}{7}\right)=\frac{13}{7}\cdot \frac{15}{7}=\frac{195}{49}$.
• Geschickt mit der 3. binomischen Formel: $2^2-{\left(\frac{1}{7}\right)}^2=4-\frac{1}{49}=\frac{195}{49}$.

• Links ausmultiplizieren (1. binomische Formel): $x^2-6x+9=x^2+2-5x$
• $x^2$ fällt auf beiden Seiten weg: $-6x+9=2-5x$
• $9-2=-5x+6x$, also $x=7$.

• Links: $(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$, mal 2: $2x^2+4x-6$
• Rechts: $(x+2)(x-3)=x^2-x-6$, plus $x^2$: $2x^2-x-6$
• $2x^2+4x-6=2x^2-x-6$ → $4x=-x$ → $5x=0$ → $x=0$.

• Jetzt im Brunnen: $900\text{ l}\cdot \frac{2}{5}=360\text{ l}$
• Bei zwei Dritteln: $900\text{ l}\cdot \frac{2}{3}=600\text{ l}$
• Noch zu füllen: $600\text{ l}-360\text{ l}=240\text{ l}$
• Dauer: $240\text{ l}:20\text{ l/min}=12\text{ min}$

• $A(0|4)$ und $C(7|0)$ liegen auf der Spiegelachse, sie bleiben fest: $A=A^{\prime }$, $C=C^{\prime }$.
• Für $B$: Fälle mit dem Geodreieck das Lot von $B$ auf die Gerade $AC$ und trage den gleichen Abstand auf der anderen Seite ab. So erhältst du $B^{\prime }$ oberhalb der Diagonalen (etwa bei $(3.4|6)$).
• Genauso für $D$: $D^{\prime }$ liegt unterhalb der x-Achse (etwa bei $(3.6|-2)$).
• Verbinde $A$, $B^{\prime }$, $C$, $D^{\prime }$ zum Bildrechteck und beschrifte $B^{\prime }$ und $D^{\prime }$.

• 270° im Gegenuhrzeigersinn ist dasselbe wie 90° im Uhrzeigersinn.
• Bei 90° im Uhrzeigersinn wird aus dem Weg von $P$ zum Punkt $(\Delta x|\Delta y)$ der Weg $(\Delta y|-\Delta x)$.
• $A(0|4)$: Weg von $P$ ist $(-3|2)$ → $(2|3)$ → $A^{\prime \prime }(5|5)$
• $B(0|0)$: $(-3|-2)$ → $(-2|3)$ → $B^{\prime \prime }(1|5)$
• $C(7|0)$: $(4|-2)$ → $(-2|-4)$ → $C^{\prime \prime }(1|-2)$
• $D(7|4)$: $(4|2)$ → $(2|-4)$ → $D^{\prime \prime }(5|-2)$
• Zeichne $P(3|2)$ ein, verbinde die Bildpunkte und beschrifte sie.

• $6^{\prime }415\cdot 10^{-3}\text{ m}=6.415\text{ m}$ (Komma um 3 Stellen nach links)
• $1\text{ m}=10\text{ dm}$, also $6.415\text{ m}=64.15\text{ dm}$.

• Gleiche Einheit wählen: $0.17\text{ m}=17\text{ cm}$
• $17\text{ cm}\cdot 50{\text{ cm}}^2=850{\text{ cm}}^3$
• $1\text{ l}=1{\text{ dm}}^3=1000{\text{ cm}}^3$, also $850{\text{ cm}}^3=0.850\text{ l}$.

• Grundfläche $=V:h=96{\text{ m}}^3:6\text{ m}=16{\text{ m}}^2$
• Die Grundfläche ist ein Quadrat: Breite $=\sqrt{16{\text{ m}}^2}=4\text{ m}$.

• y-Achsenabschnitt ablesen: Die Gerade schneidet die y-Achse bei 3.
• Steigung: Gehst du 2 nach rechts, steigt die Gerade um 1 (z. B. von $(0|3)$ nach $(2|4)$). Steigung $=\frac{1}{2}$.
• Also $y=\frac{1}{2}x+3$.

Setze $x=10$ ein: $y=\frac{1}{2}\cdot 10+3=5+3=8$.

• Punkt A ablesen: f hat den y-Wert 4 bei $x=2$, also $A(2|4)$ (Kontrolle: $\frac{1}{2}\cdot 2+3=4$).
• Steigung $-1$: Von A aus 1 nach rechts und 1 nach unten, oder 1 nach links und 1 nach oben.
• So kommst du von $(2|4)$ zu $(1|5)$ und $(0|6)$: g schneidet die y-Achse bei 6.
• Zeichne die Gerade durch $(0|6)$, $(2|4)$ und $(6|0)$.

• Gesucht ist der Zeitpunkt, an dem die beiden Anstiege zusammen 5 mm ergeben.
• Nach 6 h: Bodensee 3 mm, Hallwilersee 2 mm → $3+2=5$ mm.

• Der grössere Anstieg gehört zum Graphen, der weiter oben liegt. Nach 14 h liegt die gestrichelte Linie (Hallwilersee) über der ausgezogenen (Bodensee).
• Ab dem Schnittpunkt der beiden Graphen liegt der Hallwilersee oben. Der Schnittpunkt liegt bei etwa 9.75 h.

• Ablesen: Nach 14 h ist der Hallwilersee um 12 mm gestiegen. $12\text{ mm}=0.012\text{ m}$.
• Wasserstand nach 14 h: $310\text{ m}+0.012\text{ m}=310.012\text{ m}$
• Fläche: $10{\text{ km}}^2=10^{\prime }000^{\prime }000{\text{ m}}^2$ (1 km² = 1'000'000 m²)
• Volumen: $310.012\text{ m}\cdot 10^{\prime }000^{\prime }000{\text{ m}}^2=3^{\prime }100^{\prime }120^{\prime }000{\text{ m}}^3$

• Am Graphen ablesen: Der Bodensee steigt alle 2 Stunden um 1 mm, also 0.5 mm pro Stunde (z. B. 5 mm nach 10 h).
• Nach 26.5 h: $26.5\cdot 0.5\text{ mm}=13.25\text{ mm}$.