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Fokus Nachhilfe

Aufnahmeprüfung Gymnasium Bern 2024 Mathematik II 9. Schuljahr

Die Original-Prüfung Mathematik II der Aufnahmeprüfung 2024 fürs Gymnasium im Kanton Bern (GYM1, Serie aus dem 9. Schuljahr), zum Lösen am Bildschirm abgeschrieben, mit Lösungsweg zu jeder Aufgabe.

Abstand und Fläche im Koordinatensystem, Flächenvergleich im Rechteck, Würfelnetz, Pegel-Diagramm eines Stausees, Füllgraphen einer Pyramide, Kombinatorik mit Kugeln, Zu- und Abfluss eines Bassins, Streichholzmuster mit Term und ein Würfel-Gebäude aus verschiedenen Perspektiven.

Quelle: Kanton Bern, Bildungs- und Kulturdirektion. Original: Aufgaben (PDF), Lösungen (PDF). Abschrift und Lösungswege: Fokus Nachhilfe.

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PDF mit Lösungen

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Kanton Bern · Aufnahmeprüfung Gymnasium 20249. Schuljahr · GYM1, erhöhte Anforderungen

Mathematik II

60 Minuten · 9 Aufgaben · 32 Punkte

  • 60 Minuten
  • Taschenrechner erlaubt (nicht programmierbar, ohne Gleichungslöser)
  • Geodreieck, Zirkel und Lineal erlaubt
  • Alle Berechnungen und Begründungen angeben
  • Nicht mit Bleistift schreiben

Aufgabe 1: Graue Fläche im Koordinatensystem

4 Punkte

Im folgenden (nicht massstabsgetreuen) Bild ist eine graue Fläche in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Einheit des Koordinatensystems ist genau 1 cm lang (wie im Bild oben links angegeben).

Abbildung zu Aufgabe 1
a)

Berechne den Abstand der Punkte und . Gib das Resultat auf den Millimeter genau an.

1 Punkt
cm
b)

Wie gross ist die grau eingefärbte Fläche?

3 Punkte
cm²

Aufgabe 2: Rechteck mit Diagonalen zerschneiden

3 Punkte

Ein beliebiges Rechteck wird entlang der beiden Diagonalen zerschnitten, so dass vier Dreiecke entstehen. Haben diese vier Dreiecke denselben Flächeninhalt? Begründe deine Antwort anhand einer passenden Zeichnung. Für die Bewertung ist diese zeichnerische Begründung entscheidend. Für eine ja- oder nein-Antwort ohne Begründung gibt es keinen Punkt.

3 Punkte

Aufgabe 3: Würfel und sein Netz

4 Punkte

In der Abbildung links sieht man einen Würfel, der auf der Deckfläche mit dem Buchstaben «» beschriftet ist. Die linke Aussenseite des Würfels ist grau eingefärbt und mit einer Diagonalen und dem Punkt gekennzeichnet. In der Abbildung rechts ist das Netz des Würfels dargestellt.

Abbildung zu Aufgabe 3
a)

Im Netz ist eine Kante fett eingezeichnet. Zeichne die Kante im Würfel ein.

1 Punkt
b)

Zeichne die Ecke im Netz ein.

1 Punkt
c)

Zeichne den Buchstaben „“ im Netz ein. Achte dabei auf die korrekte Lage des Buchstabens.

2 Punkte

Aufgabe 4: Wasserpegel eines Stausees

4 Punkte

Im folgenden Bild ist der zeitliche Verlauf des Wasserpegels eines Stausees während eines Tages zu sehen. Der Wasserspiegel ist die Höhe der Wasseroberfläche über dem Meeresniveau.

Abbildung zu Aufgabe 4
a)

In welchem Zeitraum veränderte sich der Wasserspiegel am schnellsten (unabhängig davon, ob er stieg oder sank)?

1 Punkt
b)

Wie gross ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Wasserpegel um 4 Uhr morgens bewegte? (Angabe z.B. im m/h.)

1 Punkt
m/h
c)

Von 12 bis 13 Uhr flossen 0.75 Millionen Kubikmeter Wasser in den Stausee. Wie gross ist die Wasseroberfläche des Stausees (Fläche mit Luftkontakt)? Nimm dabei an, dass diese Fläche im betrachteten Zeitraum gleich blieb. Gib das Resultat in Quadratkilometern an.

2 Punkte
km²

Aufgabe 5: Pyramidenglas füllen

3 Punkte

Aus einem geöffneten Wasserhahn fliesst mit gleichbleibender Geschwindigkeit Wasser. Ein leeres, pyramidenförmiges Glas (siehe Skizze) wird unter den Wasserhahn gehalten und beginnt sich zu füllen. Während des Füllvorgangs verändert sich die Höhe über dem Glasboden, das Volumen der Wassermenge im Glas und der Flächeninhalt der quadratförmigen Wasseroberfläche.

Abbildung zu Aufgabe 5

Skizziere die Funktionsgraphen bis zum Zeitpunkt, wo das Glas voll ist.

3 PunkteAbbildung zu Aufgabe 5

Aufgabe 6: Dreiergruppen aus Kugeln

1 Punkt

Es stehen 6 Kugeln zur Verfügung, wobei jeweils 2 Kugeln die gleiche Farbe haben. Drei Kugeln bilden zusammen eine Dreiergruppe. Wie viele unterschiedlich aussehende Dreiergruppen könnten hergestellt werden?

1 Punkt

Aufgabe 7: Bassin mit Zu- und Abfluss

4 Punkte

Ein Bassin hat eine Zuleitung und einen Abfluss. Der Bademeister möchte nun das leere Bassin füllen und öffnet die Zuleitung. Als das Bassin nach 20 Minuten erst zu 20% gefüllt ist, merkt er, dass der Abfluss bisher noch geöffnet war, und schliesst diesen sofort. Danach dauert es noch 1 Stunde, bis das Bassin gefüllt ist.

a)

In welcher Zeit könnte das leere Bassin durch die Zuleitung gefüllt werden, wenn der Abfluss von Anfang an geschlossen bleibt?

2 Punkte
min
b)

Welchen Bruchteil eines vollen Bassins entleert der Abfluss pro Minute?

2 Punkte

Aufgabe 8: Streichholzmuster mit Quadraten

4 Punkte

a)

Mit Streichhölzern wird das folgende Muster aus Quadraten gelegt. In jedes Quadrat werden 2 Streichhölzer gelegt und auf diese Weise wird fortgefahren. Nachfolgend sind n = 3 Quadrate dargestellt. Wie viele Streichhölzer braucht man hierzu bei 3, 5 respektive 10 Quadraten?

2 PunkteAbbildung zu Aufgabe 8a
b)

Gib einen Term an, mit welchem man aus der Anzahl Quadrate (n) die Anzahl Streichhölzer berechnen kann.

1 Punkt
c)

Nun wird eine Figur wie folgt gelegt (es sind 3x3 Quadrate dargestellt). Wie viele Streichhölzer braucht man für eine Figur mit 6x6 Quadraten?

1 PunktAbbildung zu Aufgabe 8c

Aufgabe 9: Würfel-Gebäude aus zwei Perspektiven

5 Punkte

Die folgenden beiden Bilder zeigen dasselbe Würfel-Gebäude aus verschiedenen Perspektiven. Jede Seite der quadratischen Bodenfläche, auf der das Gebäude steht, verläuft in einer der vier Himmelsrichtungen. Im linken Bild blickt man in Richtung Nordwesten. Links sind Norden (N) und Westen (W) eingetragen.

Abbildung zu Aufgabe 9
a)

In welche Richtung blickt man im rechten Bild? Fülle hierzu die drei leeren Kästchen korrekt aus (jeweils N, W, S oder O einfügen).

1 PunktAbbildung zu Aufgabe 9a
Kästchen oben rechts
Kästchen unten links
Kästchen unten rechts
b)

Aus wie vielen Würfeln besteht das Würfel-Gebäude?

2 Punkte
c)

In den folgenden Würfel-Gebäuden sind die Würfel miteinander verklebt, so dass man sie als Ganzes hochheben und umdrehen kann. Zwei von diesen vier Gebäuden kann man (passend umgedreht) so auf das ursprüngliche Würfel-Gebäude stellen, dass dadurch ein grosser, vollständig ausgefüllter Würfel entsteht. Welche beiden müssen es sein?

Zur Erinnerung nochmals das originale Würfel-Gebäude:

2 PunkteAbbildung zu Aufgabe 9cAbbildung zu Aufgabe 9c